Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Адиабатические движения в атмосфере Если Т и р — температура и давление воздуха, то уравнение состояния имеет вид где у — отношение удельных теплоемкостей воздуха, равное примерно 1,4, а коэффициент йо постоянен для данного элемента жидкости и остается таким во время движения, хотя в стратифицированной жидкости и меняется по пространству. Определим потенциальную температуру 6 и обратную ей величину т соотношением (1.6.3) где р! — стандартное давление, принимаемое обычно в практической метеорологии равным !000 мбар, что в среднем соответствует давлению на уровне моря.
Приведенное давление в определяется соотношением (1.6.4) и, таким образом, мы приходим к уравнению ! ! — йтаб р = — ягаб м. (1.6.5) Поскольку молекулярная вязкость играет пренебрежимо малую роль в атмосфере (за исключением явлений очень малого масштаба, таких, как обтекание дождевых капель, капельных облачков, падающих листьев и т. п.), уравнение движения (1.3.29) приобретает вид лт — =а — — ягаб м, к! (1.6.6) р=Дрт, (1.6.1) где Й вЂ” универсальная газовая постоянная (не следует путать ее с модулем К, который обычно обозначается через () или, некоторыми авторами, через 5).
Для адиабатических процессов давление и плотность связаны соотношением р = йорт, (1.6.2) 45 основные чтхвнения а уравнение для вектора завихренности (1.4.1) преобразуется в уравнение —,г — — — гв г(1ч ч + (ы . йтнб) ч + й Х (д — 1), (1.6.7) 1.7. Уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости в стационарном движении Для невяэкой жидкости уравнение установившегося движения имеет вид птаг( '/звт — ч Х гв = — вагаб дх — — Огай р, (1 7 1) где ось х направлена вертикально. Если теперь подставить — нгаг( р = нтаг( — — р игаб —, или (см.
(1.6.5)1 1 р 1 Р Р 1 м 1 — нгаг( ы = угад — — е нгаг( —, т т (1.7.2) то получается уравнение пгаг( ~'/,ф + — + уз) — ы йтаг( — = ч )( ы (1.7.3) и соответствующее уравнение, содержащее р и р, которое мы используем в конце раздела. где теперь Й=(1/т) штадт. Таким образом, при рассмотрении движения воздуха, который представляет собой сжимаемую среду, часто можно использовать результаты, полученные для несжимаемой жидкости, включая и те, которые относятся к завихренности, просто подставляя т вместо р. В тех случаях, когда давление не удается исключить из уравнения, можно заменить р на в.
Однако этого делать нельзя, если действуют существенно неадиабатические механизмы. В случаях, когда вязкость играет важную роль, такая замена не предусматривалась, поскольку мы обычно не рассматривали сжимаемые жидкости. Эта простая замена символов учитывает тот факт, что при вертикальном перемен(ении воздух меняет свою температуру, так как давление меняется вследствие изменения плотности воздуха под действием его собственной тяжести. Однако при этом необходима некоторая модификация уравнения неразрывности, она будет рассмотрена в гл.
5 (уравнение (5.7.6)]. ГЛАВА 1 46 Пусть первоначально (т. е. где-то выше по течению) т постоянно вдоль линий тока и. вихревых линий. Это означает, что существуют изэнтропические поверхности„содержащие оба типа этих линий тока. Для несжимаемой жидкости это соответствует постоянной плотности на линиях тока н вихревых линиях. В таком случае члены ч-дгас1 (1/т) и гв огай (1/т) исчезают. Написав ВН= lзч~+ —, + ах* (1.7.4) из (1.7.3) получим у . ягаб (дН) =ю пгаб (йН) =О. (1.7.5 дгас1(йН) = ч Р, е, (1.7.6) т. е.
дН постоянно одновременно вдоль вихревых линий и линий тока, Так как дН необязательно постоянно по всей массе жидкости, то в этом случае всегда существуют поверхности Бернулли и каждая линия тока определяет некоторую поверхность, а именно ту, которая содержит все вихревые линии, проходящие через нее, и наоборот. Таким образом, любая линия тока, пересекающая одну из вихревых линий, проходящих через заданную линию тока, должна пересечь все такие вихревые линии, Это положение не выполняется в том случае, когда завихренности нет вообще или когда уН постоянно для всей массы жидкости. Для хорошо перемешанной жидкости т постоянно, так что давление может быть выражено через р 1см.
Следствием (1.7.5) будет то, что дН постоянно вдоль вихревых линий и линий тока и поэтому постоянно на поверхностях, содержащих эти линии. Такие поверхности мы назовем поверхностями Бернулли. Предположение об изэнтропических поверхностях существенно для атмосферы (и по тем же причинам для океана). В тех случаях, когда неприменима изопикническая теорема, т. е.
вихревые линии не лежат на изэнтропических поверхностях и не стремятся совпасть с ними в будущем, движение будет почти наверняка нестационарным, и из факта постоянства аН не удается получить какого-либо полезного результата. Теорема Бернулли применима только для обратимых течений, поскольку она по-существу является утверждением о сохранении энергии и, следовательно, не верна при описании течений вязкой жидкости. Классическим результатом применения этой теоремы для жидкости постоянной плотности, когда афтаб т=атаб р=0„является 47 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ рассуждения, следующие за формулой (1.1.16)1, и в этом специальном случае — йтайр=йтай ~ — ~; (1.7.7) Р таким образом, выражение ВН= (ЯУ + ~ — ~+вг (1.7.8) будет постоянным на поверхности Бернулли.
Этот хорошо известный случай, который можно найти в любых элементарных учебниках, широко используется в теории нестратифицированных сжимаемых жидкостей. Если движение является также безвихревым, то правая часть (1.7.6) становится равной нулю и уН будет постоянным по всей жидкости. Кроме того, если течение нестационарное, но безвихревое, можно написать у=цгада, и тогда уравнение движения приводит к выражению уН='1,д'+ ~ — +у + — =сопз1, ер ат Р дР (1.7.9) справедливому для всего объема жидкости. Эти выводы не относятся к течениям стратифицированных или всплывающих масс жидкости, так как их существенной особенностшо является наличие значительной завихренности.
1.8. Статическая устойчивость Потенциальная температура, определяемая выражением (1.6.3), может быть записана в виде (1.8.1) Коэффициент статической устойчивости определяется как обус. ловленная архимедовой силой восстанавливающая сила, которая действует на единичную массу жидкости, смещающуюся адиабатически на единичное расстояние в вертикальном направлении. Этот коэффициент положителен, если сила имеет направление, противоположное смещению. В несжимаемой жидкости он равен — (д/р) (др(дг), поскольку бр представляет собой приращение плотности, разное бг(др/дг).
Поскольку для газа коэффициент расширения равен 1/Т, коэффициент устойчивости может быть выражен через изменение потенциальной 48 ГЛАВА 1 температуры. Таким образом, коэффициент статической устойчиаости равен ар- — — — = — — = — —, К д~ 8 да я дао де 6 де таа де (1.8.2) причем производные берутся для невозмущенного статического состояния. Величина 6! положительна, когда потенциальная температура возрастает с высотой. Температурный градиент, при котором восстанавливающая сила равна нулю, а смещаемый объем жидкости, испытывая адиабатическое расширение, остается неотличимым от окружающей среды, называется адиабатическим.
Он получается при совместном решении уравнений (1.6.1) и (1.6.2) с уравнением гидростатики (1.!.5). Исключив р и р и дифференцируя, чтобы найти дТ)да, получим выражение (т — !) к де тй (1.8.3) которое представляет собой константу, определяемую ускорением силы тяжести и свойствами воздуха. Для земной атмосферы на уровне моря эта константа равна 9,86 К/км и может приниматься равной 1 К на 100 м по всей толщине атмосферы с достаточной для практических целей точностью.
Поскольку вертикальный адиабатический градиент не зависит от температуры, зто означает, что если атмосфера обладает нейтральной стратификацией, а у поверхности земли температура воздуха составляет около 300 К, то на высоте 30 км должен был бы достигаться абсолютный нуль температуры. Радиационное равновесие между Землей при'300 К и космическим пространством, имеющим температуру ОК, должно наступать при Я(300)') и'К, т. е. примерно при 250 К, в соответствии с законом Стефана — Больцмана, так что можно заключить, что атмосфера сильно стратифицирована, а температура в стратосфере на высоте 30 км, возможно, доходит до 250 К.
Градиент, при котором воздушная масса при подъеме в стратифицированной атмосфере испытывает адиабатическое охлаждение, будет почти таким же, как в случае хорошо перемешанного атмосферного слоя или слоя с безразличной стратификацией. Разница получается вследствие того, что применительно к выражению (1.8.3) под р понимается не плотность самого перемещаемого элемента, а плотность окружающего воздуха. Однако на практике эта разница не играет особой роли в силу наличия иных погрешностей. Таким образом, объем воздуха не может быстро сместиться в окружающей среде без возникновения разности температур, вызывающей перемешивание, не считая случая, когда причиной такого смещения яв- основные кгхвнвния ляются волны; в последнем случае вызванные волнами вариации давления малы по абсолютной величине. Поэтому с практической точки зрения мы не сделаем большой ошибки, если во всех случаях будем считать, что не испытывающая перемешивания с окружающей средой вертикально поднимающаяся воздушная масса будет охлаждаться на 1 К через каждые 100 м.
В дальнейшем нам понадобится выражение для плотности перемещаемого элемента. Если рп — его первоначальная плотность, то для адиабатического вертикального перемещения ь соотношение (1.8.4) выполняется точно, а выражение т т+Гг (1.8.5) соблюдается приблизительно. Следовательно, имеем 1 г г „, =(1+ т г~ = 1+ (т — П т "= К К ЯТ 2 =1 — — ~=1 — — ~ (1.8.6) где с =(1/гТ) '* (1.8.7) — скорость звука, приблизительно равная 316 м/с. Приближенная формула (1.8.6) пригодна при условии 0,3+С«1, (1.8.8) левая часть которого задается отношением первого отброшенного члена к последнему используемому. Условие (1.8.8) требудет, чтобы для смещения ь выполнялось неравенство ~«30 км, и поэтому оно заведомо применимо для вертикальных смещений порядка -3 км, которые в свою очередь больше вертикальных расстояний, для которых в подавляющем большинстве практических ситуаций возникает необходимость применять формулу (1.8.6).
Обычная концепция статической неустойчивости заключается в том, что архимедова сила действует в направлении перемещения, вызывая тем самым ускорение в этом же направлении, Эта теория ойисывает поведение всплывающих частиц. Полезно выразить ту же концепцию в терминах ГЛАВА 1 где й — компонента вектора завихренности в направлении оси х, предполагаемая горизонтальной, а !р — угловое смещение локальной вихревой трубки относительно оси х. Трубка имеет угловую скорость !Я; это означает, что ар лхт (1.8.10р Здесь Я= — 8=(1г!т) (дт/дг) обозначает абсолютную.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
