Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 9
Текст из файла (страница 9)
величину Рнс ! и !. Связь между образаваннем вихревых колец н вертикальным сме. шепнем частиц стратнфнцнраваннон жидкости. Рвс. !.8 2 Вихревые кольца, порожденные статической неустойчивостью н вызываюШве вертвкальнае веремешенве элементарнога объема вектора К в начальном положении равновесия, так что (1,8.9) для малых ~р принимает вид а с! — = — — з!п ~р = — '/афти. с!тх 2с дг (1.8.11) Если 8 отрицательно, а потенциальная температура убывает .с высотой, то уравнение (1.8.11) описывает неустойчивое состояние, при котором ф экспоненциально возрастает со временем.
Это, конечно, эквивалентно результатам, полученным из анализа вертикального перемещения объемов. Представленная форма критерия локальной статической неустойчивости показывает, что неустойчивость порождает завихренность и не может существовать, не порождая ее. Вследствие этого происходит явление перемешивания и движение превращается в турбулентное. Если объем жидкости в среде начинает подниматься вверх (рис. 1.8.1), то можно предположить, что причиной этого является восходящее течение, порожденное горизонтальным ротационного смешения. Когда поступательное движение отсутствует, уравнение вектора завихренности принимает вид лы пй — =Й)(и, нли — „=дйз!п<р, (!.8.9р ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ тороидальным вихрем, окружающим рассматриваемый объем.
Если данный объем продолжает перемещаться вверх сквозь окружающую среду (рис. 1.8.2), то его движение теперь можно интерпретировать как результат воздействия со стороны расположенных друг под другом вихревых колец, образующихся вокруг него в соответствии с (1.8.9). Движение не остается простым и скоро превращается в хнтросплетенне мелкомасштабных вихрей, которое сопровождается интенсивным перемешиваннем частиц (см. гл. 8); это происходит из-за неустойчивости состояния, прн котором любое возмущение поверхности с постоянной потенциальной температурой повсюду порождает завихренность, которая в свою очередь способствует повсеместному возникновению неупорядоченных движений. Глава 2 ЯВЛЕНИЯ В ПОТОКАХ ЖИДКОСТИ 2.1.
Классическая гидродинамика невязкой несжимаемой жидкости Чтобы продемонстрировать методы классической гидродинамики, а также явления, возникающие в реальных жидкостях, рассмотрим обтекание сферы невязкой жидкостью. Если завихренность отсутствует, то го!к=о, и, следовательно, существует потенциал у, определяемый выражением (2.1.1) причем (2.1.2) и = угад т. Начало координат О, от которого вычисляется интеграл (2.1.1), не имеет значения, так как его смещение означает изменение ~р на некоторую постоянную величину. Если жидкость несжимаемая, то и!ч и=о и уравнение (2.1.2) приобретает вид 7зт=о.
(2.1.3) Это — уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости при безвихревом движении. Уравнением движения будем пользоваться только для расчета давления, представляя его в виде (1.7.9), т. е. в виде уравнения Бернулли. '~2.2. Источник, диполь, однородный поток и обтекание сферы Потенциал (2.2.1) ,~ = — гп(г, где г — расстояние от начала координат, определяет скорость т/г~, направленную по радиусу от начала координат, т. е. описывает течение, создаваемое источником с интенсивностью (т.е.
с объемным расходом) 4ппг. Если величина пг отрицательна, то имеем сток. явления в потоках жидкости В сферической полярной системе координат г, 6, ) в осесимметричном случае, когда все величины не зависят от Х, и при измерении х в направлении Ов 0 потенциал ф= Ух = сlгсовб (2.2.2) описываетоднородноетечение в направлении х соскоростью в). Рис. 22 Ь Линии тока в течении около сферы.
а — в плоскости, провсдспноа через ось снмметрнн течспнвс И вЂ” в снстсчс координат. свпзвппоа с жадностью, абтеквюща» сферу Потенциал <р = — Р сов%5. (2.2.3) характеризует течение, создаваемое диполем. Это становится ясно, если заметить, что ох — — = — па ох сов% . д ич а дх г (2.2.4) Левая часть уравнения (2.2.4) дает потенциал стока пт/г и отрицательного стока — т/г, удаленного от него на расстояние бх в направлении — х, Величина н=лчбх называется моментом диполя.
Если теперь сложить потенциалы диполя и однородного течения, то, так как они оба пропорциональны сов О, получим т=(1/г — ~р ) совб. (2.2.5) глзах в Отсюда радиальная составляющая скорости равна — =-~/7 + — /сох 0 дт 2~ х (2.2.6) и обращается в нуль при г=а, если 9 = — Цав/2. (2.2.7) Иначе говори, мы получили условие равенства нулю радиальной составляющей скорости на поверхности сферы г=а. Поэтому р = О сов 0/г+ — ) ав (2.2.8) есть потенциал, описывающий обтекание однородным потоком сферы с радиусом а, помещенной в начале координат. Линии тока такого течения показаны на рнс, 2.2.1, а.
2.3. Сила, действующая на сферу. Присоединенная масса — = (/з(п О/г, — = — У сов 0 аб дг дв (2.3.3) в фиксированной точке (г, 8) в системе координат, движущейся вместе со сферой со скоростью — У. Тогда, положив г=а, получим следующее выражение для давления на поверхности движущейся сферы: р = рв — '/,рУв(5 — 9 соз' 0) + '/,р(па сов 0! (2.3.4) В уравнениях (2.3.1) и (2.3.4) р, — давление на бесконечности в набегающем потоке и в покоящейся жидкости соответ- Давление в произвольной точке поверхности неподвижной сферы получим из уравнения (1.7.9), положив р=сопз(, д/дг=О и в/в=(дгайвр)в. Тогда при г=а н постоянной скорости имеем р = ро — '/вр(/в (5 — 9 созв 0). (2.3.1) Давление на поверхности сферы, движущейся ускоренно в покоящейся жидкости, найдем, вычтя из потенциала (2.2.8) потенциал однородного течения: ч= Е/авсозб/2гв.
(2.3.2) Линии тока в системе координат, связанной с жидкостью, показаны на рис, 2.2.1, б, Производную влр/дг можно найти нз уравнения (1.7.9), заметив, что ЯВЛЕНИЯ В ПОТОКАХ ЖИДКОСТИ ственно. Это давление не дает результирующей силы, действующей на сферу, движущуюся с постоянной скоростью, так как оио одинаково на передней и задней половинах сферы. Этот вывод справедлив для любого тела в безвихревом потоке однородной невязкой несжимаемой жидкости. Однако, если тело движется с ускорением У в покоящейся жидкости, суммарная сила получается интегрированием последнего члена в уравнении (2.3.4) по всей поверхности сферы. В результате получаем = — 5 рсозо2 а'з1п ойо ='(о раз(7= 1),М'(7, (2.3.3~ о где М' — масса жидкости, вытесненной сферой. Величина '(ХМ' называется присоединенной массой сферы, так как она обусловлена кажущейся инерцией жидкости, приводимой в движение при ускорении сферы.
Когда сфера начинает двигаться из состояния покоя, то сначала движение жидкости является безвихревым (см. (1.1.14)), и сила, действующая на сферу, хорошо описывается уравнением (2.3.5); однако затем, как будет показано ниже, силы вязкости быстро изменяют характер течения. Многие другие, но не все, формы тел также можно представить распределением источников и стоков. Каждое тело имеет свою собственную присоединенную массу. Присоединенная масса плоской пластинки, движущейся ускоренно в собственной плоскости, равна нулю, однако при движении в направлении нормали к плоскости пластинки ее присоединенная масса велика„так как в движение приводится большое количество жидкости.
Вообще говоря, при ускоренном или стационарном безвихревом движении на любое твердое тело, кроме силы, действует момент. В случае' сферы он равен нулю вследствие ее симметрии. Классическая гидромеханика занимается применением указанных выше методов для решения различных задач, описание которых читатель найдет во многих превосходных учебниках. 2.4. Струйные течения Теория струйных течений хорошо изложена во многих монографиях (см., например, Ламб, 1947, $73 — 78). В этой теории предполагается, что существует поверхность, для которой выполняются следующие условия: она сходит с острой кромки тела, давление на ней постоянно, жидкость за ней заторможена.
Поэтому по другую сторону этой поверхности скорость ГЛАВА 2 ым 2~6 У= иг (2.4.1) Если одна поверхность является твердой границей с 0=0, а другая — поверхностью раздела с жидкостью, имеющей другую плотность и находящейся в состоянии покоя при распределении давления, соответствующем гидростатическому, то давление вдоль свободной границы между жидкостямн должно меняться линейно, как фг.
Поэтому при стационарном течении величина (дфдг) ' должна линейно возрастать вдоль 0 = сс согласно уравнению Бернулли, так как давление должно быть одинаковым по обе стороны поверхности раздела. Поэтому имеем ' ( — „— ') или а = '/зв. Г " — Г, (2.4,2) В соответствии с этим поток легкой жидкости, взаимодействуя с клином тяжелой покоящейся жидкости, повернется на 60' (рис. 2.4.2, а). Струя горячего газа, выходящего из трубы в холодный неподвижный воздух, в первый момент также сузится, развернувшись на тот же угол (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
