Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 48
Текст из файла (страница 48)
б.!О полный поток равен нулю и что их размеры можно уменьшить до нуля, не получив никакого потока. Для такого поля Йу В=О и, следовательно, аг это справедливо также для любых супер- позиций таких полей. Мы постулируем, что этот принцип может быть распространен на поля, создаваемь|е любым распределением токов, так что условие йчВ=О (16) является дополнением к уравнению (15). р Уравнения (15) и (16) вместе одно- каждого ящика равен нулю. значно определяют В, если дано Э.
Если бы у вас были два различных поля В,(х, у, г) и В,(х, у, г), удовлетворяющих уравнениям (15) и (16), то их разность В, — В, была бы полем с нулевой дивергенцией и нулевым ротором в любой точке. Такое поле представляет собой просто постоянный вектор В„одинаковый во всех точках пространства. Итак, за исключением возможного добавления постоянного поля, заполняющего все пространство, условия го! В=4я3/с и йч В=-О однозначно определяют магнитное поле с заданным распределением токов. Интересно сравнить эти условия с их аналогами в случае электростатического поля. Там мы имели условия (17) йуЕ=4пр и го1Е=О. Вспомним, что в случае электрического поля мы начинали с закона Кулона, который непосредственно дает вклад каждого заряда в электрическое поле в любой его точке.
Здесь мы должны будем получить некоторое выражение такого же типа *). Мы сделаем это с помощью потенци льной функции. *) Читатель, возможно, удивится, почему мы не начали с некоего эквивалента закона Кулона длн взаимодействия токов. Ответить на это можно так: отрезок нити с током, в противоположность электрическому аарвду, не является независимым объектом, ноторый может быть физически изолирован.
Вы не можете провести эксперимент по определению ноля, созданного частью контура: если остальной части контура нет, ток не может быть постояиаым без нарушении условия непрерывности. 201 6.3. Векторный потенциал (20) Мы показали, что скалярная потенциальная функция св(х, р, х) дает возможность простым путем вычислить электростатическое поле распределения зарядов. Если существует некоторое распределение зарядов р(х, у, г), то потенциал в любой точке (х„у„, г,) дается объемным интегралом ср(х„у„г,) =-) "( *' "' ')сЬ,, (18) сзз Иптегрнрованпе производится по всему распределению зарядов, а г, есть расстояние от (х„да, г,) до (х„у„г,). Электрическое поле Е равно взятому с обратным знаком градиенту св: Е =- — огай св.
(19) Этот способ непригоден в данном случае, так как поле В имеет су. щественно другой характер. Ротор В не обязательно равен нулю, следовательно, В не может, в общем случае, быть градиентом скалярного потенциала. Нам известен, однако, другой вид производной вектора — ротор. Оказывается, В можно представить не как градиент скалярной функции, а как ротор векторной функции: В=-го(А.
По очевидной аналогии мы называем А векторным пощанииалоиь В данном случае польза такого представления не очевидна. Это выяснится в дальнейшем. Ободряющим является то, что уравнение (16) автоматически удовлетворяется, так как с()в го1 А==-0 для любого А а). Или, выражаясь иначе, тот факт, что йч В=О дает нам возмогкность представить В в виде ротора другой векторной функции. Нам предстоит теперь выяснить, как вычислить А, если дана плотность тока 3, чтобы уравнение (20) действительно точно описывало магнитное поле.
Принимая во внимание уравнение (15), соотношение между 3 и А запишем в виде го! (го1 А) = — ' (21) Уравнение (21), будучи векторным, представляет собой в действительности три уравнения. Попробуем выделить одно из ппх, скажем х-компоненту уравнения (21). Компонента (го! В)в равна дВ,/ду— — дВ„/дг; а- и у-компоненты В соответственно равны (22) Следовательно, х-компонента уравнения (21) имеет внд д !' дАу дА» '! д ( дАа дАг'! 4Ых ду (, дх ду,l дг (, дг дх / с (23) 202 ") Если этот факт ваи неизвестен, вернитесь к задаче 2.!5. Мы предполагаем, что в наших функциях можно менять порядок, в котором берутся частные производные. Используя это свойство и произведя некоторые преобразования, мы можем записать (23) следуюгцим образом: Чтобы сделать это уравнение более симметричным, прибавим и отнимем от его левой части одну и ту же величину, дзА,!дхз, д Ах РЛх д'Ах д У дАх для, дЛз Д 4пл дх' дуз дзз ' дхг, дх ' ду дз г) с Мы видим, что первые три члена представляют собой лапласиан А„со знаком минус.
Выражение в скобках — это дивергенция А. Мы имеем теперь известную свободу в построенгш А. Нас интересует только го( А; Жу А можно выбрать любой. Потребуем, чтобы и) йу А = О. (2б) Другими словами, среди различных функций, которые могли бы удовлетворить нашему требованию го( А= — В, рассмотрим в качестве возможных только те функции, которые имеют нулевую дивергенцию. Тогда эта часть уравнения (25) отпадает и остается просто д'Ах ~ дзлх дзАх.
4лух (27) дхз дуз ' дзз с ук является известной скалярной функцией от х, у, г. Сравним уравнение (27) с уравнением Пуассона (2.70), которое гласит: — + + — — „= — йпо. дзю дзю дзгр дх' дуз дгз (28) Эти два уравнения одинаковы по форме. Мы знаем, как найти решение уравнения (28). Этим решением является объемный интеграл в (! 8). Следовательно, решением (27) должно служить выражение А (х у г)=- — ( (29) гз Другие компоненты должны удовлетворять аналогичным формулам. Их можно объединить в одну векторную формулу: (30) ') Чтобы показать, почему можно так поступить, предполомснм, что мы имеем такое А, что го! А=В, но Шч А=у (х, у, г) юо. Рассматривая 7 как плотность заряда р в электрическом поле, мы, очевидно, можем найти поле Г, являющееся аналогом элентростатического поля Е и удовлетворяющее условию Йч Г=-й ! )о мы знаем, что ротор такого поля будет равен нулю.
Следовательно, мы могли бы прибавить Р к А и получить новое поле с нужным нам ротором и нулевой дивергенцией. 203 Есть только одно препятствие к этому: мы допустили, что йт А=О, чтобы получить (27). Откуда известно, что функция А, полученная из уравнения (ЗО), будет обладать этим свойством? К счастью, можно доказать, что это так. В качестве примера рассмотрим векторный потенциал для длинного прямого провода с током У.
На рис. 6.11 мы видим, что ток, идущий со страницы на нас, течет вдоль положительного направления оси г. Мы знаем, какой вид имеет магнитное поле прямого провода. Линии поля ркс П.11. Некаторыг сола. ПрсдСТазаяЮТ СОбОЙ ОиружНОСТИ, Каи ужс вые лвннк палв вакр>г провода с такал. Так тенет по н*. 6ЫЛО ПОКаэаНО На рИС. 6.5.
НЕСКОЛЬКО прввленню аск к 1к вян "' таКИХ ОКружНОСТЕИ ПрнасдЕНО На рИС. 6.11. плоскастн стрявккы). Величина поля В равна 2т)сг. Используя единичный вектор «р, направленный «по окружности», мы можем записать вектор В как В=— 2т'тр ст (3 1) Замечая, что единичный вектор «р есть — з)пгрх+соз«уу, мы дюже«1 выразить В через х и у следующим образом: 2т' ( — в!и грх ';. сов гру) 2) 1" — Ух+лу 32) с )т хе — ,'-уе и х к-ук Векторная функция А(х, у, з), которая удовлетворяет условию у ХА==В, имеет вид А =- — х — 1п (хе+ уе). (33) Чтобы проверить это, вычислим компоненты ~г)(А1 дАр дЛл (тт Х А)в (=- В,).
(34) Конечно, это не единственная функция, которая может служить векторным потенциалом для данного поля В. К функции А уравнения (ЗЗ) можно было бы добавить любую векторную функцию с нулевым ротором. Все это справедливо для пространства вне провода. Внутри провода поле В совсем другое и функция А также должна быть другой. Нетрудно найти подходящую векторную потенциальную функцию для поля внутри сплошного круглого провода (см.
задачу 6.13). 204 Для рассмотренного выше частного случая функция А не могла быть получена из уравнения (30). Интеграл оказался бы расходящимся вследствие бесконечной длины провода. Зто напоминает о трудностях, с которыми мы сталкивались в гл. 2, получая скалярный потенциал для определения электрического поля заряженного провода.
Действительно, эти две задачи тесно связаны. Этого следовало ожидать, имея в виду их одинаковую геометрию и сходство уравнений (30) и (18). Мы нашли (уравнение (2.19)), что подходящий скалярный потенциал для линейного заряда равен — ),1п(ха+ус)+ +произвольная постоянная. Он приписывает нулевой потенциал некоторой произвольной точке, не расположенной ни на проводе, нн на бесконечно большом расстоянии от него. Оба эти потенциала— скалярный и векторный — из уравнения (33) имеют особенности в источнике и в бесконечности. 6.4.
Поле произвольного провода с током На рис. 6.12 изображена петля из провода, по которому течет ток 1. Векторный потенциал А в точке (хо ут, г,) выражается согласно уравнению (30) интегралом по петле. Для тока, текущего по тонкому проводу, мы можем взять в качестве элемента объема Рис. 6 м каждый алемент петли с током вносит вклад в векторный потенинал А в тон. ке (лн Лн л,ъ небольшой отрезок провода длиной Ж. Плотность тока 1 равна л/а, где а — площадь поперечного сечения, а дп,= — ай. Следовательно, л1 с(о,— И1, и если мы направим вектор гЛ в направлении тока, то можно просто заменить )г(п, выражением Ы1.
Таким образом, для тонкого провода, или нити„мы можем записать уравнение (30) как интеграл по контуру: Вычисление А во всех точках и затем определение В как го1 А было бы длительной работой. Удобнее будет выделить вклад в линейный интеграл для А, возникаюшпй от элемента провода в начале коор. лав динат, где ток течет в направлении х (рис.
6.13). Обозначим длину этого элемента через б(1. Пусть г(А будет вкладом этого элемента в интеграл А, Тогда в точке (х, у, О), лежащей в плоскости ху, вектор с(А, направление которого совпадает с положительным направлением оси х, равен ,(А х )у Х'+ув (36) л ч г 1 Рис б.14, Поле любаве контура может бать вычислено с полгожыо следующего вырангсннн длн вклада от каждого элемента Нспн; уж ну да= —, с г* Рис. б,13. Если мы можем найти бА— внлад в А от выделенного элемента, то вклад етого элемента в В может быть вычислен по формуле еа=гст йА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
