В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 36
Текст из файла (страница 36)
19. Заменить в задаче 17 реалиаацию бы..., 61» ва реаиизуцию этих величин, соответствующую равномерному распределению с Ааб~ — — О, 06; = 0,06. Выполнить, 'для новой реализации задание, указанное в задаче 17, 20. Пусть х, х„..., хгз — выборка, для которой Р (х» = 1) = = ры 1 = 1, 2, 3. Получить 10 реализаций этой вмборки с рг = = р)е> = 1/3, 1= 1, 2, 3, и 10 реализаций с рг= рн) = 0,40, 1 р, = р<П = 0,42, рз = р(Ы = 0,18. Для каждой выборки, используя наиболее мощный критерий, найденный в задаче 15, выбрать одну кз двух гипотез.
Для вычисления ошвбок 1-го и 2-го рода а и () использовать нормальное приближение. Выбрать а = 6. Найти частоты ошибок 1-го н 2-го рода. ГЛАВА 40 Элеиеиты теории случайпых процессов $1. Понятие о случайных процессах Случайные процессы являются моделями многих реальных процессов.
Два примера таких реальных процессов (работа телефонной станции и броуновское движение) обсуждались в т 1 гл. 1. Случайным процессом называется семейство случайных величин $, = $, (ю), заданных на вероятностном пространстве (И, %, Р). Параметр е обычно интерпретируется как время. Если е ч= (О, 1, 2,...), то говорят, что $е— процесс с дискретным временем; если же е ~ [О, Т)„то $~ — процесс с непрерывным временем. Действительную функцию $,(юе) при фиксированном юе называют реализацией или траекторией случайного процесса. Если фиксировать е = се, то $ь (ю) является обычной случайной величиной. Функция распределения Ре (л) = Р (Вс < х) задает распределение значений процесса в момент времени 1.
Зная только Р, (х) при всех е, мы еще ничего не можем сказать о зависимости значений процесса в какие- либо фиксированные моменты времени. Ввиду этого необходимо указать всевозможные совместные распределения Рць... ~ (хю яю..., к„) = Р ($ь < хы . „$ы < х„), (1.1) где О ~ тд < Це <... < 1„, я = 1, 2,... В гл. 5 мы пока- вали, что можно построить вероятностное пространство и определить на нем случайную величину с заданной функцией распределения.
Аналогичная задача построения подходящего вероятностного пространства для семейства случайных величин 3, с заданными распределениями (1.1) является значительно более сложной задачей и выходит за рамки настоящей книги (см. А. Н. Колмогоров [8)). В следующих параграфах мы опишем несколько типов случайных процессов и вычислим для них вероятности зов алименты теОРии случАЙных ЛРОцессов [гл. 10 отдельных событий. Тип процесса будет определяться свойствами, которыми должны обладать величины Построения подходящих вероятностных пространств, на которых можно определить $~ с заданными свойствами» приведены не будут. $ 2.
Пуассоновский процесс Случайный процесс $~ с непрерывным временем называется процессом с независимыми приращениями, если при любых 0 <», <»» «... »„, »», . „Г„к- =(О оо)» и = 1, 2,..., случайные величины В»о Ь, — В»о..., Ь„- В»„, независимы. Пуоссоновским процессом называется процесс ЕО удовлетворяющий следующим условиям: 1 $, — процесс с независимыми приращениями. 2'. При любых»,< ал з приращения $п — ~ь, $ь+,— — $и„одинаково распределены (однородность повремени), 3'.
5» (»о) = О, ю ~ (). 4'. При Ь -»- 0 Р (Вл = О) = 1 — ЛЬ + о (Ь), Р (Вл ~ 2) = о (Ь)» Ра„=1) =ЛЬ+о(Ь), О(Л( Число Л будем называть параметром пуассоновского процесса. Пуассоновский процесс е» можно задать на вероятностном пространстве (л), Н„Р), где множество л» совпадает с множеством ступенчатых функций, у которых имеются только единичные скачки, а моменты времени, соответствующие скачкам, не имеют точек накопления. Т е о р е м а 2.1. Если Ц~ — пуассоиовский процесс, тц РД~ — — Ь) = ( ) е-л», Ь=0,1,2, ь Доказательство.
Пусть»р~(х) = Мх — прон изводящая функция $О По условию 1' величины $»+л —,$„ $, независимы. Следовательно, ц»»л(х)=Мх» =Мх""-'"' =ц»(х)Мх'+ -'.. пулссоновский пвоцксо Так как по свойству 2'величины $»»ь — $» и $з — ь» ьь одинаково распределены, то Мх~»»ь ~» = Мх~ь в при Ь ->. С согласна 4' Мх"= 1 — ЬЬ+ хай+ о(Ь), (х(<, 1, Таким образом, »»»+ь (х) = »р» (х) (1 — ХЬ + хИ + о (Ь)), Отсюда ч»ьь( ) — о»(х) = — Х (х — 1)»г»(х) + о (1). Решение етого уравнения с начальным условием»(>» (х) 1 определяется формулой »р (х) = е».»»"-» = ~ ' „' с-"'х". %"-1 (Л»)" >»> з Полученная производящая функция является проиаводящей функцией распределения Пуассона.
Теорема доказана. Используя доказанную теорему, можно найти совместные распределения Е»,» ° °, $» при любых 8» с", ( 1„. Очевидно, что Д,=й», й»,=й»,...,$» =й„)= ь»»»-> — й»» й»»-» ) (2.1) где й» <, й» ~( ° . 4~ й„. Отсюда, учитывая независимость и однородность приращений, получим Р(й»,=й„...,й» =й„)= (х»,)" м (ь = — е >»»' »,-з, С» — »»)) ' м,, > (>»» — /»,]> ,»„-»„, и->»» -ь»» -» > »»-> ~»»->) (л (»„— (»» Переходя к пределу при фиксированном х и Ь ->.
С, получим »»»» ( ) = — Х(х — 1)»р,(х). гто елиминты тиовии слтчлиных пвопнссов;гл. »ю Ввиду условия 4' случайная величина г прн любом фиксированном 1 равна числу скачков траектории процесса $, на отрезке [О, г!. Рассмотрим теперь величины т„ (й = О, 1, 2,...), равные промежуткам времени между скачками, т. е. положим т» = 0„— О„„где 6» — момент й-го скачка траектории процесса (й = 1, 2,...), О, = О; Т е о р е м а 2.2. При любом и случайние величина т„ т„..., т„независимы и каждая иг них имеет покагап»ель нос распределение с параметром Х. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть О = те ( г» (... ( (Ц,иотрезки Л»=[с», г»+Ь»),Ь»)О(й=1,...,п) яе пересекаются. Так как: (Э~ Е= Ьп 8» Е= Л»,..., О„Е йк) = п = [) ((Ь» — »1», = О) [) (»е~».л» вЂ” тч „=1))г »=» то и к р ( [1 О» 0=п») = П (е ~('»-'»-РИ»е»г»)— ив = е ~'чй"с М'"+" ~"и'Ь;...
Ь = ~... ()р,, (г„..., г„)йе,, ..., бг„, е где Л = Л» Х... ~~ й„— и-мерный параллелепипед. Отсюда при й„..., й -~ О получим ~ РЕ Е (еи ~ » гч)йг» ° ° ° иге= г =Ь е Ь»...Ь„(1+о (1))„ в, следовательно, Ре ., е (г„..., г„) = е "Л", О ч. 1, ( 1» (... ( г„. (2.3) Для вычисления совместной плотности распределения величин (т„..., т„) = (б, (8„..., 0„),..., 6„(0„..., 8„)), где у» (О„..., 6„) = 0„— О„„воспользуемся теоре- мой 6.2 гл.5. ОтобРажениег„= У„(1,...,й») = т» — т»сю й = 1,..., и, взаимно однозначно, и якобиан этого отобра- жения равен 1. Кроме того, г„= г, + гг +...
+ г„. Отсюда и из формул (2.2) н (5.6.5) получим а рт, л (г»1 ° г~)=" е " = П Рц (г») и -Ца,+ "+в„> ГТ »-» гы вини овскни пгоцисс зз1 где р,„(з„) = Хе "'с зз ) О (Ь = 1,..., «). Теорема доказана. Поскольку траектория пуассоновского процесса определяется моментами скачков, то можно получить эквивалентное определение этого процесса, приняв независимые показательно распределенные величины тс, кз... „т„. зз промежутки времен между скачками.
3 3. Винеровский процесс В т 2 был рассмотрев процесс, в котором измененвя происходят скачками. Здесь мы определим процесс, имею- щий непрерывные траектории. Винеровским процессом называется случайный процесс асс удовлетворяющий условиям: 1'. $с — процесс с независимыми приращениями, 2'. При любых сс < С„з приращения Зс, — фс„фявс— — арсен одинаково распределены, 3'. $з (зс) = О, ос б- :П. 4'. При Ь-с. О. М$ь = ай + о (й), М ) $„)з = о (Ь)„ М$,', = Ьй + о (й), — оо < а < оо, О < Ь < оо, Т е о р е м а 3.1.
Если гс — винеровский процесс, то (м-аСР Р (з, т) = с ~ е юс с(и. )/2лЬс Доказательство Положим 7с(з) =Метис. Здесь аргумент характеристической функции обозначен буквой з. Пусть з фиксировано. Так же, как при доказательстве теоремы 2.1, найдем )с„ (з) = Сс (и) М Ва'З зсС = Б (3) Менял, По формуле (7.2.11) Ме" ь =1 + иМзь — — М$ь~+ 0()з(~М) ~ь(з).
Отсюда и вэ свойства 4' следует Ме'аз = 1+ ы(ай) — — ' + о(й). 212 . элвминты ТБОРии случАйных ПРоцвссов . (Гл. 10 Таким образом, )свь (0) = (1 + 10 (ай) — 2 + о (6)) 11 (е) 11+0(21 — 11() . в Ь = ((еа †, ) ),(.) + ( 1). Переходя в этом равенстве к пределу при Сс — с- О, получим с(СС(в) с. Ь 1 с Ьа — — )сс(е) 2) Отсюда, учитывая начальное условие (в (0) = 1, найдем Сы)вв св[ав) —— 11 (е) = е Полученная характеристическая функция величины $1 соответствует нормальному распределению с параметрами (ав, Ы).
Теорема доказана. Найдем совместное распределение величин Ксо ..., Ес . В силу теоремы 3.1 и условия 1' совместное распределение приращений т)„= Ес, — Есв, )с = 1, 2, ... ..., и Яс, = 0), легко выписывается. Тогда, используя равенства 21~ Ч1в ьсв Ч1 + Чсв Ес Ч1+ Ч2 + ' ' ' + Чвв получим Р(Ес,<" хс, Ес,(хс,..., Ес„(х,) = =Р(Ч1(хс, пл + Чс(хс,..., Чс+... + Ч„(х„) = вс 1" 2- с'2-'1-1 сс' =~'''~ П Е "2"-" С(ис...С(и„в с 1- 1)с 2зь (св с1,) где 6' = ((и„..., и„): и, < х„и, + и, ( х„... ..., ив+ив+... +ив(х„), $ 4.
Ветвящийся процесс Ветвящийся процесс — зто процесс размножения и превращения частиц, в котором частицы развиваются независимо друг от друга. Дадим определение ветвящегоср щз Внтвящиися пРОцесс процесса с дискретным временем. Пусть $»(1),й=1,2,..., п,...; 1=0,1,2,..., — независимые одинаково распределенные целочисленные случайные величины с общей производящей функцией ар(х)= ~х р. аа=а Величина $а (1) будет интерпретироваться как число непосредственных потомков частицы с номером Й, существовавшей в момент 1. Случайный процесс р„определяемый равенствами Е,(е)+ Ца(г) -)-... -)- Р.„,(е), если р,~~О, ра= 1, рьп —— если р, = 0 =О, называется ветвящимся.
Прн исследовании ветвящихся процессов часто используются производящие функции. Положим Ф, (х) = Мх"ц Отметим, что Ф (х) = х, Ф, (х) = ар (х). Так как р„, является суммой случайного числа независимых слагаемых, то, положив в теореме 1.4 гл. 7 ага, (х) = Фа„ (х), ар, (х) = Ф,(х), ара, (х) = ар (х), получим Фьы (х) = Ф, (~р (х)). (4.1) Это функциональное уравнение позволяет найти производящую функцию Ф, (х) при любом г. Нетрудно проверить, полагая 1 = 1, 2,...
в (4.1), что Ф, (х) = ар (аз (х)), Ф, (х) = ~р (ар (<р (х))),... Таким образом, Ф, (х) является г-й итерацией функции <р (х): Фа (х) = ар (ар (... са (х))...). Найдем А, = Мро Продифференцировав (4.1) по х, придем к соотношению ИФ (х) зФ д<~ йх ди а.а Последнее равенство, полагая х = 1 и а = А, = ~р' (1), можно записать в виде Аьы = А,а. Следовательно, А, = а', 2(4 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧЛИИЫХ ПРОЦЕССОВ (ГЛ. (Э Поведение А, при (-+. оо качественно различается в следующих трех случаях: а ( 1, а = 1, а ) 1. Если г -~ со, то при а ( 1 среднее число частиц стремится к О, А, = 1 при а = 1, и А, -ь оо в случае а ) 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
