Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 49
Текст из файла (страница 49)
поле В. Вклад в В от каждого малого элемента провода б(1 'является вектором, перпендикулярным жяк плоскости, содержащей д1 и г, величина которого И/з1пгр/гэс, где гр — угол между й(1 и г. Это можно записать с помощью векторного произведения (см.
рис. 6. 14) ДВ /ДХ" пгэ (38) Если вы знакомы с правилами векторного исчисления, вы можете легко перейти от уравнения (36) к (38). Когда мы пишем б(В= =7)(й(А, где г(А=/г(1/сг, то рассматриваем р как вектор, что позволяет менять местами сомножители векторного произведения н изменять их знак. Здесь б!1 является величиной постоянной, так что Ч 20б Из симметрии задачи следует, что вклад этой части А в го! А должен быть перпендикулярен к плоскости хр. Обозначая соответствующую часть В через г(В, имеем ИВ=ГО! (б(А) =г ( — —" ! =' ( /' '" = ( 'с! Мп Р (37) ду / (.т ! эа)" гв Этот результат сразу освобождает нас от конкретной системы координат.
Очевидно, все определяется относительной ориентацией элег мента д! и радиуса-вектора проведенного из этого элемента в точку, в которой вычисляют действует только на 1/», иначе мы не могли бы воспользоваться этим правилом. Вспомним, что 7 (1/г) = — — г/г'- (как прн переходе от потенциала Кулона к полю Кулона). Таким образом, !сн 1 1К1Х (В=т/Х вЂ” = — 51 Х р( — 1= — — 61Х1 — 1= —. (30) сг с (,г) с г~ / сгс В истории физики уравнение (38) известно как закон Био — Савара. Его смысл заключается в том, что если В вычислено интегрированием по полному контуру с учетом вкладов от каждого элемента, даваемых этой формулой, то мы получим верное значение результирующего поля В. Вклад части контура физически неопределим (см.
сноску на стр. 201). Действительно, (38) не является единственной формулой, с помощью которой можно получить правильный результат для  — к нему можно было бы добавить любую функцию, которая давала бы нуль при интегрировании по замкнутому пути. Итак, хотя понятие о векторном потенциале оказало нам существенную помощь, казалось бы, что дальше мы можем обойтись без него. Действительно часто проще вычислить поле системы токов непосредственно, пользуясь полученным нами уравнением (38), чем определять предварительно векторный потенциал. Мы приведем в следующем разделе несколько практических примеров таких расчетов. Однако векторный потенциал важен по более глубоким причипам. Во-первых, он открыл для нас поразительную параллель в отношениях, существующих между электростатическим полем и его источниками (электрическими зарядами) и магнитным полем и источниками этого поля (токами).
Величайшая польза понятия векторного потенциала выявится далее при изучении меняющихся во времени полей и электромагнитного излучения, 6.5. Поля колец и катушек Нить с током в форме кольца радиуса 5 показана на рис. 6.15, а. Мы можем предсказать без всяких вычислений, что магнитное поле такого источника должно иметь вид, подобный изображенному на рис. 6.15, б, где мы начертили несколько силовых линий в плоскости, проходящей через ось симметрии. Поле в целом должно иметь вращательную симметрию относительно этой оси (ось г на рис. 6.15, а), а сами силовые липни должны быть симметричны относительно плоскости петли (плоскость ху). Поле в непосредственной близости от нити с током будет напоминать поле вблизи длинного прямого провода, так как здесь относительное значение удаленных частей петли невелико. Поле на оси легко вычислить, используя уравнение (38). Каждый элемент кольца длиной с((создает вектор с(В, перпендикулярный к г.
Мы должны рассмотреть только г-компоненту 5В, так как нам известно, что полное поле на оси должно быть направлено вдоль нее: с(В = — соз6= — —. 1Ж 1Ж Ь х сгс сг2 г ' (40) 207 Интегрируя по всему кольцу, мы сразу получим ~ с(! = 2лЬ, так что лоле в любой точке оси равно 2пЬат 2лЬЧ сга с !Ьа-1- гт) П (поле на оси). (41) В центре кольца г=О, и величина поля 2а! В, = †', (поле в центре).
сЬ (42) Цилиндрическая проволочная катушка, изображенная на рис. 6.16, а, обычно называется соленоидом. Мы предполагаем, что проволока распределена плотно и равномерно, так что число витков обмотки на сантиметр длины вдоль цилиндра является величиной постоянной и равной л. Таким образом, в действительности ток идет по спирали, но если витков много и они расположены плотно друг к другу, мы можем этим пренебречь и рассматри- вать соленоид как совокупность колец с током.
Тогда мы можем взять уравнение (4!) за основу для вычисления поля в любой точке, например в точке л г на осн катушки. Рассмотрим сначала вклад кольца с током, расположенного между радиусами, проведенными из точки г и образующими с осью г углы от О до 9 ьс(0.
Длина этого участка соленоида, выделенного на рис. 6.16, б, равна гс(0/з!и О, и поэтому он эквивалентен кольцу с током, равным !пгс(0(О!НО. Так как г=вЬ(з!НО, это кольцо дает следующий вклад в поле на осн: с(В = — ", = — ' з!п 0 с(0. (43) 2лЬт!лг бв 2п!и Стн О!П О С Интегрирование в пределах от О, до О, дает Ов В,= — "") з!НОсХО= О, = — (созО, — соз Оа). (44) 2л !и с Рас. О.!5. Матннтное пале колька с таком.
а! Вытнсленне поля на асн. б> Некоторые снлоные линни паля. Мы воспользовались уравнением (44), чтобы построить график зависимости поля от положения на оси катушки (рис. 6.17), длина которой в четыре раза больше ее диаметра. По осн ординат отложено отношение величины поля В, к величине поля в катушке бесконечно 2ОЗ большой длины с тем же количеством витков на сантиметр и с той же силой тока в каждом витке. Для бесконечно длинной катушки 01=0, а О,=п; таким образом, В,= — ' (соленоид бесконечно большой длины). (45) би!я В центре катушки «четыре к одному» поле весьма близко к этой Рис. 6.16.
а) Соленоид. 6) Выявслевне поля на осв соленавда. Рис 6.17. Пале ба Яа оси солснонДа, покааанкато на Рнс. б.!6, и — Расстоаяве еДоль оси, выраженное в радиусах катушки. величине и остается почти постоянным, пока мы не прнблизимся к одному нз концов. На рис.
6З8 изображены линии магнитного поля внутри и вне катушки с такими пропорциями. Заметьте, что некоторые силовые линии действительно проходят через обмотку. Цилиндрический слой тока служит поверхностью разрыва для магнитного поля. Конечно, если бы нас интересовало поле в непосредственной близости от проводов, мы встретились бы не с бесконечно крутыми перегибами, а с очень сложными волнистыми путями силовых линий вокруг отдельных проводов и сквозь них. Вполне возможно сделать длинный соленоид, состоящий из единственного витка тонкого широкого проводника в виде ленты, как 209 на рис. 6.19.
Для такого соленоида полностью годятся наши вычисления и диаграмма на рнс. 6.18, но величину п1 надо заменить током на сантиметр, текущим в ленте. Изменение же направления линии поля, проходящей сквозь стенку, происходит исключительно в толще ленты, как показано на увеличенной части рис. 6.19. Рнс. 6Л 6. Снлоаме линии паля аиутра и аанруг соленоида. Рис. 6!Р. Соленоид, изгатааленнмй из целого прояодтцего ллста, саериутого а цилиндр. В уаслнясяиом иасап абе ионазаио, ято линии полн меняют напрааление анутрп просодия на с током. Ты могли бы найти поле бесконечно длинного соленоида, не делая вычислений, приведших к уравнению (45).
Очевидно, что в бесконечно длинном соленоиде ничего не изменяется с изменением г-координаты в направлении осн. Поле должно быть везде параллельно осн г. Рассмотрим линейный интеграл от В по прямоуголь- 210 ному пути, подобному пути АВСРА на рис. 6.20. Горизонтальные стороны не вносят ничего. Сторона СР тоже ничего не должна вносить, так как если линейный интеграл по СР имеет конечную величину, то интеграл вдоль любой другой такой же линии, как, например, С'Р', имел бы такую же величину и мы получили бы магнитное поле постоянной интенсивности, заполняющее все пространство вне катушки.
! ! Мы приходим к заключению, что поле ! вне катушки должно быть равно нулю ). Остается только линейный интеграл от В вдоль АВ, который равен В,/, и полный линейный интеграл должен быть равен величине 4п/с, умноженной на охватываемый контуром ток. Следовательно, В,/.=-(4п/с)ггП или В,=-4ип//с в соответствии с (45). ф ! ! вввууввг лам ' 6.6. Изменение поля В вблизи листа с током На рис. 6.19 изображен соленоид в виде изогнутой по окружности ленты с током. Рис. б ЗО. Рисунок иокааыва- РаССМОтрИМ ЕщЕ бОЛЕЕ ПрОСтсй ПрИМЕр, а ет,наченунолевнебесконечно Ллинного соленоида равно именно плоский неограниченный лист с нулю. током.
Это может быть медный лист равномерной толщины, в котором ток постоянной плотности и направления течет во всех точках внутри металла. Для того чтобы задать направленые, расположим лист в плоскости хг и заставим ток течь в направлении оси х. Так как выбранный лист бесконечно велик и не имеет краев, его трудно изобразить. Мы покажем лишь вырезанный участок листа на рис.
6.21; остальную часть листа, распространяющуюся на всю плоскость, вы должны себе представить. Толщина листа, в конце концов, не имеет большого значения, но можно предположить, что она имеет конечную величину С Если плотность тока внутри металла равна и' (ед. СГСЗ«/сек)/см', тогда каждый сантиметр высоты в направлении оси г включает ленточку тока, равную Л (ед. СГСЭ /сек). Мы назовем зту величину «поверхностной плотностью» тока, или «ленточной плотностью» тока, и применим обозначение з для того, чтобы отличить ее от объемной плотности тока 3. Единицей Л является (ед. СГСЭ«/сек)/см.
Если нас не интересует то, что происходит внутри самого листа, то з является полезной величиной, *) Почему такой соленоид не создает однородного поля во всем пространстве снаружи? Ведь бесконечно длинная плоеная лента с током, ноторую мы будем рассматривать, имеет однородное поле, заполняющее половину пространства по обеим ее сторонам. Однако соленоид можно сделать сколь угодно тонким, и было бы действительно странно, если бы соленоид исчезающе малого диаметра мог создать везде поле конечной силы. Может быть, вам удастся придумать более подходящее объяснение. Как мы увидим, именно 0 определяет изменение магнитного поля от одной стороны листа к другой.
Поле, изображенное на рнс. 6.21, создано не только одним листом. Существует некоторое' поле, созданное другим источником и направленное вдоль оси г. Полное поле, включающее поле от листа с током, представлено векторами В, начерченными перед, чистом и позади него. Рассмотрим линейный интеграл от В по прямоугольнику!2341, показанному на рпс. 6.21. Одна из его длинных сторон расположена перед поверхностью листа, другая — за листом и ко- У роткне стороны проходят сквозь лист.
Пусть В; обозначает г-компоненту магнитного поля непосредственна перед листом, а В, — г- компоненту поля непосредственно позади листа. Мы имеем в виду поле, соз- данное всеми источниками, которые могут оказаться поблизости, включая сам лист. В' Линейный интеграл от В по длинному прямоугольнику равен просто ((В; — В,). (Даже если бы существовал какой-нибудь другой источник, который создавал бы 1 компоненту поля, параллельную коротким сторонам прямоугольника, последние моРис. НЛС У листа с поверх- ТУТ СЧИТВТЬСЯ СКОЛЬ У'ГОДНО КОРОТКИМИ ПО сравнению с длиннымн сторонами, так как понсрхности иомпоиенти Ве должна меннтесн пр» пере. МЫ ПРЕДПОЛаГаЕМ, Чта ЛИСТ вЂ” ТОНКИЙ, ВО всяком случае, сравнительно с масштабом любой вариации поля.) Ток, охватываемый прямоугольником, равен просто (7, Таким образом, мы имеем выражение !(В," — В,)=-4ИЗВВ, или В," — В, =- — ' 4ВР (46) Лист с током плотности 2 вызывает скачок той компоненты В, которая параллельна поверхности н перпендикулярна к Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
