Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Величина р называется динамической вязкостью и может быть определена как сила, которая при течении с напряжениями сдвига, по модулю равными единице, действует на единичную площадку в направлении сдвига. В случае плоского движения, в котором ьч меняется в нацравлении (, сила равна (А(дьч(дх() и ориентирована в направлении ю'. Если эта сила в свою очередь изменяется в направлении (, то она порождает силу, действующую на единичный объем в направлении 1 и равную (д(дх!) р(дп!/дх!) [или (х(пап!/дх(), если !х постоянна по пространству!.
Это наиболее важный аспект влияния вязкости на движение, обусловленный изменением тангенциальных напряжений от одной точки жидкости к другой. Указанная сила равна О, если градиенты скорости линейны. Часто считается, что в турбулентном течении вихри порождают эффект, подобный эффекту молекулярной вязкости, ио большего масштаба. Однако если предположить, что (А представляет собой турбулентную вязкость, то следует использовать уравнение (1.3.27), а не (1.3.28), поскольку коэффициент обычно меняется в жидкости от точки к точке.
В частности, горизонтальное течение воздуха иад землей имеет пограничный слой, в котором и градиент скорости, и степень турбулентности убывают с высотой, причем в одних случаях более важно изменение первой из этих величин, а в других случаях — второй. Применение данной теории к турбулентным течениям должно производиться с большой осторожностью, поскольку турбулентность, как правило, не изотропна, так что предположения, на которых основываются выведенные уравнения, обычно не выполняются. Это не так существенно, когда скорость всюду имеет одно и то же направление, скажем х, а ее величина изменяется только в каком-нибудь одном, например вертикальном, направлении, т. е.
г. Уравнение (1.3.28) может быть переписано в следующей форме: — = Š— — цгаб Р + тЧ'ч + '(зх 8таб (б 1ч ч), (1.329) дГ р 35 основныа чглвнения Это уравнение Навье — Стокса. Оно применимо для движения жидкости с однородными изотропными свойствами вязкости, когда напряжение мгновенно,и линейно зависит от скорости деформации. Без вязких членов это — классическое уравнение для невязкой жидкости, а именно уравнение (1.1А). Наиболее важные для практики вязкие члены уже были упомянуты, а именно те члены, которые порождают тангенциальные напряжения, такие, как ч(д»о/дх») и ч(дзш/дхз), которые представляют собой силы, обусловленные переменными градиентами в направлении х для у-и и г-й компонент скорости и действующие на единичный объем жидкости в направлениях у и г.
Эти силы действуют таким образом, чтобы «выпрямить» профили скорости, и исчезают, когда профили линейны. С последним членом в (1.3.29) мы не будем особенно часто встречаться в этой книге, поскольку мы едва ли будем рассматривать какие-либо ситуации, когда д(чч не мала, или, более того, имеет значительный градиент в случае, когда вязкость ч не пренебрежимо мала или ее турбулентностный эквивалент известен с некоторой ошибкой. 1.4. Уравнение завихренности Рассмотренная в равд. 1.1 теорема Кельвина о минимуме кинетической энергии гласит, что из всех течений, удовлетворяющих условиям на заданных твердых границах, безвихревое движение обладает наименьшей кинетической энергией. Более того, оно является единственным и возникает при ударном воздействии границы на жидкость. Если жидкость уже обладает некоторой завихренностью, то ее кинетическая энергия будет больше, но наличие завихренности не увеличивает перенос жидкости. Можно считать, что безвихревое движение переносит массу, а завихренность — кинетическую энергию, причем часто в форме турбулентного процесса, который, впрочем, может и не реализовываться в некоторых случаях.
Так, если воду в сосуде помешать ложкой и жидкость будет продолжать движение после того, как ложка вынута, то это значит, что данная масса воды' приобрела некоторую завихренность, поскольку в покоящемся сосуде безвихревое движение отсутствует. Это рассуждение применимо только к несжимаемым жидкостям постоянной плотности. Когда плотность меняется, движение, устанавливяющееся от удара со стороны границ, содержит завихренность, а если жидкость сжимаема, в ней возникают волны. В процессе распространения волн происходит внутренние движения, которые не могут быть однозначно определены движением границ в данный момент.
Мы не будем рассматривать глава ~ распространение звуковых волн, но обратим внимание на механизмы, создающие завихренность и сопутствующие ей явления. В молочной бутылке возникает сложное движение, если вращать ее ладонями попеременно в противоположных направлениях; движение воздуха в автомашине, резко поворачивающей за уюл, начинается как безвихревое, но скоро усложняется и воздух (как и молоко в предыдущем примере) начинает перемешиваться. Перемешивание достигается только вследствие возникновения завихренности.
Вода из конического стакана (или любого другого сосуда с крутыми стенками) может расплескаться при быстром вращении без изменения ориентации стакана по малому кругу в горизонтальной плоскости. В результате такого движения стакана во вращение приходит вся масса жидкости. Для эксперимента с передачей вращения жидкости очень подходит графин или химическая колба. В соответствии с теоремой Кельвина о циркуляции вращение не может быть сообщено жидкости за счет движения границ, тем не менее в рассматриваемом эксперименте при вращательном движении сосуда возникает видимое вращение жидкости. Встряхивание и вращение колбы является излюбленным приемом у химиков, проводящих титрование при интенсивном перемешивании жидкости, когда оии хотят дополнительно растворить еще одну каплю реагента во всем объеме жидкости.
В этом случае завихрениость возникает за счет того, что разрывы скорости на свободной поверхности переходят в глубь жидкости. Завихренность, такцм образом, ассоциируется с турбулентностью и неупорядоченным преобразованием потенциальной энергии в кинетическую энергию, которая не участвует в установившемся макромасштабиом переносе жидкости. В гидравлических системах и устройствах завихренность чаще всего бесполезна, однако она может пригодиться, если нужно что-то перемешивать. Завихренность возникает в течениях за препятствиями, а также при конвекции, когда жидкость нагревается снизу или охлаждается сверху, илн когда соль растворяется в более легкой жидкости, будучи внесенной сверху. Уравнение завихренности, которое мы теперь выведем, описывает возникновение завихренности, обозначаемой через го1ч или гз. Уравнение движения (1.3.29) может быть записано в виде Р— „= Рà — пгаб Р+ Р. (11зч + '(з птах б1чч), Нч и для случая, когда вязкость и постоянна 1иначе необходимо использовать уравнение в форме (1.3.27)), можно, применив к обеим частям операцию го1, избавиться от членов с р и б)чч, зу ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ которые представлены своими градиентами.
Таким образом, для случая, когда единственной массовой силой является сила тяжести, получаем го1 (р — ", 1 = го1 (ря) + р, го1 у тч. Используя тождества (1.2.6), (1.2.6), (1.2.9) и (1.2.12), получим р го1 1 — — ч Х в) + 6габ р Х 1 = йтаг( р Х д — р го1 го1 в, г ду где ускорение жидкости с(УГЖ обозначено через 1.
Операторы го1 и д/дГ перестаиовочны, так что с учетом (1.2.11) можно написать —, + в йч ч — (в . ягаб) У + (У втаб) в = ою дг =атаб1пр Х(н — 1) — тго1го1ы, откуда, используя (1.2.9), придем к — = — в б1у у + (в ° игаса) у + тс Х (и — 1) + т'ртв. (1.4,1) Здесь мы ввели символ К для обозначения вектора 1/р) атаб р=атаб 1и р, который представляет поле плотности. то — уравнение завихренности '>, а четыре члена в правой части описывают механизмы, за счет которых меняется завихренность некоторого объема жидкости; левая часть равна полной производной завихренности по времени. Перейдем теперь к рассмотрению этих механизмов. Смысл первого члена в правой части лучше всего пояснить, перенеся его в левую.
При помощи уравнения неразрывности, которое имеет вид (!.4.2) Р п1УУ иг получим уравнение — — = ~ — ° Кгаб~ У+ — Й Х (К вЂ” 4) + — Ч в, (1 4 3) и м /е 'т 1 ч т оГ Р ~Р ~ р Р которое показывает, что второй член в правой части (1.4.1) представляет меахнизм, определяющий в, когда йчч равна О, о Обычно в литературе по метеорологии зто уравнение называют уравненнем вихря, но поскольку термин «внхрь» нами будет впаследствнн нспользоваться в другам смысле, то, во нзбежанне путаницы, мы будем продолжать употреблять здесь термин сзавнхренность», также принятый в гндродннамнхе.— Прим. перев. ГЛАВА 1 или ез/р, когда б!чч не равна О. Нашей целью теперь является выяснение физического смысла членов, находящихся в правой части уравнения (1.4.3), и их роли в образовании завихренности.
При адиабатическом течении хорошо перемешанной жИдКОСтИ ПЛОтНОСтЬ р ПрОПОрцИОНаЛЬНа р'1т, таК Чта ВЕКтОр ас, коллинеарный дгаб р, коллинеарен также и нгаб р. Если на время пренебречь эффектом вязкости, представленным послед- Рис. 1Л.1. Связь между вихревыми линиями, вихревыми трубками и вектором взвихренности ним членом в (1.4.3), то уравнение движения примет вид (1.1.4), т. е. — пгаб р=н — 1, 1 (1.4.4) а в этом случае КХ(й $)=О. Это позволяет обсуждать смысл отдельных членов в уравнении (1.4.1), не рассматривая член с 61чч, но помня, что при б1чч~О результаты, полученные для вз, справедливы для еа/р при условии, что течение адиабатическое, а жидкость хорошо перемезпивается.
Мы уже начали обсуждать смысл члена (ез пгаб)ч после получения формулы (1.1.15), когда было показано, что если жидкость невязкая и либо изэнтропическая (хорошо перемешанная и адиабатическая), либо имеет постоянную плотность, то число вихревых линий, пронизывающих контур, все время состоящий из одних и тех же частиц, будет постоянно. Следовительно, вихревые линии движутся вместе с жидкостью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
