В.П. Чистяков - Курс теории вероятностей (1115342), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Формулы (5.5) называют формулами Эрланга. Полагая в (5.5) й = и, получим формулу для вероятности потери требования. Эта вероятность является важной характеристикой системы обслуживания. 5.3. Ветвящийся процесс. Один частный случай ветвящегося процесса с непрерывным временем является процессом гибели и размножения. Предположим, что каждая частица независимо от своего прошлого и от поведения других частиц за время Й с вероятностью ЛЙ + о (Й) делится на две, с вероятностью )»Ь + о (Ь) погибает и с вероятностью 1 — (Л + р) Ь + о (Ь) не изменяется. Пусть 5~ — число частиц в момент времени С. Непосредственно проверяется, что при Й вЂ » 0 Р а„„= й + 1! 5, = й) = Лйй + ° (Ь)е Р ("Бее» вЂ” — й — 1 ( $с — — й) = )»йй + а (Й) е о (еь „„= й ~ В, = й) = 1 — (Л + )») йй + а (Й), й а О, Рассматриваемый ветвящийся процесс является процессом гибели и размножения с Л».
— — ЙЛ(й~ 0), )»» = й)» (й »0). Решение Р„(С) = Р (~, = й ~ $о = 1) системы уравнений (5.3) — (5.4) с начальными УсловиЯми Р ($о = 1) = 1, Р (зо = й) = 0 (й ~ 1) определяется формуламн а~ е Ла» (е — 1)+ 1 1 — (1+ ЛС) ' (а =О), Ро (С) = Ро (С) = Ю вЂ” (е — 1) а л 1 — — (е — 1) (ать О, й)1), Р» (С)— — ((е — 1) + 1)о Р„(С)=( ~Л,) (- — + — '~) (а=О,йр:1), где а = Л вЂ” )». Непосредственно проверяется, что эта система имеет сле- дующее стационарное решение: 222 влимниты гиогии случайных пгоцнссов.
(гл. ш Задачи и главе 10 1, Найти сот ($,, $,+,), если: а) $, — пуассоновский процесс е па аметром Ь; б) $з — вннеровский процесс с а О. р к а з а в и е. Воспользоваться независимостью' и однород- ностью приращений. 2. Доказать, что для любого промежутка времени тг Ог— — 8г;, где Ог — момент Ь-го скачка процесса Пуассона, выпол- няется равенство Р (тг > г+ х ( ть > г) Р (тг > 1). 3.
Пусть ч, ц;, пю... — независимые случайные величины, Р (ч Ь) = (ЬТ)ге !М; величины щ (1 = 1, 2,...) равномерно распределены на отрезке [О, Т). Обозначим $~ число величин пь удовлетворяющих неравенству тп < ц 1 = 1, 2,..., ч, если ч > О, и $з — — 0 при ч О. Найти вероятность ~ ™ Р ($С Ьп $6 — $Ь = "з Ьг $т $6 = Ьэ — Ьз) 4. Пусть р~ — ветвящийся процесс с дискретным временем) е (х) = Мхн' рхз + 1 — р. Найти: а) Ь = )(ш Р (р~ = 0), р > з а >1/2; б) В, Мрд (р, 1) и Ор~ при р 1/2. б.
Пусть р, — ветвящийся процесс с непрерывным временем, определенный в $5. Найти: а) дифференциальное уравнение для г" (ц х) М (х ' ( р, Ц; б) явное выражение для г" (ц х)1 в) А (Ф) М(р~(р 1). У к а з а н й е. Использовать формулу полного математиче- ского ожидания, рассмотрев возможные превращения начальной частицы аа промежуток времени (о, Ь). 6. Случайные величины $~ (Г 1, 2...,) независимы и Р ($, = 1) = Р, Р ($, = — 1) 1 — Р Ч. Положим Ч,+$, „если Ч,ЧЬО, ьм а, если гЬ=О, з=0,1,2,..0 т)е ° Ь. Найти: 1) вероятность того, что процесс гк когда-либо попадет в состояние О, если а = 0; 2) стационарное распределение вероятностей я~ = !!ш Р (тя = 1), если а = 1, д > р.
! <» 7. Пусть $, — процесс гибели и размножения, Положим тг = = М (т ( $е = Ь), 0 С; Ь ~ и, где т — время до первото достиженив состояния и. Найти: 1) математическое ожидание времени пребы- вания в состоянии Ь до первого выхода из него! 2) Вероятность того, что первым переходом иа Ь будет переход в Ь+ 1 (Ь вЂ” 1).
Составить систему уравнений для юг. 8. Марковский случайный процесс $, с непрерывным временем называют цепью Маркова, если множество его состояний конечно или счетно. Пусть $, — цепь Маркова о двумя состояниями (1 и 2) и при Ь- О Р($Ь=21$е= 1) иЬ+о(Ь), Р($ь = 1) $ = 2) = 6Ь-(-о(М. Найти РВ (1) = Р (Ц = ) ) $о — — 1), ц у = 1 2. 9.
Пусть тг (1), Ь = 1, 2,— суммарная длительность пребыва- ния в состоянии Ь за время 1 цепи Маркова, определенной в за- ВАДАЧИ К ГЛАВН ЗС 223 даче 8, Составить дифференциальное уравнение для !а (С ) = М (сеян'0 'ЦО)[ йс = А). 10. Найти !!ю М(т,(с) [Цс = в), где т, (!) определено в за! с- 7 даче 9. У к а з а н и е. Использовать формулу т,(с) = ~ 6 ! с(и, где и с 8, г = 1, 6ья = О. 1!. Движение точки по прямой управляется цепью Маркова 8о определенной в аадаче 8. Если $~ = 1, то точка движется вправо со скоростью сп а если $, = 2, то влево со скоростью сс. Пусть г)с— координата точки а момент с.
Найти 1пп М„(с, х), где 1 с Мг (С .т) = М (хи [ г)а = х, 4с = 4), А = 1, 2. У к а в а н и е. Составить дифференциальное уравнение для Ма (С х); испольаовать равенство Ма (С х) = х + Ма (1, 0). 12. Режить задачу 11, используя равенство в, = с,т; (!)— — ест, (!) + *, где сг (!) определены в задаче 9, и рещение авдачи 10. 13. Движение точки по прямой управлнется цепью Маркова $0 определенной в задаче 8. Если $, = 1, то точка движется вправо со скоростью с, а при $с — — 2 точка движется влево с постоянным ускорением а (при начале движения с ускорениям начальная скорость считается равной 0). Пусть хв — координата точки в момент ц Является ли процесс п,марковским! Составить интегральное уравнение дл- Мг (С х) = М (тй[ цс = х, $с = )с), й = 1, 2.
Найти 1пп М„(ц х). 1 с-- 7 У к а а а н и е. Испольвовать равенство Ма(с, х) = х+ Мг (ц 0). 14. Пусть Ц~ (! =... — 2, — 1, О., 1, 2,... ) — последовательность независимых случайных величин с М$, = а, 0$, = аз. Положим гя = сД~ + ссй~, + сД~ с, сс + сг + с, = 1. Найти я!Чп 0т)п сот (т),, с) ). Проверить, что сот (г)ср ц~ ) = В ( [ г, — г, [ ), 16. Пусть тй — процесс, определенный в задаче 14. Положим * * с а~ = (т), + т)з +...
+ хя)П. Найти Ма, и 0ас Является ли а несмещенной и состоятельной оценкой а! !6. Пусть тя — процесс, определенный в задаче 14. Покавать, что Ва (А) = ~ ~ (г), — ае) (с), „— ае), В = О, 1, 2, является асиз; сан тотически несмещенной оценкой В (А). !7.
При ! = 1, 2,, 100 получить реалиаацию процесса цп определенного в вадаче 14, если 5, распределены равномерно на отрезке [ — 1, 1[. Значения получить с точностью до 0,01, По реаливации вычислить оценки а~ и В, ()с], определенные в вадачав 15, 16. Сравнить с теоретическими, ТАБЛИЦЫ с о 1с' и< ~Ь' 6 и Я м $ в к Я а сС сс о щ сб ОСб С-О аОСЧМО О бС-В бМмОС ллч' с-счч'лммсчм с- ч лйоо сбс- сбсбсчлсб сбосбо сб с лос с'4 сб 'с' ч' о о о о оо о лсб о ч ос-сбо бсб о с-сч:а ол ба оса эо счосасб ооосчсбсчасса сбс ч'сО ' бсб сс бсбо сб с боос о сч м '4' о о о о а.
алмос-о с сбос оос счсблосбо с='с'-оло бээос- ° с-омч о сч сбл сч лоло ч'с осблс ас сч с'мосас о сч сб ч" о о о о о':аос'ссб ч б' осч оо бсбоо ммссос-счло б бс осбс-о ооб б Ыоо с с ом бс о счч лоосса с'4 с.б 'ч В.=-. = с з ' мм .б с ° л л ома омЫ. ° м!чмасмм" с . а оос ч .мс о с омлс о счсбллос о о о о ос-са оч. м с с саоло чл сб а б с мо бЬоооойсчолсооос-м ломс-омс малс ооасмч лос сч о о О ос-о:б а с-сбс-ы бмс сч ао с мч сс сч сбба бс-оммоосомс.сосоосФ ломоомооя.ас оомсб.с босс' о о о о о о."а лсбл мосс-олове- моча 6. '.-':.= -. ===.- с-с. ° счмм . омйоЫлс-' м ч'мбсоосбоббм а сбомсбч'ло~ о о о о осбссс о оос лоос лсбч Фас 'с мРъ ас ба сбсб а а'с о'4 сааб с оч мсчлосчоо саосоомсбч ласс'4 б б о о о о Оммолл~ О ассбмасмсссссч ч' сб 8 во с-л лсасб б':ач Ысбсбллч ' омс- лосчлсб ч всоо сбч лос- ю.
Ы м мл о о о о О с4мч ло~ само счсб'с )ой саас а оооооооооо тлвлицы Рнепределевие Сть10девта Вваченвя фувнцвв е Функция е„е определяется равенством Р (1т4 < та „) 1 — 2а, где случайная величина т„имеет распределение Стьюдевта с л степенями свободы, Плотность распределавия т„ равна Таблица 4 о,ез о,еа одо 3,365 4,032 2,571 ,015 3,143 3,707 2,447 ,943 3,499 2,365 ,895 3,355 2,896 2,306 3,250 2,821 2,262 ,833 2,228 ,812 3,169 3,055 2,681 2,179 ,782 2,977 2,624 2,145 ,761 2,120 2,878 2,552 2,101 ,734 2,528 2,845 , 725 2,819 2,508 2,074 2,457 2,042 ,697 2,576 2,326 1,960 ТАБЛИЦЫ 228 710-расцроделеиие Зиачеиия фуияцяи 2~» ФУнкЦиЯ Х~ опРеДелЯетсЯ Равепствоч Р (5$ > Х„ м) = а, 2 2 где случайиая величина у. имеет Хмраспределеиие с т степеыями свободы.
Плотность распределения у раева г н х 1 — — ! рг(х$= х' е Г Я) 2"ч' х О. Табанил 0,02 0,0! 0,00 0,$0 0,05 0,005 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $4 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0,00016 0,020 0,115 0,30 0,55 0,87 1,24 1,65 2,09 2,56 3,! 3,6 4,1 4,7 5,2 5,8 6,4 7,0 7,6 8,3 8,9 9,5 10,2 $0,9 1$,5 2,7 4,6 6,3 7,8 9,2 10,6 12,0 13,4 14,7 16,0 !7,3 18,5 19,8 21,! 22,3 23,5 24,8 26,0 27,2 28,4 29,6 30,8 32,0 33,2 34,4 3,8 6,0 12,6 14,1 $5,5 16,9 18,3 19,7 21,0 22,4 23,7 25,0 26,3 27,6 28,9 30,1 31,4 32,7 33,9 35,2 36,4 37,7 5,4 7,8 9,8 11,7 13,4 15,0 16,6 18,2 19,7 21,2 22,6 24,1 25,5 26,9 28,3 29,6 31,0 32,3 33,7 35,0 36,3 37,7 39,0 40,3 41,6 6,6 $1,3 13,3 15,1 $6,8 $8,5 20,! 21,7 23,2 24,7 26,2 27,7 29,1 30,6 32,0 33,4 34,8 36,2 37,6 38,9 40,3 4$,6 43,0 44,3 7,9 1$,6 12,8 14,9 $6,3 $8,6 20,3 21,9 23,6 25,2 26,8 28,3 29,8 3! 32,5 34 35,5 37 38,5 40 41,5 42,5 44,0 45,5 47 та плицы Р-распределение Значения ФуиизЗин ие н ч функция р определяетсяравенствомр( еь фь~ и!!ь,!ь =а, где случайная величнна г" имеет Г-распржеделеииесе,ил» «,», степенями свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
