Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Будем считать магнитное поле столь же реальным, каким оно было для ннх, и изучим некоторые из его свойств. До сих пор мы рассматривали только магнитное поле прямого провода или нити с постоянным током. Мы обнаружили, что направление поля всюду перпендикулярно к плоскости, содержащей нить и точку, в которой наблюдается поле.
Величина поля пропорциональна !!г. Линии поля — окружности, охватывающие нить, как показано па рис. 6,5. Направление В задается ранее принятым определением векторного произведения, решением (произвольным) писать второй член в уравнении (!) со знаком плюс, т. е. — г(д/с)р)(В, и тем физическим фактом, что положительный заряд, движущийся в направлении тока, притягивается этим током. Все это согласуется между собой, если связать направление В с направлени- и ем тока, являющегося его источником, способом, указанным на рис. 6.5.
Если смотреть по направлению тока, то силовые линии будут направлены по движению часовой стрелки. Если хотите, это можно считать правилом правого винта. Рассмотриы линейный интеграл от В Рнс. л н. силолма линии млгнит- иого паля накруг прямого пропо замкнутому пути в этом поле. (Всцом- вода с током. ним, что подобное исследование привело нас в случае электрического поля точечного заряда к определению простого и фундаментального свойства всех электростатических полей.) Начнем с пути АВСР на рис.
6.6, а. Оп лежит в плоскости, перпендикулярной к проводу; действительно, нас интересуеттолько эта плоскость, так как В не имеет составляющих вдоль провода. Линейный интеграл от В по этому пути равен нулю по следующей причине. Пути ВС и РА перпендикулярны к В и ничего не вносят. Вдоль АВ поле В сильнее в гмгг, раз, чем вдоль СР, но СР больше АВ на тот же множитель, так как эти две дуги стягивают один и тот же угол относительно провода. Таким образом, обе дуги дают равные и противоположные вклады и полный интеграл обращается в нуль.
Следовательно, линейный интеграл по любому пути, образованному радиальными отрезками и дугами, как, например, на рис. 6.6, б, 197 Рнс. б.б. Линейный интеграл от магнитного паля и по л~обому замкнутому пути зависит талысо ат охиатываемого им тока. а) Путь лежит в плоскости, перпендикулярной к проводу. б) Путь построен иа радиальных отрезков н ду» в) Путь не охватывает провод.
е) Круговой путь, охватывающий провод. д) Криволннвй. иьп) путь, охватывающий провод г) Круговой н нрвволннейвый пути, ие охватывающие про. вод, ж) Петля из и витиов, охватывающая провод. (10) Уравнение (1О) справедливо, когда контур совершает один оборот вокруг нити с током. Очевидно, линейный интеграл по пути, который совершает Л) оборотов вокруг нити, подобно изображенному на рнс.
6,6, ж, будет в Л) раз больше. 198 также равен нулю. Отсюда легко сделать заключение, что линейный интеграл по любому пути, не охватывающему провод, равен нулю. Чтобы оправдать сглаживание углов в рассматриваемом контуре, мы должны были бы только показать, что интеграл по небольшому треугольному контуру исчезает в нужном порядке малости. В случае электрического поля этот этап С был также необходим. Пример пути, не охватывающего провод, показан на рис. 6.6, в.
Если бы этот путь был сделан из веревки, то его бг ° ° д) можно было бы отвести в сторону от провода. Линейнын интеграл по любому такому пути равен нулю. Рассмотрим теперь круго. вой путь, охватывающий провод (рис. 6.6, г). Длина окружности равна 2пг, поле равно 21)ег и всюду параллельно пути следовательно, значение линейного иитеграг) ° " дьу ла по этому пути равно (2пг) (27/гс) или 4п)/е. Мы утверждаем, что любой путь, делаю)ций один оборот вокруг провода, должен дать ту же величину. Рассмотрим, например, криволинейный контур С на рнс. 6.6, д. Построим путь С' на рис.
6.6, е, который состоит из пути, подобного С, и из кругового пути, но не охватывает провод. Линейный интеграл по С' должен быть равен нулю и, следовательно, интеграл по С должен быть отрицательным по сравнению с интегралом по окружности, величина которого„как мы уже вычислили, равна 4П))е. Знак будет зависеть, очевидно, от направления перемещения по контуру. Наш общий вывод заключается в следующем: Магнитное поле, как мы уже подчеркивали, зависит только от скорости переноса зарядов, т. е.
от числа единиц заряда, проходящих через данную точку цепи в секунду. На рнс. 6.7 показана цепь с током в 5 ма 152иллиампер), эквивалентным !5.10' ед. СГСЭО!Сек. Средняя скорость носителей зарядов колеблется от 10-' шк7сед в одной части контура до 0,8 скорости -.7Я»77 г света в другой. Линейный интеграл от В по замкнутому пути имеет ту же величину в любом месте цепи, а именно 1 -+- 4п! 4д (!В !Оа ед. СГСЭ,усек) То, что мы доказали в случае длинной прямой нити с током, совершенно справедливо, на основании принципа суперпозицпп, для поля любой системы прямых н 0 л нитей.
На рис. 6.8 изображено 7! несколько проводов с током, 27 )1»' Ф идущим в разных направле- с~ т ниях. Если уравнение (10) справедливо для магнитного поля одного из этих проводов, то оно должно быть справедливо для ..==.= ~ъ полного поля, которое в каждой ===== ~ ~ точке является векторной сум- 72 мой полей отдельных проводов. Это — довольно сложное поле. Тем не менее мы можем пред сказать величину линейного интеграла от В по замкнутому контуру, показанному на рис. 6.8, зная только, какие токи текут через проводники и в каком направлении.
р» р г! г! Рис. 6.6. Суперпозиция прямых проводов с токаьг. Линейный интеграл от В по аамкну тому пути равен !ап7сн — 7,»7,Ь 199 Рис. 6.7. Линейный интеграл от В нмоет совершенно одянаковь!е вяз!синя вокруг любой части етого контура, несмотря па то, что скорости носнтслеи зарядов в ьюкдой гастд совершенно рвали~им ! — чистая вода; огрицательные иояы двнжутсн внрсво са скоростью 3,5 си!с!к; положгжсльные иовы двиягутся влево со скоростью 2 саус!к 2 — высоковольтный пу~ок злектронов в вакууме. скорость злектронов 2,Ч.
!Оысл'сск, а — медный провод, злекгроны проводимости дрег!еуют ичово со среднеи с! прост!.ю 10 ' си!сок. ! — геверзгор эволе гр г!Огз! отрицателыгые заряды движутся вверх, положительные — вниз, з- 2000 счгсск. Нас интересуют, однако, не только длинные прямые провода. Мы хотим знать, каково магнитное поле при любом распределении токов — например, поле тока, текущего в замкнутой петле. Оказы- вается, что эти более сложные поля подчиняются точно такому же закону, выражаемому формулой (10).
Линейный интеграл от В во- круг изогнутого провода равен интегралу, взятому вокруг длинного прямого провода с таким же током. Доказательство этого положения выходит за пределы выводов, приведенных нами до сего времени, поэтому мы должны принять его как постулат, подтвержденный экспериментально. .~,г,г l Чтобы выразить закон в наиболее общеи виде, необходимо расслсотреть объемное распределение тока, В общем случае распределение постоянного тока описывается объемной плотностью тока С .) (х, у, г), которая изменяется от точки Рнс.
6.9. Л вЂ” это локальная плот. К тоЧКЕ, НО ПОСтоЯННа ВО ВРЕМЕНИ. ТОК ность тока. Поверкностный инте- В Прпапдс — Это СПЕПИфИЧЕСКИЙ СЛуЧай грал от 3 по 3 равен току, который охватывается кривой с когда плотность 3 ВЕЛика внутри провода, ио равна нулю в любом другом месте. Мы рассматривали объемное распределение тока в гл. 4, где отметили, что для токов, не зависящих от времени, плотность должна удовлетворять уравнению непрерывности, или условию сохранения заряда, (12) с)1ч Я = О. Рассмотрим замкнутую кривую С в области, в которой текут токи.
Полный ток, охватываемый кривой С, равен потоку 3 через поверхность, стягивающую С, т. е, поверхностному интегралу ~ З»эта по этой поверхности 5 (рис. 6.9). Следовательно, общая формулировка равенства (10) имеет вид В с(а= — 'н (,1 с(а 4л (' с (13) Сравним это выражение с теоремой Стокса, приведенной в гл. 2: ) Г с(з = ) (го1 Г) да. (14) с а Мы видим, что уравнение (13) эквивалентно следующему: го1В= — ' 4лл с (15) Это наиболее простое и общее выражение связи между магнитным полем и движущимися зарядами — источниками поля. Однако уравнения (15) недостаточно для определения В(х, у, г) при заданном 3 (х, у, г), так как различные векторные поля могут иметь одинаковый ротор.
Мы должны дополнить уравнение (!5) другим условием. Вспомним о дивергенции В. Возвращаясь к магнитному полю одиночного прямого провода, мы видим, что дивергенция такого поля равна нулю. Куда бы вы ни поместили ящик (пусть он даже охватывает провод), вы не обнаружите избытка входящего в ящик потока над выходящим из него. Достаточно заметить, что в ящиках $'а и $'а на рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
