Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Представим себе, что в жидкости имеется множество меченых линий и что они представляют поле вектора а, которое определяется этими линиями следующим образом: направление вектора в точке совпадает с направлением касательной к линии, а его абсолютная величина равна количеству линий, проходящих через единичную площадь. С другой стороны, можно пометить вихревые линии таким образом, чтобы расстояние 39 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ между двумя последовательными метками равнялось величине а.
Тогда там, где линии отстоят далеко друг от друга, интервалы между метками окажутся небольшими, что указы-. вает на малую абсолютную величину вектора. Для вихревых трубок при такой маркировке объем, заключенный в ней между двумя соседними отметками, постоянен по Всей длине трубки (рис. 1,4.1). Естественно, вихревая трубка может быть разме- „д1 еаадт Ж ЬУ) М Рнс 1 4 2. Анвекнин вектора аавнхренности. чена таким образом только в случае, если б(на=О.
Если какое-либо течение обладает нулевой дивергенцией, то Объем, занимаемый данным множеством частиц, остается постоянным, так что соотношение между множеством линий тока и определяемым этим множеством векторным полем сохраняется, когда линии тока переносятся вместе с течением. Если вектор а рассматривать теперь как отрезок одной из линий тока, то за время М его начальная и конечная точки будут смещены полем скоростей на расстояния соответственно УЫ и (ч+бч) М, где бУ вЂ” разность между скоростями частиц в начале и конце вектора а (рис.
1.4.2). Тогда при малом а 'оч = (а ° атад) У (1.4.5) с точностью до малых высшего порядка, В конце Временнбго интервала дт вектор а станет равным а+ (е1а!Ж) Ы, так что его приращение будет равно одновременно (е(а/Ж) М и (а. афтаб у) у М. Следовательно, на — = (а игаб) У о! представляет собой уравнение изменения векторного поля а, определенного в данной жидкости характеристиками ее движения.
Это форма уравнения получена из (1.4.1) для ва, если жидкость несжимаема, имеет постоянную плотность и невйзкая, Для изэнтропической жидкости член с Й в (1.4,3) обращается в О, и завихренность должна определяться из ГЛАВА 1 рассмотрения вихревых линий, переносимых жидкостью (либо числом линий, пронизывающих единичную площадку, либо длиной отрезка вихревой трубки, имеющего единичную массу). Проекция на направление х первых двух членов правой части уравнения (1.4.1), — в!т)1чч+(и!.йгабч), равна (1.4„7) и представляет, следовательно, вклад этих членов в значение производной !1$/Ж. Первый член в (1.4.7) показывает, что если уже имеется некоторое положительное значение $, составляющей завихренности в направлении х, то завихренность увеличится, если величина до/ду+дгв/дг отрицательна. Это просто отражает тот факт, что если жидкость расширяется или сжимается в плоскостях, перпендикулярных оси х, то момент инерции относительно этой оси соответственно возрастает или убывает, а в силу закона о сохранении количества движения скорость вращения относительно оси х также соответственно убывает или возрастает.
Этот тип деформации несколько специфичен, и маловероятно, что он будет иметь место; более вероятно, что дивергенция точно или примерно равна О, а в этом случае х-компонента вектора завихренности может быть записана в виде ди дк (1.4.8) ди Дх (1.4.9) который показывает, что если уже существует т), ненулевая компонента взвихренности по оси у, а и, компонента скорости по оси х, меняется в направлении у так, как если бы происходил поворот вихревой линии, первоначально совпадавшей с осью у, то оба эти фактора порождают составляющую завихренности вдоль оси х и создают некоторое приращение вели- Этим выражением описывается тот факт, что если жидкость испытывает растяжение в направлении оси х, то она подвергается сжатию в плоскостях, перпендикулярных этой оси.
По этой причине принято считать, что при растяжении вихревых линий абсолютная величина векторов завихренности на них возрастает (рис. 1.4.1). Второй и третий члены в уравнении (1.4.7) подобны по структуре, поэтому мы рассмотрим только член ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 41 чины $ (рис. 1.4.3).
Возникновение завикренности за счет градиентов плотности описывается выражением (1.4.10) Оио показывает, что ускорение создает эффект, подобный гравитации, а инерционная и гравитационная массы вещества в данном рассмотрении совпадают. Образующаяся завихренность действует таким образом, чтобы поверхности постоянной Рно 1.4.3. Поворот вихревых линий в патоке. плотности в жидкости стали нормальными к вектору я — Е Когда жидкость находится в покое, 1 равно 0 и получается тривиальный результат: негоризонтальные поверхности равной плотности, будучи предоставленными сами себе, стремятся путем поворота принять горизонтальное положение.
Если вектор в( перпендикулярен поверхностям постоянной плотности, то ось, относительно которой возникает вращение, будет горизонтальна и перпендикулярна одновременно я и Й. Если жидкость испытывает ускорение (например, когда она течет по изогнутой трубе), центробежные силы добавляются к силе тяжести. Если ускорение ориентировано вдоль направления движения, как в тележке, ускоряемой по прямой линии, то жидкость будет вести себя так, как если бы я действовало в направлении отвеса, прикрепленного к тележке. Вода в частично наполненном сосуде, находящемся на тележке, будет набегать на заднюю стенку сосуда, когда тележка устремится вперед.
В центрифуге или подобной ей вращающейся системе й~$ и, следовательно, поверхности постоянной плотности стремятся стать цилиндрическими; при этом ось цилиндров практически совпадает с осью вращения. 42 ГЛАВА ! Возникновение завихренности за счет постоянной вязкости описывается уравнением (1.4„11) При этом для каждой компоненты вектора Гв справедливы соотношения типа — '„' =.Ч'1.
(1.4.12) Это уравнение совпадает по форме с уравнением теплопроводности, где «аналогично коэффициенту теплопроводности, а $ — температуре. Эффект вязкости проявляется в таком перераспределении завихренности, при котором ее градиент становится все более близким к линейному. Обычно вектор завихренности в конце концов оказывается распределенным достаточно равномерно, и вращение жидкости становится все более похожим на вращение твердого тела. Когда градиент ~ увеличивается в направлении х, поток, переносящий $ в указанном направлении, уменьшается (увеличивается в противоположную сторону) и значение $ возрастает.
Уравнение (1.4.12) справедливо и в том случае, если вязкость т переменна, но зависит только от р. Если р — постоянная, а 1А — переменная, то соответствующее уравнение должно выводиться из (1.3.27). Заметим, что проделать это в векторной форме (аналогично тому, как выводилось уравнение (1.4.1)1 даже в случае, когда всюду д(««=0, довольно сложно. Случай переменного 1А реализуется при турбулентном течении, когда напряжения в жидкости порождаются вихрями, интенсивность которых существенным образом меняется по объему жидкости. Рассматривать столь сложный процесс удобнее, если провести все возможные упрощения уравнений применительно к отдельным частным случаям, что и будет предпринято в гл. 7. 1.5.
Теорема о сохранении вихревых линий на поверхностях постоянной плотности В случае невязкой жидкости уравнение завихренности имеет вид = — м й1««+(Гв йтад) «+й Х (я — $), (15.1) Первый член в правой части этого уравнения параллелен вектору завихренности. Второй член представляет изменение вектора завихренности за счет движения вихревых линий в жидкости. Третий член описывает возникновение составляющей ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 43 Вектора завихренности, перпендикулярной Й, т.
е. принадлежащей поверхности постоянной плотности р. Следовательно, если в какой-либо момент времени вихревые линии принадлежали поверхностям постоянной плотности, называемым изопикническими поверхностями, то (поскольку вся новая завихренность либо создается на таких поверхностях, либо перемещается вместе с ними) они будут принадлежать этим поверхностям и в дальнейшем.
Только четыре обстоятельства могут изменить эту ситуацию. Вязкость может породить значительную завихренность, вектор которой не будет принадлежать поверхностям с постоянной плотностью или по каким-либо причинам вектор завихренности и начальный момент может не находиться на них. Свободная поверхность может претерпеть столь резкий изгиб, что возникнут разрывы скорости, которые затем будут диффунднровать в толщу жидкости за счет вязкости, или плотность может измениться вследствие нагрева или какого-либо другого воздействия.
Случай, когда и течение, и изопикнические поверхности горизонтальны, является для нас особенно интересным. Если в этом случае вектор завихренности также первоначально горизонтален, то он сохранит ту же ориентацию ниже по потоку. Эта ситуация обычна для атмосферы, поскольку, хотя и существует несомненная вертикальная составляющая вектора завихренности, обусловленная вращением Земли вокруг своей Оси, ее величина обычно очень мала по сравнению с горизонтальной составляющей, которая возникает вследствие изменения скорости или направления ветра с высотой.
В атмосфере вдали от подстилающей поверхности завихренность практически целиком генерируется воздействием силы тяжести на градиенты плотности. Это означает, что вектор нового количества завихренности всегда горизоитален и находится на изопикнических поверхностях. Ускорения воды в океане и воздуха в атмосфере возникают в результате малых отклонений плотности от среднего значения в горизонтальных плоскостях, но всегда малы по сравнению с я, так что членом ЙХ1 обычно можно пренебречь. Как показано в гл. 5, математическое описание распространения волн в атмосфере столь сложно, что почти все полученные результаты относятся к случаю, когда применима данная теорема и при этом только для двумерного случая.
Однако вопреки очевидной специфичности случая, эта теорема тем не менее применима к большинству реальных ситуаций. Следует отметить, например, что течение воздуха над горизонтальной подстилающей поверхностью приобретает завихренность за счет ее шероховатости, но рассмотренная теорема ГЛАВА 1 сохраняет силу для этой ситуации, поскольку векторы такой завихренности горизонтальны и лежат на поверхностях, вдоль которых происходит течение. 1.б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
