С.Г. Калашников - Электричество (1115533), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Это не будет сопро- Рис. 394. колебательвмй вождаться никакой работой, так как за контур с изменяемой емряд конденсатора равен нулю, а значит, н сила притяжения между пластинами также равна нулю. Через время, равное четверти периода собственных колебаний Т(4, заряд конденсатора будет наибольшим. Если в этот момент раздвинуть пластины, то внешние силы совершат работу, затрачиваемую на преодоление взаимного притяжения пластин. Тогда емкость конденсатора уменьшится, а напряжение между его обкладками возрастет, способствуя колебаниям в контуре.
Если затем опять через время Т(4 сблизить пластины, то энергия контура не изменится, так как заряд конденсатора в этот момент снова равен нулю. При последующем разведении пластин в контур снова будет введена определенная энергия, и т.д. Поэтому, 532 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ПЕРЕМЕННЫЕ ТОКИ ГЛ ХХ! изменяя достаточно сильно емкость конденсатора с частотой, равной удвоенной частоте собственных колебаний (или близкой к ней), мы получим в контуре электрические колебания с возрастающей амплитудой, которая будет увеличиваться до тех пор, пока конденсатор не будет пробит.
Отметим, что начальные малые колебания и в механических, и в электрических системах всегда возникают нод влиянием случайных внешних воздействий, или флуктуаций. Поэтому при достаточно сильном периодическом изменении параметров наблюдается самовозбуждение колебаний.
Правильное соотношение между фазой колебаний и фазой изменения параметра осуществляется прн этом автоматически, так как усиливаются только те колебания, которые имеют нужную начальную фазу. Описанный опыт с электрическим параметрическим резонансом был впервые осуществлен Л.И. Мандельштамом и Н.Д. Папалекси в 1933 г. Построенная ими емкостная параметрическая машина имела вращающийся конденсатор, содержащий две системы пластин, снабженных радиальными вырезами, одна из которых была неподвижна, а другая приводилась во вращение с помощью зэектромотора. Такая машина развивала напряжения до многих тысяч вольт. Явление параметрического резонанса можно использовать для технического получения переменных токов. й 227. Комплексные величины Для сложения колебаний тока и напряжения в различных сетях переменного тока особенно удобно пользоваться символическим методом, в котором гармонические колебания разных физических величин представляют в виде комплексных величин.
Этот метод значительно упрощает все вычисления, и поэтому его широко применяют не только в теории переменных токов, но и при исследовании любых механических и электрических колебаний. Известно, что ехр Ц а) = соз а + у Вш а. Здесь а — вещественное число, а 1 = А/ — 1. Поэтому всякое комплексное число х = х+1й можно представить в показательной форме х = рехр (уа). При этом вещественную и мнимую части х и р комплексного числа х можно выразить через р и а: х = рсова, р = рэ1па, 533 1 227 КОМПЛЕКСНЪ|Е ВЕЛИЧИНЫ и, наоборот, р и |т можно выразить через х и у: р = ь/х2 + у2, ~я се = у,~х. Напомним, что р называется модулем комплексного числа к, а а — его аргумеюпом.
Положим теперь, что |т изменяется со временем по закону а = о|2+ |р. Тогда х и у будут представлять два гармонических колебания: х = рсов(м2+ р), у = рвш(о|1+ |р), (227.1) происходящих с круговой частотой о| и имеющих амплитуду р и начальную фазу |р. Согласно сказанному выше, оба эти колебания можно выразить при помощи одного комплексного выражения к = рехр [~(ш1 + |р)) = рехр (у|р) ехр (7и|г). (227.2) Если мы условимся заранее брать только вещественную часть комплексного выражения (227.2), то мы получим первое из колебаний (227.1); если же мы будем употреблять только мнимую его часть, то получим второе колебание. Таким образом, гармонические колебания можно описывать либо с помощью тригонометрических функций сов и в|п, либо с помощью комплексных выражений.
Последний способ имеет, однако, большое преимущество в тех случаях, когда приходится складывать несколько колебаний, так как правила сложения комплексных чисел гораздо проще, нежели правила сложения тригонометрических функций. Если частота о| одинакова для всех рассматриваемых колебаний, то множитель ехр(|ый) можно не выписывать. В этих случаях мы вполне определим гармоническое колебание, если зададим лишь величину е=х+Гу е = рехр (у|р),. (227.3) которая называется комплексной амплитпудой.
Ее модуль р дает фактическую амплитуду гармонического колебания, а аргумент р— | начальную фазу колебания. х Х Представление колебаний с помощью комплексных выражений Рис. 39б, Изображение комп- тесно связано с векторными диа- лексиогочиолаорипомощиаекграммами. Действительно, если на тога плоскости (рис. 395) ввести две взаимно перпендикулярные оси и по одной из них (Х) откладывать вещественную часть х комплексного числа к, а по другой (У) — мнимую часть |у, то число х будет изображаться на этой плоскости некоторым вектором. 534 Вынужденные кОлеБАния. Негеменные тОки Гл хх1 длина этого вектора р = ~/хо+ уз есть модуль комплексного числа в, а угол |р = агс1б(у/х), составленный с вещественной осью Х, равен аргументу в.
Поэтому, задавая комплексную амплитуду колебания в (формула (227.3)), мы определяем вектор., длина которого равна амплитуде колебаний, а угол поворота— начальной фазе, т.е, поступаем так же, как и при построении векторной диаграммы колебаний. Различие заключается лишь в том, что в случае векторной диаграммы мы изображаем этот вектор графически, а пользуясь комплексным выражением, задаем его аналитически.
Вернемся теперь к переменным токам и положим, что сила тока в цепи равна 1 = 1о в|пы1. Пользуясь комплексными величинами, это колебание можно записать в виде 1 = |о ехР ( Уи8). Тогда колебания напряжения на чисто активном сопротивлении (3 217) будут выражаться формулой Ь1 = 1от ехр (7ы1). Комплексная амплитуда в данном частном случае оказывается вещественной: Пег (227.4) что, согласно сказанному выше, обозначает отсутствие сдвига фаз между напряжением и током.
Колебания напряжения па индуктивности (3 219) опережают по фазе колебания тока на х/2, и поэтому 5|е = 1оиХ ехр [| (ыФ + к/2)]. Комплексная амплитуда этих колебаний Уае = |выем ехр (угг(2). Входящий сюда множитель ехр(рг/2) изображается на ком- плексной плоскости (см. рис. 395) вектором, имеющим длину 1 и направленным вдоль мнимой оси 1У.
Поэтому ехр (7к,72) = у и, следовательно, Уоь = 1о.1ь|ь. (227.5) Наконец, для колебаний напряжения на конденсаторе, кото- рые отстают от колебаний тока на к~2 (3 218), получим 17с = (1о!ь|С) ехр [у(сЛ вЂ” я/2)]. Комплексная амплитуда напряжения на конденсаторе равна Нос = (1о/ыС) ехр ( — 7х/2), или, так как ехр ( — 7я/2) = — у' = 1(~, с'ос = —. (227.6) Р.|С 535 1 221 КОМПЛЕКСНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Рассмотрим теперь, как можно производить сложение колебаний, пользуясь комплексными выражениями. При этом мы везде предполагаем, что речь идет о колебаниях скалярных величин (каковыми являются сила тока, заряд конденсатора, напряжение и т.д.).
Суммой комплексных чисел г1 х1 + зу11 г2 х2 + уу2~ по определению, называют комплексное число я=х+р; у которого вещественная (Х) и мнимая (У) части суть суммы соответственно вещественных и мнимых частей слагаемых: Х = х'1 + хг + хз + ", 1' = у1 + у2 + уз + - . Если г„х2, ... — комплексные выражения гармонических колебаний, то величины 21, х2, хз, ...
и соответственно у1, у2, уз, ... представля1от собой гармонические колебания (одно из которых описываешься функцией соз, а другое — вш). Поэтому комплексное Выражение Я будет соответствовать сумме складываемых колебаний. Если по-прежнему все колебания имеют одинаковую частоту ы, то и здесь общий множитель ехр (11о2) можно не выписывать, а достаточно сложить лишь комплексные амплитуды суммируемых колебаний. Таким образом, мы приходим к следующему правилу: длл сложения нескольких колебаний одинаковой частоты достагаочно сложить комплексные амплитуды этих колебаний.
Модуль полученного комплексного выражения дает фактическую амплитуду результирующего колебания, а его аргумент — начальную фазу. Отметим, что на комплексной плоскости (Х,уУ) сложение комплексных чисел изображается суммированием векторов, представляющих эти комплексные числа, а комплексное число Я, выражающее искомую сумму, является замыкающим вектором (векторной суммой).
Поэтому данное выше правило в точности соответствует построению векторной диаграммы результирующего колебания. Поясним сказанное на примере. Рассмотрим опять цепь, содержащую последовательно соединенное сопротивление,индуктивность и емкость, и найдем напряжение на концах этой цепи. Оно представляет собой сумму трех нащьяжений, комплексные амплитуды которых выражаются формулами (227.4) — (227.6). Поэтому комплексная амплитуда полного напряжения есть ы 1 гвг+ зоуо7 + —., = '1ег+ ге1' ~~из~ — — ~~ . бы С .с,) 536 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ПЕРЕМЕННЫЕ ТОКИ ГЛ.
ХХ! Отсюда получаем выражения для фактической амплитуды напряжения (модуль) н для начальной фазы напряжения (аргумент); (70 =(0 ыЬ вЂ” 1/ыС оо = ассой что совпадает с формулами (220.3)., (220.4). 8 228. Комплексные сопротивления Применение комплексных величин для расчетов цепей переменного тока можно еще значительно упростить, если ввести понятие о комплексном сопротивлении. Пусть 1о есть амплитуда силы тока в каком-либо участке цепи, а ио — комплексная амплитуда напряжения. Тогда комплексное сопротивление я этого участка определяется соотношением ио = х!о.
(228.1) Таким образом, комплексное сопротивление участка есть отношение комплексной амплитуды напряжшшя к амплитуде силы тока. Если мы умножим обе части формулы (228.1) на ехрОо!!), то слева мы получим мгновенное значение напряжения и = ио ехр(во!), справа же вместо !о войдет ! = !о ехр(уы!), т.е. мгновенная сила тока. Поэтому для мгновенных значений напряжения и тока справедлива формула, аналогичная (228.1): и = ха (228.2) Найдем, чему равны комплексные сопротивления в различных частных случаях. Пусть участок цепи имеет только активное сопротивление г. Тогда, если амплитуда тока есть !о, то амплитуда напряжения (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
