В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Ветвящиеся процессы с а ( 1, а = 1 и а ) 1 называют соответственно докритическими, критическими (если ф (х) ~ х) и надг критическими. Асимптотические свойства ветвящихся про; цессов в этих трех случаях существенно различны. Исследуем условия вырождения процесса. Обозначим С событие, состоящее в том, что ((, = 0 при некотором с. Очевидно, что ((с~ = 0) С (((и1 — — 0), ( = 1, 2..., (4.2) Событие С можно представить в виде С = () ((4 = 0).
1=1 Согласно (1.3.11) Х = Р (С) =! (т Р (Рч = 0). ! а Если Х = 1, то процесс называется вырождающимся. До критические процессы (а ( 1) являются вырождающимися, так как при Г -ч- оо 1 — Р ((са = 0) = Р ((с~ ) О) = Р ((с~ ) — ) ( 2М(( = 2а' О. Покажеы, что вероятность Х удовлетворяет уравнению ф (х) = х.
(4.3) Так как Ф~ (х) является (-й итерацией ф (х)„то наряду с (4.1) имеет место равенство Фвы (х) = ф (Ф( (х)). (4.4) Очевидно, что Ф( (0) = Р (р, = 0). Полагая х = 0 в (4.4), получим Р (р,+„—— 0) = ф (Р (р, = 0)). (4.5) Отсюда при (-~ со найдем ) = ф(),). (4.6) Таким образом, Х является корнем уравнения (4.3). В тех случаях, когда (4.3) имеет единственный корень на отрезке (О, 1), этот корень совпадает с Х. Пусть ф (х) Ф х. При х (== (О, 1) имеем ф' (х) ) О, ф' (х) ) О.
Следовательво, ф (х) иа отрезке (О, 1) возрастает и обращена выпук- внтвящиися птоцзсс 2!5 пастью книзу. Параметр а = ф (1) определяет угловой коэффициент касательной к графику у * ф (х) в точке х = 1. Следовательно, при а = 1 график у ф (х) касается у = х в точке х 1; при а(1 касательная к у = ф (х) проходит выше у = х. Таким образом, прн а ( 1 уравнение (4.3) имеет на отрезке (О, 1] единственный корень х = 1, н, следовательно, ветвящийся процесс вырождается, если а ( 1. Прн а ) 1 касательная к графику у = ф (х) проходит ниже у = х и уравнение (4.3) имеет на отрезке (О, 1) два корня х„х, (О ( х, < х, = 1). Покажем, что Х = х,. Для этого достаточно показать, что Р (р, О) ( х, при любом 1, Проведем доказательство по индукции.
При С = 1 Р (Р, = О) = р, ( р, + р,х, + р,х1~ +... = ф (х,) = х„ так как х1 — корень уравнения (4.3). Предположим, что Р (р, = О) ( х,. Тогда, воспользовавшись (4.5), получим Р (р ° =О) = ф(Р(р = О)) <ф(х,) = Таким образом, при любом 1 Р (и, = О) ( х,. Переходя к пределу в этом неравенстве, получим Х ( х,.
Отсюда следует, что Х = х„так как Х и х, — корни уравнения (4.3) н х, — наименыпий корень. Таким образом, в случае надкритических процессов й = Р (С) < 1, и, следовательно, надкритнческие процессы являются вырождающимися. Для вырождающихся процессов можно ввести случайную величину т — время до вырождения процесса. Функция распределения т есть Р (т(1) = Р (р~ = О). Найдем аснмптотическую формулу при З -~- оо для (7 (1) = Р (т ь 1) = 1 — Р (р, = О). Уравнение (4.5) для Ч (1) запишется в виде (7 (г + 1) = 1 — ф(1 — ~ (г)). (4.7) Рассмотрим сначала докритический случай. Для докритических процессов а = ф' (1) < 1.
Предположим еще, что конечен второй факториальный момент Ь = Мп, (р — 1) = ф' (1). (4.8) 21В элементы теОРии случАйных НРОцессов 1гл. 1е Испольауя формулу Тейлора, запишем (4.7) в виде 0(С + 1) =1 — 9 (1) + р (1)1С(С)— — р'(1-00(С)), О (О (1. Отсюда (4.9) где Ь1 — — ~р" (1 — ОД (С)), О ( 0 ( 1, (4.10) г=1,2, Перемножив эти равенства от г = Ср до г = С вЂ” 1 (О < С, < С вЂ” 1), получим д (С) К,ас где (4Л1) Так как 0(г)= Р(р ~ — ) (2Мр =2а~ 0(а(1, (4Л2) и Ь,.~- Ь при г-~ оо, то при достаточно большом Сг сомножители в (4Л1) положительны. Иа неравенства (4.12) следует сходимость ряда Ь 1и (1 — ~' 0(г))=1ОК„О(К( и оценка 1п (1 — — '0(г)) =0(а'), С- оо, а Отсюда при С вЂ” ~ оо К1 К (1 + 0 (а')). Таким образом, если 0 < а < 1 и конечен момент (4.8)г то при С-~- оо 9 (С) = Ка' (1 + 0 (а')), 217 ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС Рассмотрим критический процесс.
В этом случае а = 1, Ь ) 0 и уравнение (4.9) запишется в виде + ) ч() 2 (4Л3) где Ь, -с Ь при с -~ оо. Отсюда (э (с+ 1) ь! 4с (с) 2 =1 — — !',7(с)- 1, 1 — > . (4Л4) Равенство (4ЛЗ) аапишем з видо у (С + 1) = у (1) — — (Э (1) (Э (С + 1) + е (1), (4.15) где (1) = ФО(1) Р(+ 1) - Ф0'(1) Используя (4.14), при 1 -~ оо получим ! 69 ь ' Е (!) !!!г!!-О ь ь е! !- ! Отсюда и из (4.15) вытекает, что 1 1 Ь 47 (! + 1) 47 (!) 2 = — + — + 6(г)„ где 6 (г) — с- 0 при г-~ оо. Суммируя последнее равенство от г = 1 до г = 1 — 1, при 1-ь оо получим с-! ! — ! 1 Ь! ч! Ьс! 2 2 — =1+ — + ь 6 (г).= — ! 1+ — + — ь 6(г)) = Р(с) 2 ~.с ' 2~ ьс юл ! а=! !=! = — (1+ о(1)).
Мы рассматривали ветвящийся процесс, начинающийся с одной частицы. Общее число частиц )с! в процессе, начавшемся с и частиц, можно представить в виде сп сь! со! рс=рс +(с! + ° ° ° +рс, рь=п! Таким образом, длл критических Ветвящихся про!(еесое е конечным моментом (4.8) при 1-~ оо имеем (с (1) = —, (1 + о (1)). з1Е ЕЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. 1О где случайные величины р~ ~, й = 1,..., и независимы 1Ю и имеют такое же распределение, как рассмотренная выше величина )11 с рз = 1.
Величину р)" можно интер(ю претировать как число потомков к-й начальной частицы в момент ~. Нетрудно найти МР,: Мр, =МР1~п +... + МР1~ю = иМР7'= па'1 где а = Мр1п = <~'(1). Событие (р1 ) 0) можно представить в виде (Р1)0)= 0 (р1ю>0)= (1 (Р1"=0). З=1 величин р«~~, й Отсюда, учитывая независимость 11, ..т и, находим п Р (Р1 ) О) = 1 — П Р (р1ю = О) = 1 — (1 — о (1))"У з з где Р (1) = Р (р1Й1 ) 0). Таким образом, зная поведение р, с рз = 1, нетрудно исследовать р, с рз = к. Мы рассмотрели некоторые свойства наиболее простого ветвящегося процесса.
Систематическое изложение теории ветвящихся процессов дается в книге И5). й 5. Процессы гибели и размножения Случайные процессы 5„рассмотренные в Я 2 — 4, обладают одним общим свойством: при любом п и любых Ф1 ( ГЗ (... ( Зи ( Фи+1 раВЕНСтВО Р ($1иы Е В„и, ) $1, б= В1,..., 51„1".= Ви-1 ~ 51 = х) = = Р (51ин ~ В т1 ) $1 = х) (5.1) выполняется для любых событий К, ~ В„, °, з1 ~ В„1, $1„*= х. Это свойство называют марковским; (5.1) является обобщением свойства (8.1.1)и сформулированного для целочисленных моментов времени н подмножеств В, множества натуральных чисел.
Процессыт удов- Е«1 ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ 219 летворяющие (5.1), называют марковскими. Марковский процесс 9, вавывается процессам гибели и размножения, если при Ь-э 0 выполняются условия Р Ды» й + 1 ( $« = й) )«»Ь + о (Ь), Р ($,„» — — й — 1 ! В, й) = 1«»Ь + о (Ь), (5.2) р (5„, = й ) 9 = й) = 1 — (Ь, + р,) Ь + о (Ь), где 1««,и» .эО(й)0), р =0(й(0), Получим теперь, аналогично тому как это делалось в 4 3 гл.
3, систему дифференциальных уравнений для вероятностей Р» (8) того„что в момент» состоянием процесса является й. Для этого запишем вероятность события (эы» — — й) по формуле полной вероятности, выбирая в качестве системы несовместных событий состояния процесса в момент». В результате при й ~ )1 получим Р» (1 + Ь) = Р» (г) (1 — (А«+ р») Ь) + + Ь,,ЬР,,(1)+ рьыйрвм(г) + о(Ь). Перенеся Р» (») в левую часть этого равенства и поделив обе части полученного соотношения на Ь, при Ь -э 0 находим Р»(1)= — ()«»+ 1«») Р«(г) + )«»-«Р»-«(Г) + р«ыр»,«(Г). (5.3) Аналогичные выкладки показывают, что Ро («) Ло~ о (1) + )««Р«(«). (5.4) Если задать начальное распределение (Р» (0)), то бесконечная система дифференциальных уравнений (5.3) — (5.4) имеет единственное решение лишь в случае, когда Ь», р„ ограничены или воэрастаютдостаточно медленно (см, (18), гл.
Хт'П, тт 4, 5). В этом случае ~ Р» (») = 1, а марков«=о ский процесс $О удовлетворяющий условиям (5.2) и имеющий заданное начальное распределение вероятностей Р (9» = й) = Р» (0), й = О, 1, 3, ..., является единственным. Рассмотрим теперь несколько частных видов общего процесса гибели и раэмножения. 5.1.
Процесс чистого раамножения. Пусть р» = О, й 0,.1, 2,... При атом условии переходы из состояния й 229 ЗЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ С11УЧЛИНЫХ ПРОЦЕССОВ 1ГЛ. 10 возможны только в состояние Й + 1. Вероятности выхода А»Ь+ о (Ь) (Ь-»- 0) из данного состояния й в процессе чистого размножения зависят в общем случае от номера состояния..Система уравнений (5.3) — (5.4) для процесса чистого размножения имеет вид Ро (1) = — Ь»Р» (1) Р» (1) = — Ь»Р» (1) + Л» »Р»-1 (1) й ) )1 Процесс чистого размноясения с одинаковыми Х» является процессом Пуассона.
5.2. Система массового обслуживания с потерями. Пусть требования, поступающие на п обслуживающих устройств, образуют пуассоновскей процесс с параметром Х. Время обслуживания любого требования любым устройство»1 имеет показательное распределение с параметром р и не зависит от работы других обслуживающих устройств н от поступающих новых требований. Если все устройства заняты, то вновь поступающее требование теряется. Число требований в системе $1 в момент 1 моноет принимать только значения О, 1, ..., п. Вероятность перехода системы из состояния Й в состояние Й за время Ь вЂ” » 0 отличается на о (Ь) от вероятности произведения независимых событий: (за время Ь не закончится обслуживание ни одного из Й требований) ( ) (за время й не поступит новых требований).
Следовательно, Р (ь»ол = Й ) »1 = = й) = (1 — рй + о (Ь))» (1 — Ц» + о (Ь)) + о (Ь), или Р Д„„=ЙД, =Й) =1 Рц,+Цй+.(Ь), О<й< <" п. Аналогично находим Р Д~м = Й + 1 ~ $~ = й) = )»Ь + о (Ь), р(е»1о» вЂ” — Й вЂ” 1($, = Й) = Й)»Ь+ о(Ь), 0(Й(п. Так же рассматриваются переходы из состоянийй = 0 и Й = и. Сравнив вычисленные вероятности перехода с (5.2), получим, что рассматриваемый процесс является процессом гибели и размножения сХ» = )» (й = О, 1,..., л — 1), Х» — — 0 (й ~ и), р» = Йр (1 ~( Й ~( и), р„= 0 (Й ) и, Й = 0). Для этого процесса система (5.3) — (5.4) имеет вид Ро (1) = — ХР, (1) + рР, (1), Р» (Х) = — ()» + Йр) Р» (Ю) + ХР» (1) + (Й + 1) р Р»о» (1), Ос, й(п, ! „(1) = — (Х + щь) Р„(1) + )»Ро 1 (М), 1 о) ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ 221 и Ро=( ~~~ — 6') !=о Р„= — „, О»Ро, 0~(йа,п, (5.5) где 0 = Лl)о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
