Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Если мы сможем найти какое-нибудь решение, то оно должно быть единственным решением. Но функция Сг, где С является некоторой константой, удовлетворяет уравнению Лапласа, так что уравнение (41) действительно дает нам значение потенциала внутри шара. Это — потенциал однородного электрического поля, направленного вдоль отрицательной осп >и Так как направление оси г определяется направлением вектора Р, то в боле~ общсз> виде полученный резу~~~а~ моин>о за~псарь следующим образом: Уравнение (43) дает значение макроскопического поля Е в поляризованном вещсстве. На рис. 9.27 показаны и внутреннее, н внешнее поля. У верхнего полюса сферы внешнее поле направлено вверх и равно по формуле (14) для поля диполя 2Ь 2 (чя?~л>?? 3) Е ==— з в Г ?л взР— (снаружи).
(44) 3 Это — удвоенная величина внутреннего поля, направленного вниз. Рассмотренный пример является иллюстрацией к общим правилам поведения компонент поля у по- верхности поляризованной среды. Рлс 9.?х поле лнутта в снаружи одло Поле Е претерпевает разрыв у по- рллно поллжшллллно?о шаРа. верхностн поляризованной среды точно так же, как это происходило бы у заряженной поверхности с плотностью заряда а=- Р„ в вакууме. Обозначение Р, относится к проекции Р на нормаль, направленную наружу. Следовательно, нормальная компонента Е должна претерпевать разрыв на величину 4пР„, в то время как компонента Е, параллельная границе, остается непрерывной, т. е.
имеет одинаковое значение по обе стороны границы. Действительно, у северного полюса нашей сферы изменение Е, равно 8лР13 — 4пР)3, или 4пР(3. Вернувшись к уравнению (14) для поля диполя, можно показать, что компонента Е, параллельная поверхности, остается непрерывной всюду на сфере при переходе через ее поверхность. 325 9,11. Диэлектрический шар в однородном поле В качестве примера рассмотрим шар из вещества с диэлектрической постоянной е, помещенный в однородное электрическое поле Е„подобное полю между параллельными пластинами воздушного конденсатора (рис. 9.28).
Пусть источники этого поля (заряды на пластинах) расположены так далеко от шара, что не смещаются, когда шар вносится в поле. Тогда, какое бы поле ни было в окрестности шара, оно практически останется равным Ео на большом расстоянии. Таков смысл выражения свнести шар в однородное поле». В окрестности шара полное поле Е не является однородным.
Оно представляет собой сумму однород- ного поля Ео удаленных источников и поля Е', созданного самим поляризованным веществом: Е= Ео+Е (45) Поле Е' зависит от поляризации Р диэлектрика, которая в свою очередь зависит от величины поля Е внутри шара: 1~ту[/г) Ешд !1)11((! + + ++ + + + + + + + Р =-;[,Е =- — Е. (46) Рнс. р 28. Истоянннн поля С, остаются неподннжныян. В днэлектрняескон шаре ноэннкает полярнэання Р. Полное поле Е яалястся суперпоэннпен паля Вэ и поля этого полярнэоэанного шара Однако нам неизвестно, чему равно полное поле Е; мы знаем только, что уравнение (46) должно быть справедливо в любой точке внутри шара. Если шар поляризован однородно (предположение, которое должно быть подтверждено нашими результатами), то соотношение между поляризацией шара и его собственным полем Е', во всех точках внутри, уже дано уравнением (43).
(В уравнении (43) мы обозначали это поле через Е; там оно было единственным полем.) 4лР 3 (47) Еннутр Теперь у иас достаточно уравнений, чтобы исключить Р и Е' и получить соотношение, связывающее Е и Е,. 326 Ни один из этих выводов не зависит оттого, какой причиной вызвана поляризация шара. На рис. 9. 27 показано поле любой сферы, поляризованной однородно. На это поле может быть наложено любое поле других источников, представляющих собой различные возможные системы. Это не повлияет на разрыв Е у границы поляризованной среды.
Приведенные правила, следовательно, применимы к любой системе; разрыв в Е определяется исключительно сушествующей поляризацией. Пользуясь уравнениями (45) — (47), получим 4лр е — ! Е=Е,— — =-Е,— — Е. з (48) Решая это уравнение относительно Е, получим Е = — ( —,) Еа. (49) Г1оскольку е болыпе единицы, множитель Зг(2 — 'е) будет меньше единицы; поле внутри диэлектрика слабее поля Е.. Плотность поляризации равна (50) Предполагавшуюся ранее однородность поляризации можно теперь считать очевиднои н).
для вычисления полного поля Е вне шара мы должны взять векторную сумму Е„и поля пентрального диполя с дипольным моментом, равным Р, умноженным на объем шара. Некоторые силовые ливии поля Е как внутри, так и снаружи шара из диэлектрика изображены на рис. 9.29. 9.12, Поле заряда в диэлектрике и теорема Гаусса Предположим, что в очень большом объ Рнс. 9 29.
Пенное пале Е ЕЫЕ ОДНОРОДНОГО ДИЭЛЕКтрниа РЗСПОЛОЖЕИ ниугрн н снаружи ыара ан концентрированный заряд 9, не являющийся частью молекулярной структуры диэлектрика. Вообразим, например, что в сосуд с маслом погружен маленький улаталлическнй заряженный шар. Как уже было сказано, электрическое поле в масле равно просто произведению !!е на поле, создаваемое зарядом Я в вакууме: Е =- —, . Ю егн (51) Интересно посмотреть, что дает в этом случае теорема Гаусса. Поверхностный интеграл от поля Е (вспомните, что это поле 327 ") Вот почему с такой системой легко работать. Зля диэлектрического цилиндра конечной длины, находящегося в однородном электрическом поле, это предположение несправедливо. Поле Е' однородно поляризованного цилиндра, например, с длиной, приблизительно равной его диаметру, не является однородным внутри цилиндра.
(Каким оно должно быть?) Следовательно, поле Е= Ер+Е' неоднородно, но в этом случае и поляризация Р=таЕ не может быть однородной. Детаствительно, однородная поляризация в однородном поле достигается только в диэлектриках эллипсоидальной формы, шар представляет собой частный случай такой формы. ) еЕ йа=4п) р,„вди, (52) где $' представляет собой объем, ограниченный поверхностью 5. Из написанного интегрального закона следует локальное соотношение между дивергенцией векторного поля еЕ и плотностью свободного заряда: с(!ч (еЕ) = 4прсваб' (53) Так как величина е предполагается постоянной во всей среде, урав- нение (53) не содержит ничего нового.
Однако оно может помочь нам выделить роль связанного заряда, Для любой системы фунда- 828 является макроскопической величиной, образующейся в результате усреднения по объему), взятый по сфере, окружающей 9, равен 4пфе — если верить уравнению (5!),— а не 4п1',1. Чем объяснить это различней Дело в том, что 9 ие является единственным зарядом внутри сосуда с маслом. Там находятся также все заряды, составляющие атомы и молекулы диэлектрика. Обычно любой объем масла электрически нейтрален. Но в данном случае масло радиально полярнзовано, так как заряд Ц (если он положительный) притягивает отрицательные заряды молекул масла и отталкивает положительные.
Несмотря на то, что смещение в каждой молекуле может быть весьма мало, все же в среднем любая сфера, описанная вокруг 1З, будет содержать больше отрицательных зарядов молекул масла, чем положительных. Таким образом, полный заряд внутри сферы, включая «стороннийз заряд 1~ в центре, меньше ().
Он действительно равен Я, е. Часто бывает удобно различать ясторонннйь заряд Я и заряды, которые создает сам диэлектрик. Г)ервый мы можем, до известной степени, контролировать — заряд можно либо добавить, либо удалить от предмета, например от пластины конденсатора. Такой заряд часто называют свободным. Остальные заряды, являющиеся неотьемлемыми частямн атомов или молекул диэлектрика, называют обычно «связаннымиз зарядами. Лучше было бы назвать их структурными зарядами. Эти заряды не могут перемещаться, но являются более илн менее упруго связанными и вносят благодаря испытываемому ими смещению вклад в поляризацию. Можно придумать векторную величину, связанную со свободным зарядом законом, подобным закону Гаусса.
В системе, которую мы только что исследовали (точечный заряд Ц, погруженный в диэлектрик), таким свойством обладает вектор еЕ. Действительно, еЕ г(а, взятый по некоторой замкнутой поверхности Я, равен 4пд, если поверхность 5 охватывает заряд 1',1, и равен нулю, если о не охватывает 9. Согласно принципу суиерпозиции это должно быть справедливо дтя любых свободных зарядов, описываемых плотностью свободного заряда р„,6 (х, у, г) в бесконечной однородной диэлектрической среде: ментальное соотношение между электрическим полем Е и полной ПЛОтНОСтЬЮ ЗаРЯДа (Р„об+Рс,,) ОСтаЕтСЯ СПРаВЕДЛИВЫМ (Рсаоб + Рсззз). Из уравнения (53) и (54) следует, что г)1у (е — 1) Е = — 4нр,„„,.
(55) Согласно уравненшо (38) (е — 1)Е=4ПР, следоватстыю, уравнение (55) можно записать следующим ооразом: 5)1Т Р = — — р,„а,. (56) Уравнеун|е (56) явтяется Выражепнеб| того фа~та, что распрсдс- л:н|ш сВязанных зарядОВ В гпоб '~й окрестное|и Опред.,ляется поля- ризацией — и больше ничем, 1)с|этому оно ис может зависеть ни от условий где-либо в системс, ни от того, каким способом сохраняется опрсдсленное расположение связанных зарядов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
