Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Бесконечно малоеприращение плотности энергии в магнетике при изменении магнитного поляδw = (H δB).Если связь полей Н и В линейная и изотропная (µ = const), тодля плотности энергии магнитного поля можно записатьB211(H B) = µµ0 H2 =.(10.23)222µµ 0Полная энергия W получается интегрированием плотностиэнергии по объему области, занимаемой полемw=308ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧW = ∫ w(r ) dV .(10.24)VПлотность энергии "жесткого" магнетика (т.е. среды с постоянной намагниченностью М0 = const) в заданном поле сторонних источников, магнитная индукция которых в отсутствие магнетика была В0 = µ0H0, равнаw = – µ0(H0 M0)(10.25)Если же векторы Н и М связаны линейным образом, т.е.
магнитное поле создается не сторонними источниками, а порождаетсясамой намагниченностью, или, наоборот, намагниченность порождается сторонним полем Н, то1µ0(Н M).(10.26)2Объемная плотность сил, действующих на магнетик ([1], §39)f = ( M∇ ) B .(10.27)w =–Если связь векторов М и В линейная, тоf=µ −1∇B 2 .2µµ 0(10.28)Давление на поверхность раздела магнитных сред(10.29)p = w1 – w2,где w1 и w2 – плотности энергии по сторонам границы.
Сила давления направлена от среды с большей магнитной проницаемостью ксреде с меньшей магнитной проницаемостью ([3], §72, п. 5).§ 10.2. Основные типы задач (классификация)Задачи можно условно разбить на следующие группы согласноиспользуемым для их решения основным методам и формулам:10.1. Расчёт магнитных полей и намагниченности на границераздела магнитных сред.10.2. Нахождение магнитного поля, создаваемого токами проводимости в магнитной среде с линейной восприимчивостью.10.3. Применение метода молекулярных токов и магнитных зарядов при расчете магнитного поля постоянных магнитов.10.4.
Задачи для ферромагнетиков с гистерезисом магнитнойГл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле309восприимчивости.10.5. Нахождение магнитной энергии и сил в магнитных средах.§ 10.3. Методы решения и примеры решения задачЗадачи типа 10.1Расчёт магнитных полей и намагниченности на границе разделамагнитных средМетод решения. Использование граничных условий (10.6) – (10.7)Задача 10.3.1 (базовая задача). Бесконечный плоский слойпарамагнетика с магнитной проницаемостью µ граничит с вакуумом. Вектор намагниченности имеет веn β В2личину М и образует угол α с нормалью к(2)поверхности (рис.
10.1).τМ αНайти модуль В вектора магнитнойµ (1)индукции снаружи у поверхности и уголβ, образуемый им с нормалью.Рис. 10.1. Система координат к задаче 10.3.1РешениеОбозначим величины внутри и вне магнетика индексами 1 и 2соответственно. Поскольку токов проводимости нет, запишем граничные условия (10.6), (10.8):H1τ = H2τ .B1n = B2n ,Выразим напряженность и индукцию поля внутри магнетикачерез заданный вектор намагниченности, используя материальныесоотношения (10.9, 10.10)Н1 =MMµ=, В1 = µ0µH1 = µ 0M.χ µ −1µ −1Подставляя эти соотношения в граничные условия, и учитывая,что Н2 = В2/µ0, получим:B2n =откуда следует:µB2 τ M sin αµ 0 M cos α ,=µ −1µ0µ −1310ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧВ2 =µ0 Mµ M(µ cos α) 2 + sin 2 α = 0(µ 2 − 1) cos 2 α + 1 ,µ −1µ −1B1tg β = 2 τ = tg αB2 n µОтвет:В=µ0M(µ 2 − 1) cos 2 α + 1 ,µ −1tg β =Bτ 1= tg α.Bn µЗадачи типа 10.2Нахождение магнитного поля, создаваемого токами проводимости в магнитных средах с линейной восприимчивостьюМетод решенияа) Пространственные токи в проводящей "линейной" изотропной магнитной среде (µ = const).
В этом случае плотностьобъемных молекулярных токов j′(r) пропорциональна плотноститоков проводимости j′ = χ j (10.15). Сумма этих токов приводит кэффективному току jΣ, который в µ раз больше тока проводимости:jΣ = j + j′ = (1 + χ)j = µj.(10.30)В силу линейности уравнения (10.13), индукция магнитногополя В в такой среде будет в µ раз больше по сравнению с индукцией В0, которая создавалась бы этими же токами проводимости в вакууме:В = µ⋅В0 =µµ0H0.(10.31)б) Линейные токи в магнитной непроводящей среде.
При протекании тока проводимости I по тонкому линейному проводникуобъемные молекулярные токи в окружающей непроводящей средеотсутствуют, так как в ней j = 0. Но на границе среды с проводником возникает продольный поверхностный молекулярный ток, равный по величине намагниченности среды на границе с проводом:i′ = М. Полный молекулярный ток вдоль линейного проводника равенI′ = χI(10.32)(более подробно см.
ниже задачу 10.3.2).Ввиду подразумеваемой тонкости линейных проводников токиI и I′ можно считать пространственно совпадающими, поэтомувлияние магнитной среды на поле вне проводника эквивалентноГл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле311увеличению тока в проводнике в µ раз:IΣ = I + I' = (1 + χ)I = µI.Поэтому и в этом случае индукция магнитного поля В снаружипроводников также увеличится в µ раз по сравнению с индукциейВ0 от этих линейных токов в вакууме.Если же и провод сделан из магнетика, то его собственная намагниченность не влияет на индукцию вне провода, поскольку полный молекулярный ток через поперечное сечение самого проводника (объемный ток плюс поверхностный) всегда равен нулю (подробнее см.
задачу 10.3.3).Важно отметить, что все вышесказанное справедливо только вслучае, если однородный магнетик бесконечен, или же занимаетобласть, границы которой совпадают с линиями исходного поля В0или линиями совпадающего с ним поля Н0, какими они были бы вотсутствие магнитной среды (в вакууме). То же относится к случаю, когда среда неоднородна (т.е. проницаемость µ = µ(r) зависитот координат), но линии Н0 совпадают с поверхностями постоянства µ. В этих случаях везде div M = 0, поле Н в магнетике определяется только токами проводимости и будет таким же, как в вакууме.Поэтому решение для таких задач целесообразно начинать с нахождения поля Н, используя формулы для расчета магнитных полейот токов в вакууме (глава 7), убрав из них множитель µ0. Затем, знаяН(r), поле векторов М(r) и В(r) можно найти по формулам (10.9) и(10.10) соответственно.
Благодаря магнетику индукция В возрастет вµ раз, а вместе с ней также возрастут в µ раз и магнитные потоки через контуры и, соответственно, величины их коэффициентов самоиндукции и взаимной индукции (глава 8).Если же линии Н0 не параллельны границам магнетика или поверхностям постоянства µ, нахождение магнитного поля требуетточного решения краевой задачи. В некоторых случаях, когда можно достаточно просто найти распределение молекулярных токовили "магнитных зарядов" по границам магнетика, задача допускаети элементарное решение (см.
задачу 10.3.5).Задача 10.3.2 (базовая задача). Прямой бесконечно длинныйнемагнитный провод радиуса а, по которому течет ток I, находитсяв непроводящей бесконечной однородной среде с магнитной про-312ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧницаемостью µ. Найти намагниченность М(r), магнитную индукцию В(r), напряженность поля Н(r) и молекулярный ток I ′(r).РешениеВ силу осевой симметрии силовые линии векторов Н и В являются окружностями, на которых их модули Н и В постоянны(рис. 10.2).
Записывая теорему (10.5) о циркуляции вектора Н дляконтура радиуса r, получаемIH (r) =,2 πrII′а ввиду магнитной однородности средыµРис. 10.2. К расчетумагнитного поля, создаваемогобесконечнымнемагнитнымпроводом в магнитнойсреде (задача 10.3.2). I– ток проводимости впроводе, I′ – поверхностный молекулярныйтокIи2π rI.M ( r ) = (µ − 1) H ( r ) = (µ − 1)2π rИз-за однородности среды объемныемолекулярные токи отсутствуют, но имеется поверхностный молекулярный ток награнице провода и среды.
Согласно(10.16) его поверхностная плотностьB ( r ) = µµ 0 H ( r ) = µµ 0i′ = M(a) = χН(a) = (µ − 1)I,2π aгде а – радиус провода. Направление i′ при µ > 1 совпадает с направлением тока в проводе. Полный поверхностный молекулярныйтокI′ = i′ ·2πa = (µ–1)I.Таким образом, влияние намагничиваемой среды на магнитноеполе учитывается молекулярным током, который добавляется к току проводимости, текущему по проводнику.
Магнитная индукциявне провода определяется величиной эффективного полного токаIΣ = I + I′ = µI:IIB ( r ) = µ 0 Σ = µµ 0.2 πr2 πrIIIОтвет: M ( r ) = (µ − 1), B ( r ) = µµ 0, H (r) =,2 πr2 πr2 πrI′ = (µ–1)I.Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле313Задача 10.3.3. Бесконечный прямолинейный однородный провод радиуса a, сделанный из материала с магнитной проницаемостью µ1, находится в непроводящей бесконечной однородной средес магнитной проницаемостью µ2.По проводу течет постоянный ток I. Найти напряженность поляН(r), магнитную индукцию В(r), намагниченность М(r), объемнуюj′ (r) и поверхностную i′ плотность молекулярных токов внутрипровода и снаружи.РешениеВ силу осевой симметрии системы линии полей Н, В и М являются окружностями, на которых модули Н, В и М постоянны(рис.
10.3). Обозначим переменные внутри провода индексом 1, вненего – 2.Область r ≥ a. Решение для Н(r), В(r) и М(r) в наружной области разобрано в предыдущей задаче, в полученных ответах нужнотолько поставить индекс 2.Область r < a. Записывая теорему (10.5) о циркуляции вектораН для контура радиуса r, получаемr22πrH1(r) = I(r) = I 2 ,arоткуда следуетIrH1 (r ) =r,2 πa 2I µ1µ2где I(r) обозначает ТОК, протекающий через круг радиуса r.
ОтсюдаполучаемIB/µ0,r,В1(r) = µ 0µ1 H 1 ( r ) = µ 0µ1B/µ 02πa 2НIМ1(r) = (µ1 − 1) H 1 ( r ) = (µ1 − 1)rH2 πa 20ar.Ввиду магнитной однородностиматериала провода плотность молекулярных токов (10.15) внутри него,согласно (10.32), равна j1′ = (µ1 –1) j,Рис. 10.3. К расчету магнитногополя, создаваемого бесконечныммагнитным проводом в магнитной среде (задача 10.3.3). Пунктир – линии поля Н314ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧI– плотность токов проводимости. Полная поверхностπa 2ная плотность молекулярного тока на границе провод-среда (10.16):где j =i′ = М2(a) – М1(a) = (µ 2 − 1)Ответ: r < a:H1 (r ) =III− (µ1 − 1)=(µ 2 − µ1 ) .2 πa2 πa 2 πaIIr , В1(r) = µ 0µ1r,22 πa2πa 2IIr;j′1 = (µ1–1) 2 ;22 πaπaIIH 2 (r) =r ≥ a:, B2 ( r ) = µ 2µ 0,2 πr2 πrIM 2 ( r ) = (µ 2 − 1);j' = 0,2 πrIr = a:i′ =(µ 2 − µ1 ) .2πaМ1(r) = (µ1 − 1)Картина линий для полей Н и В и качественный график их зависимости от r показаны на рис.
10.3 для случая µ1 > µ2.Замечание. Полный поверхностный молекулярный ток можнопредставить в виде суммы вкладов I 2′ пов и I1′пов соответственно отвнешней и внутренней приграничной намагниченностиI′ = 2πa i′ = I (µ 2 − µ1 ) = (µ2 –1)I – (µ1 –1)I = I 2′ пов + I1′пов .Таким образом, поверхностный молекулярный ток, обусловленный намагниченностью материала провода, равенI'1 пов = – (µ1 – 1)I.Полный же объемный молекулярный ток в проводеI′1 об = πa2j' = (µ1 –1)I. Итак,I'1пов + I'1об = 0.Это – следствие указанного выше общего положения, что молекулярный ток через площадь любого сечения намагниченного тела равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
