Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ниже мы воспользуемся этим соображением. При задании скорости деформации и вращения жидкости относительно частицы, находящейся в данной точке, с помощью девяти производных компонент скорости мы не накладывалн ограничений на то, какого рода движение мы собираемся рассматривать, кроме того, что оно должно быть непрерывным и дифференцируемым. Но если предположить, что йапряжения в точке зависят только от этих компонент, то из этого следует, что они определяются ситуацией в ближней окрестности точки, а не явлениями, происходящими на удалении.
Таким образом, подразумевается, что скорости деформаций не меняются существенным образом в пределах области, в которой происходят явления, определяющие деформацию. Другими словами, мы пренебрегаем любой зависимостью от пространственных производных скорости выше первого порядка. Это предположение ГЛАВА 1 28 может оказаться неверным, если первые производные значительно меняются на расстоянии средней длины свободного пробега молекулы. Например, течение вокруг метеора в верхней атмосфере может быть описано неверно, поскольку размер метеора может быть меньше длины свободного пробега.
Чтобы уравнения, которые мы выведем, были в достаточной мере универсальны, величины еи ие должны быть малы, и предположение об их линейной зависимости от напряжений следует дополнить подобными же допущениями относительно производных напряжения, а также считать, что все составляющие взаимно независимы. Мы будем предполагать также, что жидкость изотропна; это означает, что1 у жидкости отсутствуют свойства, зависящие от выбора направления. Поскольку мы будем изучать стратифицированиые жидкости, будем полагать, что градиентное движение и градиенты плотности слишком малы, чтобы влиять иа линейность соотношений.
Это приемлемо, если напряжения возникают на молекулярном уровне, поскольку на расстояниях, во много раз превышающих среднюю длину свободного пробега, стратифицированность не проявляется. Там, например, где сильно нагретая напорная струя втекает в холодную среду, в действительности могут быть очень большие температурные градиенты, но при этом предполагается, что уравнения остаются справедливыми за счет допущения об изменении вязкости в зависимости от температуры без какой-либо локальной анизотроции.
Эти допущения неприемлемы в тех случаях, когда турбулентное движение настолько сложно, что о прямом применении этих уравнений не может'быть и речи. Для случая изотропной жидкости удобно вести описание течения относительно главных осей скоростей деформации, обозначив их ОХИ. В этих координатах его = еах = ехт = О. (1.3.6) Переход от системы координат Охуа к системе ОХИ задается тремя компонентами, которые выбираются таким образом, ))тобы удовлетворять уравнениям (1.3.6).
В результате скорости деформаций будут полностью выражаться через растяжения или сжатия вдоль этих осей. Тогда напряжения ри в соответствии со сделанными предположениями будут определяться уравнениями вида рхх = — р + '~зА(ехх + етт + его) + 1Аехх, (1.37) где зависимость рхх от е„т и езз симметрична вследствие изотропности. Символ рн представляет компоненту результирующего напряжения в направлении (, действующую на единичную ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ площадку, перпендикулярную направлению 1'. Для главных осей напряжений рхг = ргх = рхт, (1.3.8) и эти оси должны, из соображений изотропности, совпадать с главными осями скоростей деформации. Таким образом, требуется только два коэффициента вязкости; один, )., для определения дивергенции, поскольку е11=2б)чч, и другой, р, для определения эффекта растяжения. Член — р появляется в уравнении (1.3.7), поскольку известно, что в отсутствие движения существует напряжение, которое мы называем нормальным давлением.
Отрицательный знак показывает для определенности, что напряжение положительно, когда оно является растягивающим. Если оси Охуг имеют направления, определяемые единичными векторами 1, щ, и, изменяющимися от точки к точке относительно главных осей деформации ОХИ, и если 21 — скорость жидкости, отнесенная к ОХИ, то 1 ди екк= дк =(1 ' йтаб)(1 '%= д д д =1,11 дХ + 12 д1, + 12 д~)(1~(7+72~ +12)"') = 2 дУ 2 ди а'дЖ' — 11 дХ + 12 тУ-+ 3 дХ = (1!ахх + 2ЕУУ + (зегг) ! 2 2 (1.3.9) поскольку д1к д%' еуг= —, + — „=О, д2 дк (1.3.10) дО ехх=2— дХ и так далее в соответствии с определением главных осей.
Поскольку оси ортогональны, то 11 + 12 + 1з = 1, (1.3.1 1) так что 2 61Ч Ч = Е„„+ Е„„+ акк = ЕХХ+ Ечт+ Егг (1.3.12) и ЕУ~ д + д (зп йтаб) (и ' 11) (п ' втаб) (зп ' 11)— дзи дч = т,лгзхх + тзлзеуу+ тзизегг (1 3.13) ГЛАВА ! в силу соотношения (1.3.10). Аналогичные уравнения имеют место и для е„и еаю При получении всех этих соотношений мы положили равными 0 пространственные производные от компонент векторов 1, ш и и. Это было сделано потому, что, хотя они и меняются от точки к точке с изменением главных осей, мы рассматриваем производные относительно только двух систем координат„ определенных в данной точке и в данный момент времени. рау +бу — р,„ Х д дг~ "а д уууррр бт — рис д Рис. 1,З.З.
Напряжения, действующие в жидкости на грани элементарного пря. моуголвнога параллелепипеда со сторонами Ьх, бр, Ьа и саэдающие ненулевой момент относительно оси Ол. На рис. 1.3.3 изображен прямоугольный параллелепипед со сторонами бх, бу и бг, один из углов которого находится в начале координат.
Все напряжения с ненулевым моментом относительно оси Ох обозначены и показаны приложенными к серединам соответствующих граней параллелепипеда. Величины моментов вычислены в предположении, что все силы распределены равномерно по поверхности, на которую они действуют, и что изменение этих сил также равномерно. Поэтому члены, содержащие степени приращений бх, бу и ба и производные выше первого порядка, опущены как малые величины.
Две силы, обозначенные двойными стрелками, создают относительно оси Ох момент, в этом приближении равный — раа бх бу ба+ р,„бу бг бх, поскольку все остальные члены в выражении для момента будут более высокого порядка. Указанные члены являются про- З1 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ изведением сил, площадей, на которые эти силы действуют, и расстояния от этих площадей до оси Ох.
Сумма всех моментов равна моменту инерции, умноженному на угловое ускорение параллелепипеда. Момент инерции имеет порядок массы параллелепипеда, умноженной на квадрат линейных размеров, т, е. (бх)а. Поскольку угловое ускорение обязательно конечно, а величина (!.3.14) имеет порядок (бх)а, то величина суммарного момента должна быть равна О, иначе ускорение стремилось бы Рис.
1.ЗА. Силы, дейстаующие иа эленеитариын тетраэдр ОА ВС. Наарааленне Ол перпендикулярно плоекоетн ЛВС к бесконечности при стремлении к О размеров рассматриваемого параллелепипеда. Следовательно, (1.3.15) Рра = Рли и подобным же образом Рта= Р Рка = Ра ° Эти же зависимости по аналогичным соображениям справедливы для упругого твердого тела.
Чтобы связать полученные выражения для напряжений с аналогичными выражениями, отнесенными к главным осям, рассмотрим силы, действующие на элементарный тетраэдр (рис. 1.3.4), вершины которого расположены в начале координат и в точках А, В, С на осяае ОХИ, причем плоскость АВС перпендикулярна направлению Ох. Поскольку силы пропорциональны площадям, на которые они действуют, т. е. квадрату линейных размеров, а импульс пропорционален массе, т. е. кубу линейных размеров, результирующая сила должна равняться О; в противном случае бесконечно малый тетраэдр должен 32 ГЛАВА ! испытывать бесконечно большое ускорение. Следовательно, составляющие в направлении Ох находятся в равновесии, так что РгзАВС = 1!рххОВС + 12рууОСА + !зрггОАВ, (где АВС, ОВС и т.
д.— площади соответствующих треугольников), а поскольку ОВС=1,АВС и т. д. (Где 1ь 12, 1з — направляющие косинусы и 11+12+1з =1), то 2 2 2 Рз.*= 1~Рхх(- 12РГГ+ 1зргг, (1,3.16) и с учетом (1.3.11) Р**+ Рзз+ Р * = Рхх + Ртт + Ргг- (1.3 17) Последний результат означает, что можно ввести величину, которая называется средним давлением, а именно Рт = lз(ргх + Рзз + Рт) ° (1.3.18) Эта величина инвариантна в любой системе координат..
Силы, действующие в направлении Ог на тетраздр, изображенный на рис. 1.3А, также находятся в равновесии, так что Р„,АВС = а~РххОВС + лзРГГОСА + лзР ггОАВ, т. е. Р, = 1~л~рхх + 12лзрк2 + !злзргг. (1.3.19) Соотношение (1.3.7) между напряжениями и скоростями деформации может быть переписано в виде рхх = — р + А б(чч + рехх.
(1.3.20) Отсюда и из подобных же выражений для ртт и ргг теперь можно получить соотношение между напряжением и скоростью деформации в первоначальных координатах Охуг, Уравнения (1.3.9) (1.3.16) и (1.3.20) дают р = ( — р + Х 01ч и) (1~~ + 12 + 1з) + р (1,ехх + !зегг + 1зегг) = = — р+ А б1ЧЧ+ 12Е„„. (1.3 21) Поскольку оси перпендикулярны, т. е. скалярное произведение 12лз — — О, подстановка (1.3.20) и (1.3.19) и использование (1.3.13) приводят к Рхз = Реза. (1.3.22) Уравнения (1.3.21) и (1.3.22) дают зависимость напряжений рн от скоростей деформации еи, выраженную через два коэффициента вязкости, которые являются физическими свойствами ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ркк = — Р— Чз!г б !у у + р.е„„, Руг= Раук (1.3.24) или РЫ = — ЯЫ (р + У!з!г б!уч) + !Аемг).
(1.3.25) Теперь можно получить уравнение движения жидкости, приравняв полную производную импульса для единичного объема сумме сил, действующих на этот единичный объем. Таким образом, имеем г!Р~ д 0 — = ЯР~+ — Рц, д! дхг (1 3.26) где à — массовая сила, пропорциональная массе. В нашем случае Р=д. жидкости и имеют размерность 7УТ '. Теперь с использованием (1.3.13) среднее давление запишется в виде Ргг= Ь (Ркк + Руу + Ргг) = = — '/а ] — Зр + 3) б Вт у + !г (е„+ е у+ е„)] '= = Р— () + Чз!А) 6!У Ч. (1.3.23) Величина р, которая вы!бе была названа нормальным давлением, является одной и той же для компонент напряжения в каждом из уравнений (1.3.7) из-за предположения об изотропности жидкости.
Когда дивергенция скорости равна О и плотность не меняется, Р =Р. Не существует способа найти какое-либо различие между р и р в любой ситуации, когда Й!чу~О, если только коэффициент А+У/зр не является большой величиной. Хотя р =Р, когда движения нет, отсюда не следует, что эти величины обязательно всегда равны, поэтому Р и было определено в (1.3.7) как константа. Сейчас мы вывели соотношение (1.3.23), и некоторые авторы делают логическую ошибку, утверждая, что давление р всегда то же самое, что и р , поскольку его нельзя определить иначе, как указав способ его измерения, отличающийся от способа измерения р .
Для определения величины ) +у/з!А нам необходим либо эксперимент, либо теоретические соображения. Кинетическая теория показывает, что величина 1+у!а!А равна О, когда молекулы занимают пренебрежимо малую часть всего объема, и хотя этот довод неприменим для жидкости,' это не играет роли, поскольку тогда же очень мала и 6!Уч.
Не было предложено какого-либо способа измерений величины А+У(зр. Поэтому обычно теорию развивают в предположении, что эта величина равна О и что напряжения и скорость деформации связаны со- отношениями ГЛАВА 1 Подставляя (13.25) в (1,3.26), получим р — = рР! — -3 — — /з — (р йч ч) + — (реп). (1.3.27) Нч! др з д д д! х! дх! дх! В случае, когда вязкость !х одна и та же для всех точек жидкости и, следовательно, постоянна в последних двух членах, можно написать п=(А(р и получить дю 1 др 2 д дп( д (ди! дч!) — = Р,.— — — — ')зч — — + ч — ~ — + — (. (1.3.28) р дх! дх! дх! дх! '! дх! дх!,( ' Величина ч называется кинематической вязкостью, поскольку относится к движению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
