Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 40
Текст из файла (страница 40)
рис. 5.10. Наблюдатель в Е теперь сообшает нам, что поле в направлении х имеет величину Ем=4ла. В этом случае поверхностная плотность заряда, наблюдаемая в системе отсчета Е', такая же, как н наблюдаемая в Е. Размеры слоев не сокращаются; сокращается только расстояние между ними, по оно не входит в определение поля.
Применяя к неподвижному в Е' ящику теорему Гаусса, мы находим в этом случае Е; =- 4ла' = 4ла = Е„. Все это верно для рассмотренного здесь простейшего расположения зарядов; однако имеют ли наши выводы более общее значение? Этот вопрос приводит нас к самой сути понятия поля. Если понятие электрического поля Е в пространственно-временной точке должно иметь однозначный смысл, тогда значение поля Е в этой же пространственно-временной точке, но в других системах отсчета не может зависеть от природы создающих поле Е источников, какими бы онн ни были.
Другими словами, наблюдатель в Е, измеривший в неко- !67 торый момент времени поле около себя, должен быть в состоянии предсказать только на основании этих измерений, чтб измерят в той же пространственно-временной точке наблюдатели из других систем отсчета. Если бы это было не так, поле было бы бесполезным понятием. Опытное доказательство справедливости этого утверждения и является окончательным подтверждением согласия нашей теории поля с экспериментом. С этой точки зрения соотношения, выражаемые равенствами (5) н (б), по своей важности оставляют далеко позади частный случай зарядов на параллельных слоях.
Рассмотрим произвольное распределение зарядов, все части которого неподвижны в системе отсчета Г. Если наблюдатель в Е измерил в направлении г поле Е„тогда наблюдатель в Е' получит, что в той же пространственно-временной точке поля Е; — — уЕ,. Это значит, что в результате измерения Е; он получит число, на множитель у большее, чем то число, которое получил наблюдатель, измерявший Е, в системе Е. С другой стороны, если наблюдатель в Е измерил поле Е„в направлении х, совпадающем с направлением скорости системы Е' по отношению к Е, то наблюдатель в Г сообщит, что поле Е; равно Е„. Очевидно, что направления у и з эквивалентны, так как оба они перпендикулярны к скорости т.
Все, что мы можем сказать о Е;, справедливо и для Е„'. Каким бы ни было направление поля Е в системе отсчета Е, мы можем рассматривать это поле как суперпозицию полей, направленных по х, у и г, и, зная преобразование каждой составляющей, вычислить вектор поля Е' в той же пространственно-временной точке системы Е'. Обобщим вышесказанное в такой форме, которая будет справедлива для относительного движения в любом направлении.
Неподвижные в системе отсчета Е заряды являются источником поля Е. Пусть система Е' движется по отношению к Е со скоростью ч. Разложим поле Е в любой точке Е на пподольную компоненту Е„, параллельную ч, и на поперечную компоненту Е, перпендикулярную к ю В той же пространственно-временной точке в Г поле Е' следует разложить на Е~, и Е, причем Ез параллельно ч, а Е к нему перпендикулярно. Мы доказали, что (7) Наш вывод справедлив только для полей, образованных зарядами, покоящимися в системе Е.
Мы вскоре увидим, что если заряды в Е движутся, то для предсказания электрического поля в Е' нужно знать два поля в системе Е, а именно электрическое и магнитное. Однако мы получили полезный результат, которого достаточно, если можно найти такую ннерциальную систему отсчета, где все заряды неподвижны. Этот результат мы теперь используем для изучения электрического поля точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью. 168 5.6.
Поле точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью Ех =- — зсозО= о Ох гз (зг гз)з 'з Ез .= — т з1'и О = 11г (хз - г )зрз ' .) (8) Пусть система Г' движется со скоростью о в отрицательном направлении оси х. Связь между координатами события, или пространственно-временной точки в обеих системах отсчета, такова: х =- у (х' — рсу), у = у', г = г', 1 =- у, у — — ) . (9) 1', Рх' Это — преобразование Лоренца, которое было приведено в гл.
11 т. 1 (формула (15)). В наших уравнениях стоят минусы, потому что, Рис. Ь.!1 Электрическое поле точечного заряда в системе, где ааряд неподвижен гак и в системе, где заряд движется с постоянной скоростью 1Р1 если смотреть из Е, система Г движется в отрицательном направлении оси х. Часы поставлены так, чтобы показывать нуль, когда точки х=-0 и х' =О совпадают.
Согласно равенствам (5) ц (5), Е,'=уЕ, и Е;=Еи Используя равенство (8) и (9), мы можем выразить компоненты поля Е; и Е; через координаты в системе Е'. Для момента 5 =0, когда Я проходит через начало координат системы Е', имеем Е„'= Ех = 1(тх')т+ г") л туг' Е'=7Е. = 1(тх') з -)- г') и (10) Рассмотрим точечный заряд г,г, который покоится в начале координат системы отсчета Е (рис, 5.
11, а). В каждой точке пространства электрическое поле Е равно фгз и направлено от заряда по радиусу. В плоскости хг в любой точке (х, г) его компоненты равны Заметим прежде всего, что Е;/Е„'=г'/х', Это говорит о том, что вектор Е' составляет с осью х' тот же угол, что и вектор г'. Следовательно, вектор Е' направлен радиально наружу, вдоль линии, проходящей через мгновенное положение 9, как это поиазано на рис. 5.11, б. Остановитесь и вдумайтесь в этот вывод! Он означает, что если заряд (~ проходит через начало координат штрихованной системы ровно в полдень, в 12.00 «штрихованного времени», то наблюдатель в любом месте штрихованной системы доложит, что около него электрическое поле было направлено в полдень точно по радиусу от начала координат. С первого взгляда это похоже на мгновенную передачу информации! Как может наблюдатель, находящийся за милю отсюда, знать, где в этот момент находвтся частица? Действительно, не может. Но это и не подразумевается.
Не забывайте, что частица вечно двигалась с постоянной скоростью, причем по расписанию она должна была пройти начало координат в полдень. Эта информация была доступна долгое время. Если вам угодно говорить о причине и следствии, то наблюдаемое поле определяется прошлой историей частицы. Вскоре мы заглянем в то, что происходит, когда в расписании возникает непредусмотренное изменение. Чтобы найти величину поля, вычислим значение Ех«-гЕ равное квадрату величины поля Е". 1(ух) +г 1 т (х +г — () г *! О«()-Р) („) д««'» х 3 (х'+ г")'(! —,,) х'+г "~ (здесь выражение оказывается более изящным, если вернуться к 9). Обозначим расстояние от заряда Я (находящегося в данный момент в начале координат) до точки (х', г'), где измеряется поле, через г': г'==-(х'«+г'»)'«ь Пусть 9' обозначает угол между радиусом- вектором и скоростью заряда (), который движется в системе Р' в положительном направлении оси х'.
Так как г'=-г'з(п9', то величину поля можно записать следующим образом: Е' =— (12) '-,— ( рмпв) Положение начала координат здесь выбрано произвольно и плоскость х'г' ничем не выделена среди других плоскостей, проходящих через ось х'. Поэтому мы можем высказать вполне общее утверждение, что электрическое поле равномерно движущегося заряда в данный момент времени направлено радиально от мгновенного положения заряда, а его напряженность дается равенством (!2), где 0'— угол между направлением движения заряда и радиусом-вектором, проведенным из мгновенного положения заряда в точку наблюдения. При малых скоростях поле просто сводится к Е =~,'г' и в люб момент практически совпадает с полем неподвижного в Е' заряда, помещенного в точку, где в данный момент находится Я.
Но если величиной 6з пренебречь нельзя, то поле под прямым углом к направлению движения оказывается сильнее, чем поле в направлении движения на том же расстоянии от заряда. Если напряженность поля обозначать, как это часто делается, плотностью снловых линий, то линии стремятся сконцентрироваться в диск, перпендикулярный к направлению движения. На рис.
5.12 показана плотность силовых линий от заряда, движущегося вдоль х' со скоростью о1с=-0,866, в точках нх пересечения с поверхностью единичной сферы. Более Рнс. 5.13. Другое' предстанленне поля рав- нонерно дзнжущегося заряда. Рнс. З.12. Велнчзна поля двнжущегося ааряда в разных напранленнях. Н данный ыанснт заряд в снстене с', у', т' проходят через начало яоордннат. Числа да~от отнощенне велнчпны полн н величине й1г". *) Интенсивность поля невозможно правильно изобразить плотностью силовых линий на двумерной диаграмме, подобной рис.
З.!3. Если мы не станем произвольно обрывать некоторые линии, то плотность линий на рисунке будет спадать пропорционально 1гг'; а интенсивность поля, которое мы пытаемся изобразить, спадает как 1!г'в. Поэтому рис. З.13 дает только качественное представление о характере изменения Е' в зависимости от г' и В. 171 простое изображение поля приведено парис, 5.13, где дан разрез поля и изображены некоторые силовые линии, лежащие в плоскости х'г' "). Показанное электрическое поле обладает замечательными свойствами. Оно не является сферически-симметричным, что неудивительно, так как в нашей системе отсчета есть выделенное направление — направление движения заряда.
Кроме того, такое поле не может быть создано ни одним стационарным распределением зарядов, какой бы ни была его форма, потому что в этом поле линейный интеграл от Е' по любому замкнутому пути не равен нулю. Рассмотрим, например, замкнутый путь АВСО на рис. 5.13. Дуги окружностей ничего не вносят в линейный интеграл, так как они перпендикулярны к полю; на радиальных участках поле вдоль ВС сильнее, чем поле вдоль 0А, так что циркуляция Е' по этому пути ие равна нулю. Но не забывайте, что Е' — не электростатическое поле, Если заряд движется, электрическое поле Е' в любой точке системы В' меняется с течением времени. На рис.
5.14 и 5.15 показано электрическое поле в определенные моменты времени, наблюдаемое в системе отсчета, в которой электрон движется вдоль х с постоянной скоростью *). На рис. 5.14 скорость Р"с 5.44. электриееское иоле двюкущегося заряда для трех моментов временш же=!/3, единица времени !0 "сек. электрона равна 0,33 с, а его кинетическая энергия — около 30 000 эв (30 кэв) (с54. т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
