В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Отсюда, используя теорему 7.1 гл. 6, получаем ковариационную матрицу вектора Оэ: О [О*) = (Е- Х) О [у[ (Е- Х) . (7.7) Так как Я симметрична, то симметрична и Е г, поэтому [У [Оэ[ ото 'ХХ'Я ' и, следовательно, 0 [О*[ = о'Я '. (7.8) Из формул (7.4) и (7.7), опираясь на свойства математического ожидания„получаем, что МО* = Б 'ХМу = = Я гХХ'0 = О. Эти соотношения доказывают несмещенность линейной оценки (7.7). Т е о р е м а 7.1. Если О* = (01,..., Ор~)' — любая линейная (относительно (у„..., у„) в (7.4)) несмещенная оценка параметров О = (Оы..., Ор), то 001 ~( 0ОФ, й = 1,..., р, еде (Ов, ..., 0„*) определены формулой (7.7). Доказательство.
Пусьйба = Су — произвольная несмещенная оценка О. Так как О = МООа = СХ'О„ то СХ' = Е, где Š— единичная матрица. По теореме 7.1 гл. 6 находим 0 [йОа) = С0 [у) С' = оеСС'. Сравним матрицу СС' с матрицей Я ' в (7.8). Используя равенства СХ' = ХС' = Е, нетрудно проверить, что СС' = Я '+ (С вЂ” Я 'Х) (С вЂ” Я 'Х)', $8. Дисперсионпый аяалиэ Дисперсионным анализом называют статистический метод анализа результатов измерений, зависящих от различных одновременно действующих факторов. Ограничимся рассмотрением простейшего случая, когда действует один фактор. Пусть, например, выборка разбита на г групп, причем [-я группа содержит п~ величин хи, х;,, „, ..., хьи.
Предполагается, что все указанные величины распределены нормально и Мхы = а,, [аахм = о', 1 = = 1,, ы пи 1 = 1...,, г, Нам нужно проверить гипоте- Отсюда и следует утверждение теоремы, поскольку диагональные элементы матрицы (С вЂ” Я 'Х) (С вЂ” 8-1Х)е неотрицательны. 202 злвминты матнматичнскои статистики . [гл. в зу, согласно которой ас = ... = а, = а.
В физической постановке зта задача выглядит так. Одна и та же величина а измеряется г различными приборами, имеющими одинаковую точность. Нас интересует, имеют ли приборы различные систематические ошибки. В рассматриваемом примере исследуется влияние одного фактора (прнбора) иа погрешность намерения. Введем следующие обозначения: с и= — »» хц, мс,= — » хц, л=пс+... + л. с=с»'=с с=с Групповые средние хц являются, очевидно, несмещенными и состоятельными оценками величин а,. Если все а, одинаковы, то общее среднее не должно сильно отличаться от групповых.
В противном случае разброс х,. относительно х должен быть более значительным. Представим общую, нли полную, сумму квадратов отклонений вс Е= Х,Х(хц — )' (8.1) с с»с в следующем виде: е=а+о„ (8.2) где "с с~с — Д лс(хс. — х)в, Рв= ~ ~ (хсс — хс.)в. (8.3) с=с с=с» с суммой квадратов отклонений суммой квадратов отклонений Сумму с',с в (8.2) называют «между группами», а Д »внутри групп».
с ч-с что величина — » (хсс — иц)в з''-с и, — 1 степенями свободы и, Из теоремы 3.4 следует, имеет распределение ув с Равенство (8.2) легко следует из (8Л)с если воспольао- ваться формулами (хсс — х)' = ((хц — хс.) + (хс, — х) )' = = (хц — иц)'+ (хс. — х)'+ 2 (хц — хс) (хс, — х), ~ (хс -хс,) =О, с 1 задачи к гляни в г следовательно, чв имеет распределение )(з с Я (и< — 1) = < < = и — г степенями свободы. Можно показать (см. [10), гл. 36, 4 36.2), что если а, =... а„= а, то <',)< и <',), независимы и <',)< имеет распределение )(* с г — 1 степенями свободы.
Следовательно, при а< —— ... —— а, величина Р"-ь-"= 0)(-- ) Д</(г — <) (8.4) имеет распределение Фишера с г — 1, и — г степенями свободы. Величина (8.4) может быть использована для про- верки гипотезы о совпадении математических ожиданий: а< ... = а„ = а. Если эта гипотеза верна то я<, и я являются состоятельными оценками одной и той же величины а и, следовательно, близки между собой, а ве- личина ч< мала. Если а< различны, то я<.
и я сближаются с разными математическими ожиданиями: ч"-ч я< Мя<.=ам Мх=- у — 'а<, « и, следовательно, сумма <)< должна принимать большие значения. Независимо от предположения о равенстве а, знаменатель в (8.4) остается оценкой и'. Это, говоря нестрого, означает, что при увеличении расхождения между а< величина (8.4) в среднем должна принимать большие значения. Статистический критерий формулируется следующим образом: еслибы <,„, ) С, то гипотеза, состоял)аяв тол<, что а< ...
= а,„отвгргастся. При заданном уровне значимости а = 0,05 постоянную С нетрудно определить по таблице 6. Отметим, что при г = 2 статистический критерий для проверки рассматриваемой гипотезы может быть получен па основе величины (5.8). Задача к главе 9 1. По выборке х<,..., х„, полученной в задаче 24 гя. б, найти: в) ввризцвоквый ряд х«) ~ х«) <... ~ х<„), б) эмпирическую функцию распределения (построить вс график в график теоретической функции распрейслевия); в) г = (х<+... + хя)!я (сраввить с Мх„); я г) гз= — у (х — г)' (срввкять с Г<хв). ч-< — я— ,<7 з х=< 204 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ (РЛ. 9 2. Используя таблицу нормальных случайных чисел, получить реализацию выборки хл, ...,х„, где хг нормально распределены с Мхз = 0,5, Ьха = 1; и = 22.
Для полученной выборки выполвить задание, уиааанное в задаче 1. 3. Пусть (х„ у,), ..., (хго у„) — независимые одинаково распределенные двумерные величины. Положим п 1 % л шп = — ~(хз — х) (уг — р) 1=1 где У = (хл+... + х„)/и, у = (у, +... + у„)/и. Найти Мтлл и показать, что Вжм = О ~ — ~ при п — сс. лп л 4. Покааать, что величина тлл, определенная в задаче 3, при и ос асимптотически нормальна. 6.
Выборочным коэффициентом корреляции называется вели- чина г = пчл/)/гтюжсз п 1 %1 где тм = — ь (х, — х)з, и 1-1 и плоз = — т (у„— р), а шлл, х, у 1 'Гл 1 и Х = — у хш 'л= „7 (хы Л 1 1=1 1 Показать, что величина л = ~ слгл, где с; = (1/з()/(1/а~ +... + 1/г~~), является несмещенной оценкой а, определены в задаче 3. Величина г используется в качестве критерия зависимости координат наблюдаемых двумерных величин, Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы 3.3, покааать, что при и - сс величина г асимптотически нормальна. 6.
Рассмотрим последовательность испытаний Бернулли с вероятностью успеха р в отдельном испытании. Пусть )лп — число успехов в и первых испытаниях. Воспользовавшись схемой доказательства теоремы З.З, показать, что при и сс величина )лп 1) = 2 агсз(п у " асимптотически нормальна с параметрами и и (А, Вlп). Найти А и В. 7. По выборко х„..., х„, где хг, /л = 1,..., п, независимы, Мхг = а, Вхг = от (аа навестим), найти несмещенную, линейную относительно х„..., х„оценку аг параметра а с наименьшей дисперсией.
8. Пусть хп, ..., х;ж (! = 1, ..., /) — неаависимые нормально распределенные величины с параыетрами (а, оз); ВАДАЧИ К ГЛАВЕ В 205 9. Пусть х;, .. .х„ — независимые нормально распределеииые случайные величины с параметрами (О, 1). Положим о о ,> Докааать, что а) величины хо, — х и хо независимы; б) величина би имеет распределение >(о с и — 1 степенями свободы. У к а з а и и е.
а) Найти сот (аоод — Г, Гг); б) провести доказательство индукцией по 4, воспользовавшись равенством а уою = уз+ — (хго> гн)'. 4+1 10. Испольвуя метод наибольшего правдоподобия, найти по выборке х>, , х„, где Р (х = оо) = е ", и = О, 1, ..., гл! оценку до параметра й. Будет ли зта оценка иесмещепкой и состоятельной? Найти Мйо, Оье. М. Пусть,г, (...
( х>„> — вариациовный ряд, построенный по выборке х,, х„..., х„. Положим О* — — "+ +', 8' — (>+ >и> =Х = о и ' ' 2 Найти М8о, ООо (а = 1, 2), если а) величины хо раввомерио рас° о пределекы на отревке (а, Ь!; б) р„(х) = ае ах, х ) О. 12. Пусть х< > Ч,... ( х>и> — вариациоккый ряд, построенпый по выборке х,... х„, где ха имеет плотность распределения, равную ее-х при х )~ е ) О. Положим е* = х< > — — .
Найти Мее, 1 и Оео. 13. По выборке, получеипой в задаче 2, построить доверительные интервалы для а с доверительной вероятностью 0,95 и для оо с доверительной вероятностью 0,94. 14. Используя критерий >(о, проверить гипотезу о том, что выборка,получеикая в аадаче 24 гл. 5, соответствует равиомериоыу раси еделепию иа отрезке (О, 1). Уровень значимости оо = 0,05. 5.
Найти статистику наиболее мощного критерия, различающего по выборке х„ ..., х„ гипотезы Но'Р(хГ=Ц Р(о>)0 > 1 2 Д>. Н>: Р(хо=>)=р>п)0, >=1,2...Ю; и ,ч Х (ю= ХР'=. о=> >=> 16. Для величины ооо, определеииой формулой (7.3), найти Мооо.
17. В случае провзвольиых а„а,,..., а„найти М4>о и М4>о, где 4>д и 4>о определеиы формуламк (8.3). И)б элементы МАтеиАтическпи стАтистики (гл. з 18. Пусть кн — значения фувкцви г'(х) ахз+ Ьх+ с, намеренные в точках х~ = 0,2 + 0,5 (1 — 1), 1 = 1, 2,..., 10. Прв а = 1, Ь = 2, с = — 1 навти реалиазцию выборки у~ = ха+ -(- 2х~ — 1 + 60 1 = 1, 2,..., 10, где 6~ независимы и нормально распределены с ЗА6~ = О, 06~ — — 0,06. Методом наименьших квадратов получить оценки а», Ь», с» параметров е, Ь, с. Сравнить эти оценки с иавестными истинными значениями. Построить графики функций у = хз+ 2х — 1, у = е»ха + Ь"х+ с»; отметить точки (хь уй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
