И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 38
Текст из файла (страница 38)
д. с. самоиндукции работы бА' = ( — 8,) 7 Ж = — ! Ш =! ~Л". (68. 1) Если индуктивность цепи Е остается постоянной (что возможно только при отсутствии ферромагнетиков), эта работа полностью идет на создание энергии магнитного поля: бА'=йЮ. Иначе, как мы сейчас выясним, обстоит дело при наличии ферромагнетиков. В случае очень длинного («бесконечного») соленоида Н=п!, Ч'=ЫВЗ. Соответственно / = —, 8%' = аЮ ЫВ. Подставив этн выражения в (68,!), получим дА'=НОВ Р', (68.2) где Р'=15 — объем соленоида, т. е. объем, в котором создано однородное магнитное поле. Выясним„ можно ли отождествить выражение (68.2) с приращением энергии магнитного поля. Напомним, что энергия — функция состояния.
Поэтому сумма ее приращений для кругового процесса гл, тпь электгомхгннтнхя индткцня 198 равна нулю: Если заполнить соленоид ферромагнетиком, то связь между В и Н изображается кривой, показанной на рис. 68А. Выражение НйВ дает площадь заштрихованной полоски. Следовательно, интеграл ф НИВ, вычисленный вдоль петли гнстерезиса, равен площади 5„, охватываемой петлей. Таким образом, интеграл от выражения (68.2), т. е.фбА', отличен от нуля. Отсюда вытекает, что при наличии ферромагнетиков работа (68.2) не может быть приравнена приращению энергии магнитного поля.
По завершении цикла перемагничивания Н и В, а значит, и магнитная энергия будут иметь первоначальную величину. Следователь// но, работа флА' идет не на создание энергии магнитного поля. Как показывает опыт, она идет на увеличение внутренней энергии ферромагнетнка, т. е. иа его нагревание. Рас. 99.1.
Итак, прн совершении одного цикла неремагничивания ферромагнетика затрачивается в расчете на единицу объема работа, численно равная площади петли гистерезиса: А;„, ~ =фНлВ=Я„. (68.3) Эта работа идет на нагревание ферромагнетика. В отсутствие ферромагнетиков В является однозначной функцией Н (В=р,рН, где р=сопз().
Поэтому выражение НбВ= =р,рННН представляет собой полный дифференциал йю=Н НВ, (68.4) огределяющий приращение энергии магнитного поля. Интегрирование выражения (68.4) в пределах от О до Н приводит к формуле (67.7) для плотности энергии поля (прежде чем осуществлять интегрирование, нужно преобразовать НбВ, заменив ИВ через р0я оН). ГЛАВА 1Х УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 9 69. Вихревое электрическое поле Рассмотрим случай электромагнитной индукции, когда проволочный контур, в котором иидуцируется ток, неподвижен, а изменения магнитного потока обусловлены изменениями магнитного поля. Возникновение индукционного тока свидетельствует о том, что изменения магнитного поля вызывают появление в контуре сторонних сил, действующих на носители тока.
Этн сторонние силы не связаны ни с химическими, ни с тепловыми процессами в проводе; они также не могут быть магнитными силами, потому что такие силы работы над зарядами не совершают. Остается заключить, что индукционный ток обусловлен возникающим в проводе электрическим полем. Обозначим напряженность этого поля Ез (это обозначение, равно как и применяемое в дальнейшем обозначение Е, является вспомогательным; впоследствии индексыВ и д мы опустим). Электро- движущая сила равна циркуляции вектора Еа по данному контуру: 8~ =у: Ези(. (69.1) Подстановка в формулу 8~= — йФ/й выражения (69.1) для 8~ и выражения ) Вб$ для Ф приводит к соотношению 9" ° = Ез6П= — — ВДБ а г а ~ (интеграл в правой части равенства берется по произвольной поверхности, опирающейся на контур).
Поскольку контур и поверхность неподвижны, операции дифференцирования по времени и интегрирования по поверхности можно поменять местами: ф Елб( = — ') — пй. (69.2) В связи с тем, что вектор В зависит, вообще говоря, как ог времени, так и от координат, мы написали под знаком интеграла символ ГЛ. 1Х. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА частной производной по времени (интеграл ~ Вй8 является функцией только от времени). Преобразуем левую часть равенства (69.2) по теореме Стокса.
В результате получим 1 [1Ев1Ж= —,) дг Ю. Ввиду произвольности выбора поверхности интегрирования должно выполняться равенство [УЕв1 = д~ дв (69. 3) Ротор поля Ез в каждой точке пространства равен взятой с обратным знаком производной по времени от вектора В. Максвелл предположил, что изменяющееся со временем магнитное поле обусловливает появление в пространстве поля Е , независимо от присутствия в этом пространстве проволочного контура.
Наличие контура лишь позволяет обнаружить по возникновению в нем индукционного тока существование в соответствующих точках пространства электрического поля. Итак, согласно идее Максвелла изменяющееся со временем магнитное поле порождает электрическое поле. Это поле Еэ существенно отличается от порождаемого неподвижными зарядами электростатического поля Е . Электростатическое поле потенциально, его линии напряженности начинаются и заканчиваются на зарядах. Ротор вектора Ее в любой точке равен нулю: [ЧЕЙ=-0 (69.4) (см. формулу (12.3)). Согласно (69.3) ротор вектора Ев отличен от нуля. Следовательно, поле Ел, как и магнитное поле, является вихревым. Линии напряженности поля Ев замкнуты. Таким образом, электрическое поле может быть как потенциальным (Е ), так и вихревым (Ев).
В общем случае электрическое поле может слагаться из поля Е„, создаваемого зарядами, и поля Ев, обусловленного изменяющимся со временем магнитным полем. Сложив вместе соотношения (69.4) и (69.3), получим для ротора напряженности суммарного поля Е=Е +Еэ следующее уравнение: [7Е1=-. — — . дв ш ' (69.6) Это уравнение является одним из основных в электромагнитной теории Максвелла. Существование взаимосвязи между электрическим и магнитным полями (выражаемой, в частности, уравнением (69.6)) служит причиной того, что раздельное рассмотрение электрического н магнит- Ф»к ток смешения ного полей имеет лишь относительный смысл. Лействительно, электрическое поле создается системой неподвижных зарядов.
Однако если заряды неподвижны относительно некоторой инерциальной системы отсчета, то относительно других ннерциальных систем эти заряды движутся и, следовательно, порождают не только электрическое, но и магнитное поле, Неподвижный провод с постоянным током создает в каждой точке пространства постоянное магнитное поле. Однако относительно других инерциальных систем этот про.
вод находится в движении. Поэтому создаваемое им магнитное поле в любой точке с данными координатамн х, у, г будет меняться и, следовательно, порождать вихревое электрическое поле. Таким образом, поле, которое относительно некоторой системы отсчета оказывается «чисто» электрическим нли «чисто» магнитным, относительно других систем отсчета будет представлять собой совокупность электрического и магнитного полей, образующих единое электромагнитное поле.
$ 70. Ток смещения В случае стационарного (т. е. Не изменяющегося со временем) электромагнитного поля ротор вектора Н равен в каждой точке плотности тока проводимости: 1» Н1=-) (70.! ) (см. (52.6)). Вектор ) связан с плотностью заряда в той же точке уравнением непрерывности (32.3): / 'А ц= — —,. (70.2) Н в (г р;, 1 др Электромагнитное поле может быть стационарным лишь при условии, что плотность заряда р и плотность тока 1 не зависят от времени. В этом случае согласно (70.2) дивергенция ) равна нулю. Поэтому линии тока (линии вектора )) не имеют источников и являются замкнутыми.
Выясним, является лн уравнение (70.1) справедливым в случае изменяющихся со временем полей. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое током, текущим при зарядке конденсатора от источника постоянного напряжения (1 (рис. 70.1). Этот ток непостоянен во времени (в момент, когда напряжение на конденсаторе становится равным У, ток прекращается).
Линии тока проводимости терпят разрыв в промежутке между обкладками конденсатора (на ГЛ. 1Х. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА рисунке линии тока внутри обкладок показаны штрихоными линиями). Возьмем круговой контур Г, охватывающий провод, по которому течет ток к конденсатору, и проинтегрируем соотношение (70.1) по пересекающей провод поверхности 5„ограниченной контуром: ~ 11Н|гБ= ~ 1ЙБ. 5, 5, Преобразовав левую часть по теореме Стокса, получим циркуляцию вектора Н по контуру Г: ф Нс(1= ) )пав=1 (70.3) Г з„ (1 — сила тока, заряжающего конденсатор). Проделав такие же вычисления для поверхности 5„не пересекающей провод с током (см. рис.
70.1), придем к явно неверному соотношению ф Н а = ~ ) (3= 0. (70.4) Г э1 Полученный нами результат указывает на то, что в случае изменяю- щихся со временем полей уравнение (70.1) перестает быть справед- ливым. Напрашивается вывод, что в этом уравнении отсутствует слагаемое, зависящее от производных полей по времени.
Дли ста- ционарных полей зто слагаемое обращается в нуль. На неправомерность уравнения (70.1) в случае нестационарных полей указывают также следующие соображения. Возьмем дивер- генцию от обеих частей соотношения (70,1): р ~7Н1= 7). Дивергенция ротора обязана быть равной нулю (см.
(11.39)). Таким образом, мы приходим к выводу, что дивергенция вектора 1 также должна быть всегда равной нулю. Однако этот вывод противоречит уравнению непрерывности (70.2). Действительно, при нестационар- ных процессах р может меняться со временем (это, в частности, происходит с плотностью заряда на обкладках заряжаемого кон- деиса|ора). В этом случае согласно (70.2) дивергенция 1 отлична от нуля. Чтобы согласовать уравнения (70.1) и (70.2), Максвелл ввел в правую часть уравнения (70.1) дополнительное слагаемое.
Есте- ственно, что это слагаемое должно иметь размерность плотности тска. Максвелл назвал его плотностью ток а смещен и я. Таким образом, согласно Максвеллу уравнение (70.1) должно иметь вид (70.6) 17Н1=1+1,, $ кь ток смещения 203 Сумму тока проводимости и тока смещения принято называть полным током. Плотность, полного тока равна )-..=1+1 - . (70.6) Если положить дивергеицию тока смещения равной дивергенции тока проводимости, взятой с обратным знаком, 11„, = — у), (70.7) то дивергенция правой части уравнения (70.5), так же как и дивергенция левой части, всегда будет равна нулю. Заменив в (70.7) у) согласно (70.2) через др/дЮ, получим следующее выражение для дивергеиции тока смещения: У)" =д~ (70.8) Чтабы связать ток смещения с величинами, характеризующими изменение электрического поля со временем, воспользуемся соотношением (19.8), согласно которому дивергенция вектора электрического смещения равна плотности сторонних зарядов: у0=р.
Продифференцировав это соотношение по времени, получим —,(уо) = —. д др дз д1 Теперь поменяем в левой части порядок дифференцирования по времени и по координатам. В результате придем к следующему выражению для производной р по й Подстановка этого выражения в формулу (70.8) дает И1„, =У (д ) ° Отсюда ди (70.9) Подставив выражение (70.9) в формулу (70.5), придем к уравнению 1УН1= )+ д, (70.10) которое, как и уравнение (69.5), является одним из основных в теории Максвелла. Подчеркнем, что термин «ток смещенияэ является чисто условным. По существу ток смещения — это изменяющееся со временем ГЛ. !Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
