Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 76

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 76)

Следовательно, малое смещение г от центра в любом направлении вызовет изменение среднего поля 333 Теперь можно воспользоваться законом Гаусса, так как поверхностный интеграл в уравнения (64) является как раз потоком Е через сторону куба, в центре которого находится заряд г). Этот поток должен быть равен 4щ,'6, посколы;у куб имеет шесть эквивалентных сторон. Отсюда следует, что кубика, равное — 4пдг/ЗЬ'. Таким образом, среднее поле в кубике для атома А с его распределением зарядов р(х, у, г) будет равно <Е. з..> тэ = — ~~,~ ) гр "щ (66) Интеграл ~ гр с(и представляет собой дилольный момент р распределения зарядов р.

(Сравните с определением дипольнога момента (1О).) Теперь мы имеем 4л <Есозствукуз зРгр (67) Остальное ясно. Из уравнения (62) мы сразу получим лл <Е.„„.у... =- Е-и зь', р (68) Если добавить, что <Е„„„,>„тз является полем, поляризующим атом, тогда отношение р к этому полю будет равно атомной поляризуемости: (69) Из (68) и (69) можно получить соотношение, связывающее р и Е: (70) (71) и, после преобразования, (72) Множитель в квадратных скобках представляет собой электрическую восприимчивость т,.

При выводе уравнения (72) мы допустили два приближения. Вопервых, мы предположили, что все распределение атомных зарядов находится вблизи центра кубика; уравнения (65) и (66) не точны, если г или г не малы по сравнению с Ь. Во-вторых, мы пользовались средним значением Е„, по кубику, вместо значения Е„„, в центре кубика, для поля, поляризующего атом. Для плотной упаковки атомов, наблюдаемой в большинстве кристаллов, первое предположение не очень реалистично, а вопрос, связанный со вторым предположением, не относится к делу.

Нельзя ожидать, что уравнение (72) будет в точности справедливым для реального кристалла. Когда атомы вещества находятся на очень большом расстоянии друг от друга, так что 4пйи/3 ~(1, то можно пренебречь этим членом Это соотношение можно выразить через макроскопическую величину плотности поляризации Р. Так как л/, число поляризованных ато- мов в ! си', равно !/й', то Р=-л/р=-р/0', Подставляя значение Р в (70), получим в знаменателе уравнения (72) н электрическая восприимчивость будет равна т, = Л(а.

(73) Такой результат мы получили бы, забыв о влиянии диполей друг на друга. Он вполне приемлем для газов нормальной плотности, где член 4пЛгсг13 имеет порядок 10-'. В таких веществах геометрическое расположение атомов несущественно,— значение имеет только их число в кубическом сантиметре. Таким образом, при точном измерении диэлектрической постоянной газа при низком давлении можно определить атомную поляризуемость, не опасаясь осложнений, возникающих из-за взаимного влияния диполей. Для проверки теоретической формулы (72) можно использовать результаты измерений более плотного состоянии того же вещества "). Член — 4пгча(3 в знаменателе уравнения (72) отражает взаимодействие поляризованных атомов в кристалле. Очевидно, что взаимодействие атомов увеличивает поляризацию по сравнению с той, которая была бы без него.

Прп серьезном подходе к этой математической формуле открывается удивительная возможность. Что, если ЛЪ будет столь велико, что член 4пйггг(3 станет равен или больше единицы1 Получается, что восприимчивость у, будет бесконечно большой, что означает поляризацию в нулевом поле. Это кажется бессмыслицей, но в действительности это не так. Кекоторые известные кристаллы обладают самопроизвольной электрической поляризацией. Однако такое явление означает нечто большее, чем индуцированиую поляризацию, поэтому наша теория здесь неприменима. Действительно, для того чтобы член 4пЛ(я/3 стал близок к единице, расположение атомов должно быть настолько плотным, что наши прпближсния вообще непригодны (см. задачу 9.30).

9.14. Изменение энергии при поляризации Чтобы зарядитьконденсатор до разности потенциалов У, нужно 1 совершить работу, равную — СГ'. Такое же количество энергии 2 можно получить от конденсатора, разряжая его через внешнюю цепь. Эта энергия была запасена в заряженном конденсаторе. В гл. 2 было показано, что энергию, запасенную в любой электростатической системе, можно вычислить, считая, что энергия электрического почя равна Ез(8и эра'слез.

Так как величина поля Е в воздушном конденсаторе с параллельными пластинами с площадью пластины, равной А, равна Угг, где г — расстояние между пластинами, то (Е'78п)к объем= УзА!8в(=-СУз12. *) Можно показзть, что соотношение (72) справедливо не только для нристал.

лов с кубической симметрией, но также и для газов, расположение атомов которых в пространстве явлнется случайным. Лучшее экспериментальное подтверждение этого предполон~ения следует нз измеренлй диэлектрических постоянных газов при сравнительно большой плотности и высоком давлении (см. задачу д,2З), Если конденсатор заполнен диэлектриком с диэлектрической постоянной е и заряжен до той же разности потенциалов )х, то произведенная работа будет болыпе на множитель е, так как емкость С увеличилась. Однако величина Е остается неизменной. Следовательно, энергия, связанная с единицей объема в диэлектрике, равна не Еа'8п, а еЕ-"!8п, Это положение можно обобщить для любых электростатических систем. Вместо уравнения (2.36) мы теперь имеем Энергия = — еЕ' й(ш 1 аз,) (74) Рис. 0.3«. Попяриауемая моле.

нула иапоминаег Лаа заряда, соединенных упругой пруминон, В поле Е пруагина расгяхуга. (75) Запасенная энергия, соответствующая этой работе, может быть обнаружена в двух местах, а именно в сильно растянутой упрутой пружине и электрическом поле самого молекулярного диполя, который теперь обладает ббльшим количеством полной энергии за счет увеличения расстояния между двумя зарядами. В реальной молекуле такого разделения сделать нельзя.

Вся энергия обусловлена структурой молекулы, и если бы мы могли заглянуть в эту динамическую структуру, то обнаружили бы, что полная энергия состоит из электростатической потенциальной энергии и кинетической энергии движения электрона. Дело обстоит так: работа, совершенная над молекулой для изменения ее поляоз6 Какпл1 образом запасается «дополнительнаяи зисргпяу Рассмотрим изолированную поляризу мую молекулу, к которой можно приложить электрическое поле. Ка рис.

9.34 эта молекула представлена в виде двух заряшж, прикрепленных к концам упругой пружины, Дипольпый момент р молекулы является вектором величины аж Поле Е + создается какими-то внешними псточии. + , 'д.Со" + ) э (~ — ками, например пластинами и батареей, изображенными на рисунке. Предполо+ 7 +,7 жим, что в присутствии поля Е заряды переместятся в противоположные сто+ -ь- - роны па расстояние Ф; прн этом величина дппольного момента изменится от дз до гг(э+«Ь).

Движение зарядов в на+ правлении поля Е эквивалентно перемещению заряда +д на расстояние сЬ. (Не имеет значения, движется один конец нли оба.) Следовательно, над молекулой была совершена работа, равная Едй(э. Единственным поставщиком этой работы является источник поля — на рис. 9.34 батарея, поддерживающая постоянную разность потенциалов между пластинами. Если работу, совершенную над молекулой, обозначить через ййг, то Е дР = 4 (с — 1) Е г(Е = — — (е — 1) с((Е'). ! ! Зп (?б) '«.ЛСДОВИТСЛЬНО, НЗ «Е . ЯП ЭгтГ, КОТОРЫС бЫЛП ЗацаСЕНо! В ДПЭЛСКТРИКС, (с — 1) Е-";Зп моукпо Отнес!;::." с !ет увслпчгш!Ой ш)утреш!сй! зпергпн поляризованных молекул. Осы!ток Е-",'Оп является знсргпсй, запа- сенной в поле вакуума. 9.15.

Диэлектрики, состоящие из полярных молекул Молекулы с собственными дипольными моментами, называемые полярными молекулами, ствсмятся расположиться в электрическом поле так, чтобы векторы их дппольных моментов совпали по направ- лению с Е. Подходящей механической моделью таких молекул являются не два заряда на концах пружины, а стержень с двумя зарядами, прикрепленными к его ко!шам (рис. 9.35). Если такой стержень образует угол О с направленном поля, то на него действует вращающий момент, равный Е дз яп 9.

+ Работа, совершенная на угловом псрсме- + щснни дО, равна (вращающий момент и," "+(Улар хугловое перемещение), или Е дзз(ИОЫО. + 4' ~( ) Ее можно также выразить через векторный; ( 3 ав !у!у дипольный момент р с модулем пз п прнра- „у 3~"'! щение т(р, возникающее в результате поворота молекулы на угол <(О. Из графика " Е ясно, что модуль др равен р с(О, а направ- + ление его таково, что Е !(р=Е стр зйп О. Таким образом, д1Г=-Е.!(р; как и счедовало ожидать, это согласуется с уравне- р,, „, и нием (?5).

прщ«репа«ннмх к концам Если изОЛнрованная Поля(зная мотек)ла стерлгня ноле с прнвокпт к в момент включения электрического поля Е пояален1«ю на молекуле вращиощего момента. занимает положение, указанное на рпс. 9.35, то она начнет поворачиваться, стремясь расположиться параллель- но полю, но, пройдя положение равновесия, будет продолжать коле- баться подобно маятнику, поскольку сообщенная ей энергия больше ни на что пе расходуется. Реальная молекула, однако, окружена другими молекулами и может обмениваться с ними энергией.

Характеристики

Список файлов книги