И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 39
Текст из файла (страница 39)
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 204 эчектрнческое поле. Основанием для того, чтобы назвать «током» величину (70.9), служит лишь то, что размерность этои величины соййадает с размерностью плотности тока. Из всех физических свойств, присущих действительному току, ток смещения обладает лтпиь одним — способностью создавать магнитное поле. Введение тока смещения, определяемого выражением (70.9), уравняло в правах» электрическое и магнитное поля. Из явления лектромагннтной индукции вытекает, что изменяющееся магнитное оле порождает электрическое поле. Из уравнения (70.!О) следует, то изменяющееся электрическое поле порождает магнитное поле. Ток смешения имеется везде, где есть изменяющееся со временем 1электрнческое поле. В частности, он существует и внутри про- водов, по которым течет переменный электрический ток.
Однако ! внутри проводов ток смещения обычно бывает пренебрежимо мал !!по сравнению с током проводимости. Отметим, что равенство (70.3) является приближенным, Для «того чтобы оно стало вполне строгим, к его правой части нужно добавить слагаемое, учитывающее ток смещения, обусловленный слабым рассеянным электрическим полем, имеющимся в окрест- ности поверхности 5,.
Убедимся в том, что поверхностный интеграл от правой части уравнения (70.5) имеет одинаковое значение для поверхностей 5, и 5, (см. рис. 70.1). Через поверхность 5, «течет» как ток проводи- мости, так и ток смещения, обусловленный электрическим полем, имеющимся вне конденсатора. Следовательно, дли первой поверх- ности имеем Ип = ) 1г(5 !»! 1 «»«(5= 1+ а, «1! л г л з, (мы поменяли во втором слагаемом порядок операций дифференцирования по времени и интегрирования по координатам). Величина, обозначенная буквой 7, есть сила тока, текущего по проводу к левой обкладке конденсатора, Ф„„„ — поток вектора О, втекающий в объем )!, ограниченный поверхностямн 5, и 5, (см, рис.
70. 1) . Для второй поверхности 1=0, следовательно, Инт,—.— — „, ) 0«(5== — „т Ф.,„„„„, Бр где Ф«,„„,„есть поток вектора 1», вытекающий из объема )! через поверхность 5, Разность интегралов равна Ы а $7!. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА й 71. Уравнения Максвелла Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Зта теория объяснила все известные в то время экспериментальные факты и предсказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии. Основным следствием теории Максвелла был вывод о существовании электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света.
Теоретическое исследование свойств этих волн привело Максвелла к созданию электромагнитной теории света. Основу теории образуют уравнения Максвелла. В учении об электромагнетизме эти уравнения играют такую же роль„как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) в термодинамике. Первую пару уравнений Максвелла образуют уравнения (69,5) и (51.3): [че1= —— дя д/ тВ=О, (71.1) (71.2) Силу тока / можно представить как п7//7(1, где 7/ — заряд на обкладке конденсатора.
Поток, втекающий внутрь через поверхность5п равен взятому с обратным знаком потоку, вытекающему через ту же поверхность наружу. Заменив Ф,„„„на — Ф„„„„, а / на дд/Й, получим Инт, — Инт, = д, (Ф„„„„+ Ф7 А „„) — — „'7 = — „(Фо — д), (70.11) где Фп — поток вектора 0 через замкнутую поверхность, образованную поверхностями 37 и Я,. Согласно (19.!О) этот поток должен быть равен заряду, заключенному внутри поверхности.
В данном случае это заряд д на обкладке конденсатора. Таким образом, правая часть соотношения (70.1!) равна нулю. Отсюда следует, что величина поверхностного интеграла от вектора плотности полного тока не зависит от выбора поверхности, по которой вычисляется интеграл. Для тока смещения, как и для тока проводимости, можно стро- ' ить линии тока. Согласно формуле (20.4) электрическое смещение в зазоре конденсатора равно поверхностной плотности заряда на обкладке: 17=-о.
Отсюда В=а. Левая часть дает плотность тока смещения в зазоре, правая часть— плотность тока проводимости внутри обкладок. Равенство этих плотностей означает, что на границе обкладок линии тока проводимости непрерывно переходят в линии тока смешении. Следовательно, линии полного тока оказываются замкнутыми. 266 ГЛ.1Х. УРАВИЕНИЯ МАКСВЕЛЛА Первое пз этих уравнений связывает значения Е с изменениями вектора В во времени и является по существу выражением закона электромагнитной индукции. Второе уравнение указывает на отсутствие источников магнитного поля, т.
е. магнитных зарядов. Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравнения (70.10) и (19.8); 'гу Н]= 1+ — „,Р, (71.3) уР=р (71.4) Первое уравнение устанавливает связь между токами проводи- мости и смещения и порождаемым ими магнитным полем. Второе показывает, что источниками вектора Р служат сторонние заряды. Уравнения (71.1) — (71.4) представляют собой у р а в н е н и я Максвелла в дифференциальной форме.
Отме- тим, что в первую пару уравнений входят только основные характе- ристики поля: Е и В. Во второй же паре фигурируют только вспомо- гательные величины Р и Н. Каждое из векторных уравнений (71.1) и (71.3) эквивалентно трем скалярным уравнениям, связывающим компоненты векторов, стоящих в левой и правой частях равенств. Воспользовавшись фор- мулами (11.14) и (11.25) — (11.27), представим уравнения Макс- велла в скалярной форме: дЕ аГу дв дЕ дЕ оВу ду ог д1 ' дг дк дг йЕу йЕ» аВу — — — = — — (71.5) д ду — дС ав„ аву ав, — "+ — + — *— =0 дк ду дг (71.5) (первая пара уравнений), дН йву „дР„дН„дН вЂ” — =1+ —.", —" — — *=! + —" да дг к о~ у дг йк у ~~ у дИу дн дР ок дк =)У+ д~ (71 7) ар„ар„ар, (71.8) (вторая пара уравнений). Всего получилось 8 уравнений, в которые входят 12 функций (по три компоненты векторов Е, В, Р, Н). Поскольку число урав- нений меньше числа неизвестных функций, уравнений (71.1)— (71.4) недостаточно для нахождения полей по заданным распреде- лениям зарядов и токов.
Чтобы осуществить расчет полей,,нужно $ те уРАВнения мАксВеллА 2от дополнить уравнения Максвелла уравнениями, связывающими 0 и 1 с Е, а также Н с В. Эти уравнения имеют вид 0=е,еЕ, В=9,рН, 1=аЕ (см. (19.6), (52.14) и (34.3)). Совокупность уравнений (71.1) — (71.4) и (71.9) — (71.11) об- разует основу злектродннамики покоящихся сред.
Уравнения (71.9) (71.10) (71.11) фЕ(1= — —,', ~Вб5, г з ф В (5=9 (71.12) (71.13) (первая пара) и авиа-~!а+~!ож, (71.14) фо (3=) р(У (71.15) (вторая пара) представляют собой у р а в н е н и я М а к а в е л л а в интегральной форме. Уравнение (71.12) получается путем интегрирования соотноше-, ния (71.1) по произвольной поверхности о с последующим преобразованием левой части по теореме Стокса в интеграл по контуру Г, ограничивающему поверхность о.
Уравнение (71.14) получается таким же способом из соотношения (71.3). Уравнения (71.!3) и (71.15) получаются из соотношений (71.2) и (71.4) путем интегрирования по произвольному объему У с последукицим преобразованием левой части по теореме Остроградского — Гаусса в интеграл по замкнутой поверхности 8, ограничивающей объем У. ГЛАВА Х ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ $72. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле Представим себе заряд е', движущийся в однородном магнитном поле со скоростью ч, перпендикулярной к В.
Магнитная сила сообщает заряду перпендикулярное к скорости ускорение 'ал Р е' (72.1) (см. формулу (43.3); угол между ч и В прямой). Это ускорение изменяет лишь направление скорости, величина же скорости остается неизменной. Следовательно, и ускорение (?2.1) будет постоянным по величине. При этих условиях заряженная частица движется равномерно по окружности, радиус которой определяется соотношением ш„=и'?)?. Подставив сюда значение (?2.1) для ш„и решив получившееся уравнение относительно )г, получим 1? = —,— ". е' В' (72.2) Итак, в случае, когда заряженная частица движется в однородном магнитном поле, перпендикулярном к плоскости, в которой происходит движение, траектория частицы является окружностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
