Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 42
Текст из файла (страница 42)
К этому выводу мы пришли, во-первых, от постулатов теории относительности и, во-вторых, от опытного факта, заключающегося в том, что электрический заряд релятивистски инвариантен. В дальнейшем мы сможем использовать эти идеи для понимания природы излучения ускоряемого заряда. Но сначала вернемся к равномерно движущемуся заряду, поле которого содержит еще много неожиданностей. 5.8. Сила, действующая на движущийся заряд Выражение (12) дает силу, которую испытывает неподвижный заряд в поле другого заряда, движущегося с постоянной скоростью.
Зададим теперь другой вопрос: чему равна сила, действующая на заряд, который движется в поле других зарядов? Начнем со случая >>в Рлы — — шср Р/1 '»/с» (18) Здесь мы использовали знакомые обозначения: р' = о'?с' и у' =- 1ф 1 — 1)' . С друтой стороны, в системе отсчета г" скорость частицы равна (о+о'Д! +оо'~с»), что можно записать в виде с(р-гр')!(1+рр'), 177 заряда, движущегося через поле, создаваемое неподвижными зарядами, Это может быть электрон, проходящий между заряженными пластинами осциллографа, или же альфа-частица, движущаяся в кулоновском поле атомного ядра. В любом случае источники поля неподвижны в некоторой системе отсчета, которую мы будем называть «лабораторной» системой.
В некоторой точке и в некоторый момент времени в лабораторной системе мы наблюдаем частицу с зарядом д, которая движется в электромагнитном поле со скоростью о. Какова сила, действующая на ?? Сила — это только наименование для скорости изменения импульса, так что на самом деле мы спрашиваем, какова в этой точке и в этот момент скорость изменения импульса частицы,пр?й, измеренная в нашей лабораторной системе отсчета. (Это все, что скрывается под понятием силы, действующей на движучцуюся частицу.) Ответ неявно содержится в том, что мы уже изучили.
Перейдем в систему координат г', в данный момент движущуюся вместе с частицей. В этой «системе покоя частицы> последняя будет неподвижна, по крайней мере на мгновение, но теперь движутся другие заряды. Эта ситуация нам знакома. Сила, действующая на неподвижный заряд, равна Е'д, где Е' — электрическое поле, которое наблюдается в системе отсчета Г.
Мы знаем также, как найти Е', если известно Е,— это правило дается выражением (7). Таким образом, зная Е, мы можем найти скорость изменения импульса частицы, наблюдаемую в гй Остается только преобразовать эту величину обратно в г". Поэтому центральным пунктом в нашей задаче является вопрос: как преобразуется сила или скорость изменения импульса при переходе от одной инерциальной системы к другой? Этот вопрос был рассмотрен в т. 1, гл. 12.
Однако, вместо того чтобы обратиться к соответствующим формулам из т. 1, мы дадим обзор тех действий, которые привели к этим формулам. Это поможет нам ясно понять, что здесь происходит. Рассмотрим произвольную инерциальную систему отсчета Г, движущуюся с точки зрения наблюдателя из другой системы г" со скоростью о вдоль положительного направления оси х. Пусть в системе Г частица с массой покоя т движется вдоль положительного направления оси х' со скоростью о'. Будем обозначать через р, х-компоненту импульса (измеренного в Г), а через р„' соответственно х'-компоненту импульса (измеренного в г'). Чтобы найти соотношение между р„и р„', заметим, что так что тс (р+ р') т-' 18+ р ) (,+йй) ~, ('~~-~",)'~" 10 — й'-)(1 — Р"И" ~~+Ф~ (19) Сравнивая (18) с (19), находим связь между р,.
н р„': р„=-у(р,' ';ру'тс). (20) Замечаем, что во втором слагаемом ру'тс множитель у'тс равен у'тс'lс=Е",с, где Е' (не путать с электрическим полем, к которому мы временно потеряли интерес) есть полная энергия частицы в системе Е', т. е. энергия покоя плюс кинетическая энергия. Перепишем (20) следующим образом: р„==-у(р„'.
г1)Е')с) — и остановимся, чтобы сравнить это с преобразованием Лоренца для координаты х в том же примере: х=-у(х'-'-))ср). Аналогия между этими уравнениями напоминает нам, что в преобразовании Лоренца четыре величины: р,, р„, р„п Е'с — ведут себя точно так же, как четыре пространственно- временные координаты х, у, х и сй Действительно, если бы вы твердо усвоили этот факт, то могли бы сразу написать преобразование (20) и имели бы право считать наше небольшое отступление пустой тратой времени. 1!спользуем этот факт для нахождения связи между поперечными компонентами импульса. Поскольку преобразование Лоренца дает у=-у', если относительная скорость направлена по х, мы должны ожидать, что (21) Р»-' Рэ (24) !78 Связь между 1 и У выражается знакомой формулой: 1=-; (('+ — "" 1.
(22) ~ с Нас интересует связь между др,дп1 н пр„' ор. Дифференцируя (22), получаем Й = — 'ус(1 +у — ( —,) ш =уй'(1+()р'), (23) поскольку с(х';с(У просто равно о', выражение (21) дает и'Р»= и'Рэ' а дифференцируя выражение (20), мы получаем Йр„==-уйр„'+ фтс~ т,) пр„'.
(25) ' ср» Множитель тс ф,'Ыр„') в последнем выражении можно получить, дифференцируя выражение (18): р„' = — тсу'~' = тс 1,' у' — 1, (28) лр мст тс (27) 4=от'-~ = р' Теперь —,=,, = — и, подставляя это соотношение в ( 1 Г (об) ир (аР мт ) получаем (р. =у (р;(1+9'). (28) Сравнивая (23) и (28), мы видим, что дРк ~Рк ш (29) и это справедливо независимо от величины о', поскольку множитель (1+6()') появляется в обоих уравнениях. В денствительности иас будут интересовать только такие ситуации, когда и' очень мало, т. е.
случай, когда частица почти покоится в системе Г. При этом членом (111' можно пренебречь и, сравнивая (23) и (24), мы найдем для изменения поперечного импульса "Ря ! ир„' тш'' (30) (31) Получив закон преобразования сил (31) и закон преобразования электрического поля (7), мы возвращаемся теперь к нашей частице, движущейся в поле Е, и открываем удивительно простой факт. Сперва рассмотрим Е,, компоненту Е, параллельную мгновенному направленшо движения нашей заряженной частицы, Перейдем в систему отсчета Е', движущуюся в этот момент вместе с частицей. В этой системе продольное электрическое поле равно Е'„и, согласно (7), Ег=-Е~~, Поэтому сила г(р„'йИ равна 4„ —, =- дЕ„=дЕ„ (32) Вернемся обратно в систему Е; наблюдатель измеряет продольную силу, т.
е. скорость изменения продольной компоненты импульса, г(р„,'сИ. Согласно (31), г(р,(г(г==-йр',~г(1', поэтому он находит, что в системе Р продольная компонента силы равна — = —, = г(Е „. (33) 179 Подведем итог этим важным результатам. Е' — инерциальная система отсчета, в которой в данный момент частица покоится или очень медленно движется.
Š— другая инерциальная система, по отношению к которой Е' может двигаться произвольно быстро. Обозначая индексами '~; и , 'параллельную п перпендикулярную к относительной скорости Г и Е компоненты импульса, мы можем утверждать, что Частица в Е', конечно, не остается в покое с течением времени. Она будет ускоряться полем Е', и скорость частицы ч' в инерцнальной системе Е' будет постепенно возрастать. Однако, поскольку мы имеем дело с мгновенным ускорением, играют роль только бесконечно ма. лые приращения скорости ч', и ограничение, наложенное на выражение (31), строго выполняется.
Для Е, поперечной компоненты в Е, закон преобразования таков: Е9 =ТЕ„, так что (др и(р)=-дЕ„=- =дуЕд. Но после обратного преобразования силы к системе отсчета Е мы имеем (йр Ыт)=-(1,'у) Х х (9(р Лй'). Так что, в конце концов, у выпадает: йр, —,"- = — (ТЕхд) = т)Е, . (34) Смысл уравнений (33) и (34) очень прост: сила, действующая на заряженную частицу во время ее движения в г, равна электрическому полю Е, помноженному на д, в этой системе отсчета, совершенно независимо от скорости частицы. Рнс. 5.19 напоминает нам об этом результате и о способе кото ым он был пол чен.
Юеепеме Г' Рнс. 5.!9. В системе, где заряды, сеадаюыие псле е, неппданыиы, сила, денстн>ююая на Этот результат мы уже использовали раныпе когда престо еЕ. говорили, что вклад электрического поля в силу, действующую на движущийся заряд, равен с)Е. Это так знакомо и так просто, что может считаться очевидным и вам может казаться, что мы зря тратили время на доказательства. Теперь мы могли бы принять это как экспериментальный факт, доказанный в широчайших пределах, до скоростей, настолько близких к скорости света (в случае электронов), что фактор у равен 10а. Последнее обстоятельство есть наиболее замечательная особенность этого закона, который является прямым следствием инвариантности заряда.
5.9. Взаимодействие между движущимся зарядом и другими движущимися зарядами Мы знаем, что на движущийся заряд может действовать сила, зависящая от скорости. Она связана с магнитным полем, которое создается электрическими токами, т. е. другими движущимися зарядами. Опыт Эрстеда показал, что электрические токи могут действовать на магниты, однако природа магнита в то время была совершенно таинственной. Ампер и другие вскоре открыли взаимодействие !80 электрических токов друг с другом, проявляющееся, в частности, как притяжение между двумя параллельными проводами, по которым текут одинаково направленные токи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
