И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Как только сила тока в цепи начнет убывать, возникнет э. д. с. само- индукции, противодействующая этому убыванию. Сила тока в цепи будет удовлетворять уравнению И=8,= — (.—, И Л щ 1 или — + — !=0. И Я (65.2) Уравнение (65.2) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Разделив переменные, получим И Я вЂ” = — — й. т ь Отсюда 1и т = — — 1+1п сопз1 Я (имея в виду дальнейшие преобразования, мы постоянную интегрирования написали в виде 1п сопз1). Потенцнрование этого соотношения дает л т = сопз1 е (65.3) Выражение (65.3) является общим решением уравнения (65,2). Значение сопэ1 найдем из начальных условий. При 1=0 сила тока имела значение (65.1). Следовательно, сопз1=(,.
Подставив это 192 гл. шп. электиомлгиитнля индзкция значение в (65.3), придем к выражению и 1=- 1,е (65.4) Итак, после отключения источника з. д. с. сила тока в цепи не обращается мгновенно в нуль, а убывает по зкспонеициальному закону (65.4). График убывания 1 дан на рис. 65.2 (кривая 1). Х Скорость убывания определяется имеющей размерность времени величиной Хр т= —, б (65.5) которую называют и о с т о я и и о й в р е м е н и цепи.
Заменив в (65.4) /с/Ь через 1/т, получим 1= /,е (65.6) Рис. 65.2. В соответствии с этой формулой т есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз. Из (65.5) видно, что чем больше индуктивность цепи 1. и меньше ее сопротивление Р, тем больше постоянная времени т и тем медленнее спадает ток в цепи. Для упрощения расчетов мы считали, что цепь в момент отключения источника тока замыкается накоротко. Если просто разорвать цепь с большой индуктявиастью, возникающее высокое индуцированное напряжение создает искру или дугу в месте разрыва.
Теперь рассмотрим случай замыкания цепи. После подключения источника э. д. с., до тех пор, пока сила тока не достигнет установившегося значения (65.1), в цепи кроме э. д. с. 8 будет действовать э. д. с. самоиндукции. Следовательно, в соответствии с законом Ома или — + — 1= —. и/ я ш ь ь (65.7) Мы пришли к линейному неоднородному дифференциальному уравнению, которое отличается от уравнения (65.2) лишь тем, что в правой части вместо нуля в нем стоит постоянная величина е7/5.
Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение линейного неоднородного уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению соответствующего однородного уравнения (см. 9 52 1-го тома). Общее решение однородного уравнения имеет вид (65.3). Легко убедиться в том, что 1=8/К=1, является частным решением уравнения (65.7). з 22, взаимная индткция Следовательно, общим решением уравнения (65.7) будет функция я, 1=12+сонэ( е В начальный момент сила тока 1 равна нулю.
ОтсюдасопМ=-в — 1,. Таким образом, =, ((,— '). Эта функция описывает нарастание тока в цепи после подключения к ней источника э. д. с. График функции (65.8) дан на рпс. 65.2 (кривая 2). % 66. Взаимная индукция Возьмем два контура 1 и 2, расположенные близко друг к дру~у (рис. 66.1). Если в контуре 1 течет ток силы 1„он создает через контур 2 пропорциональный 1, полный магнитный поток Ч' =-!. 111 (поле, создающее этот поток, изображено на рисунке сплошиычи линиями).
Прп изменениях тока 1, в контуре 2 индуцируется з. д. с. а!1 б' =- — 1- 12 ' 21 (мы предполагаем, что ферромагнетиков вблизи контуров нет). Рис. ббзк Рис. ббп. Аналогично, при протекании в контуре 2 тока силы 1, возникает сцепленный с контуром ! поток Р1 ! 1212 (66.3) (поле, создающее этот поток, изображено пунктирными линиями). 1 И. В. Сввввввв, 2. 2 гл.щш.элвктвомхгнитная индккция При изменениях тока 1, в контуре 1 индуцируется э. д. с. 8п = — 113 — „,' (66.4) Контуры 1 и 2 называются с в я з а н н ы м и, а явление возникновения э.
д. с. в одном пз контуров при изменениях силы тока в другом называется взаимной и н д у к ц и е й. Коэффициенты пропорциональности 1,„ и 1.м называются взаимной и н д у к т н в н о с т ь ю контуров. Соответствующий расчет дает, что в отсутствие ферромагнетиков эти коэффициенты всегда равны друг другу: 1.„=(.м. (66.6) Их величина зависит от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости окружающей контуры среды. Измеряется 1.м в тех же единицах„что и индуктивность 1,.
Найдем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный железный сердечник (рис. 66.2). Линии магнитной индукции сосредоточиваются внутри сердечника (см. текст, следующий за формулой (64.8)), поэтому можно считать, что возбуждаемое любой из обмоток магнитное поле будет иметь всюду в сердечнике одинаковую напряженность. Если первая обмотка имеет Ю, витков и по ней течет ток силы 1„то согласно теореме о циркуляции (см.
(52.8)) Н(=МА (66.6) (( — длина сердечника). Магнитный поток через поперечное сечение сердечника Ф= =85=-р0рН5, где 5 — площадь поперечного сечения сердечника. Подставив сюда значение Н из (66.6) и умножив получившееся выражение на Ж„получим полный поток, сцепленный со второй обмоткой: 5 ги = з РФй(Фз1» Сопоставление этого выражения с формулой (66.!) дает, что 3 1.м = ~ р0рй',Ж (66.7) Вычисления потока Ч',, сцепленного с первой обмоткой в том случае, когда по второй обмотке течет ток силы 1„приводят к выражению 5 1м= —,ряб' Н . (66.8) по форме совпадающему с 1,с (см.
(66.7)). Однако в данном случае нельзя утверждать, что 1.ы=1.м. Множитель р, входящий в вы- так эиввгия магнитного поля ражения для этих коэффициентов, зависит от напряженности поля Н в сердечнике. Если Х,ФИм один и тот же ток, пропускаемый один раз по первой, а другой раз по второй обмотке, создаст в сердечнике поле различной напряженности Н. Соответственно значения м в обоих случаях будут различными, так что при 1,=1, числовые значения 1.ы и (.м не совпадают. $67.
Энергия магнитного поля Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 67А. При замкнутом ключе в соленоиде установится ток 1, который обусловит магнит- ное поле, сцепленное с витками соленоида. Если разомкнуть ключ, то через сопротивление Р будет некоторое время течь постепенно убывающий ток, поддерживаемый воэь никающей в соленоиде э. д.
с. самоиндукции. Работа, совершаемая этим то- В ком за время й, равна дА 4',1 сЫ = — — 1 И = — 1 АЧ'. нч' ш У (67. 1) Если индуктивность соленоида не зависит от 1 (1.=сонэ(), то <РР=1. И и выражение (673) принимает вид АА = — 1.1 й. (67.2) Проинтегрировав это выражение по 1 Рис. 61л. в пределах от первоначального значения 1 до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время, в течение-кттгорого происходит исчезновение магнитного поля, а А= — ) 11п1 = / Работа (67.3) идет на прирашение внутренней энергии сопротив- ления 17, соленоида и соединительных проводов (т. е. на их нагре- вание). Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в окружаю- щем соленоид пространстве.
Поскольйу никаких других измене- ний в окружающих электрическую цепь телах не происходит, ос- тается заключить, что магнитное поле является носителем энергии, за счет которой и совершается работа (67.3). Таким образом, мы приходим к выводу, что проводник с индуктивностью 1., по кото- рому течет ток силы 1, обладает энергией МГ=— в!~ (67.4) (67. 3) 196 ГЛ.
ЧН!. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ когарая локализована в возбуждаемом током магнитном поле (ср. эту формулу с выражением С(/-!2 для энергии заряженного конденсатора; см. (29.2)). Выражение (67.3) можно трактовать как работу, которую необходимо совершить против э. д. с. самоиндукции в процессе нарастания тока от О до 1 и которая идет на создание магнитного поля, обладаккцего энергией (67.4). действительно, работа, совершаемая против э. д, с. самоиндукции, равна ! А' =- ~ ( — яг,)! г(!.
О Проделав преобразования, подобные тем, ко!орые привели пас к выражению (67.2), получим ! А ' = ~ ! ! Г(1:.= —, (67. 5) о что совпадает с (67.3). Работа (67.5) совершается при установлении тока за счет источника э. д. с. и идет целиком на создание магнитного поля, сцепленного с витками соленоида. Выражение (67.5) не учитывает той работы, которую источник э. д. с. затрачивает в процессе установления тока иа нагреваиие проводников. Выразил! энергию магнитного поля (67.4) через величины, характеризующие само поле.
В случае очень длинищо (практически бесконечного) соленоида 1.— — р рл!ч'; У=-и! или 1=— Н (см, формулы (64.3) и (53.8)). Подставив эти значения 1. и 1 в вырангеиие (67,4) и произведя преобразования, получим (67.6) В ч 50 было показано, что магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри соленоида.
Следовательно, энергия (67.6) локализована внутри соленоида и распределена по его объему с постоянной плотностью и!, которую можно найти, разделив В' на ч'. Произведя это деление, получим Ы! =-— и!!!г! (67.7) Воспользовавшись соотношением (5234), формуле для плотности энергии магнитного поля можно придать вид Я,РН НП В !в= — = — =— 2 2 2рар ЕБА. РАБОТА ПЕРЕМАГНИЧИВАНИЯ ФЕРРОМАГНЕТИКА 197 Полученные нами выражения для плотности энергии магнитного поля отличаются от выражений (30.3) для плотности энергии электрического поля лишь тем, что электрические величины в ннх заменены соответствующими магнитными.
Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенную в любом объеме Р'. Для этого нужно вычислить интеграл )Р= ~ша~=~ — """' б). 2 (67.9) У Р Можно показать, что в случае связанных контуров (при отсутствии ферромагнетиков) энергия поля определяется формулой (67. 10) Для энергии А1 связанных друг с другом контуров получается аналогичное выражение йГ = — ~~»' Е.,А! (7„ С А=1 где Ега — — Е„1 — взаимная индуктивность йго и й-го контуров, а Еи=Е; — индуктивность йго контура. й 68. Работа перемагничивания ферромагнетнка Изменения тока в цепи сопровождаются совершением против э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
