Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ей= ф и гй — ф — нгаб р аз, (1.!.1б) где, в свою очередь, первый член в правой части равен фнгаб(йе) с(В=О, поскольку интеграл от градиента любого скалярного поля по замкнутому контуру равен О. Это эквивалентно утверждению, что поле тяготения есть поле консервативной силы. Последний член в (1.1.16) может быть переписан в виде ф — цгабр. сй= — фйгабр г(В=О 1 1 Р ГЛАВА ! для случая, когда плотность р постоянна, или ~ огай(~ — р) гав=О для случая изэнтропической жидкости, когда предполагается, что для всех ее частиц плотность является одной и той же функцией давления. Следовательно, мы можем написать (1/р) йтайр=угаде, или (1/р)йр=йе, или е= ~ йр/р. В результате из (1.1.15) следует, что ~ ч йз не меняется со временем при условии, что контур постоянно включает одни и те же частицы.
Другими словами, сквозь данный материальный контур всегда проходит одно и то же число вихревых линий, так что вихревые линии движутся вместе с жидкостью. Если жидкость не изэнтропическая или обладает переменной плотностью, то — у ч . г(з= — ~ — пгай р да= ) го1( — пгайр) й8, .С 1 1 Р пов (1.1. 17) где йз является элементом произвольной поверхности, для которой границей служит рассматриваемый контур. Согласно (1.2.8) имеем — уч ° йз = — ~ пгаб — пгаб р г(8, (1.1.18) пов что известно как теорема Бьеркнеса. Это выражение связано с соотношением (1.1.13) и устанавливает, что поле давлений в несжимаемой жидкости может создавать циркуляцию только в том случае, когда плотность на поверхности постоянного давления не является постоянной (т. е.
когда нзопикнические и изобарические поверхности не совпадают). Этот эффект в выражении (1.4.1) будет представлен членом ЙХ1. Подводя итоги, можно сказать, что течение жидкости, порожденное движением границ, является безвихревым, если жидкость невязкая и имеет постоянную плотность. Безвихревое движение обладает меньшей кинетической энергией, чем любое другое движение, удовлетворяющее тем же самым граничным условиям, так что увеличение завихренности всегда добавляет энергию, и понятно, почему турбулентность, которая поглощает энергию, так связана с вихревыми течениями. Если жидкость сжимаема, то границы могут перемещаться без немедленного вовлечения в движение всей жидкости, так что она может иметь меньшую энергию. С другой стороны, на движение могут ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ налагаться волны давления, и жидкость, таким образом, будет иметь кинетическую энергию, даже если границы ее неподвижны, так что сжимаемая жидкость может обладать большей или меньшей энергией, чем несжимаемая, удовлетворяющая тем же самым граничным условиям, если в обоих случаях течения безвихревые.
Такое течение однозначно определено, если только для всех точек жидкости некоторым образом заданы б!чч и го!ч. Зто означает, что турбулентность, являющаяся состоянием, слишком сложным для того, чтобы его можно было определить только заданием го!ч, может рассматриваться только с привлечением дополнительных предположений или данных. 1.2. Обозначения, системы координат, тождества Полная скорость жидкости может быть записана в виде ч = (и, и, гв) =(оь огь оз), (1.2.2) а ее 1-я компонента как оь Завихренность определяется выра- жениемм гь = го! ч = Ч Х ч = (5, г1, Ь) = (еь гьм гьг), (1.2.3) дед дьа в =(го! ч) =е А — = — — —, Н дхГ дхГ дхь ' Дивергенция скорости равна а полная производная по времени от величины а, связаннон с элементом жидкости, равна да да да да да — =д — = — +ч цгада= — +о,—, дГ да дГ дГ дх~ ' (1.2.5) где à — время, в — расстояние вдоль траектории, а д — абсо- лютная величина скорости ч.
Для представления векторов через их компоненты обычно используются прямоугольные координаты (х, у, г), где ось г направлена вертикально вверх, если не оговорено противное., Когда это Удобно, можно использовать кооРдинаты (хь хг, хь). Таким образом, сила тяжести выражается следующим образом: и = (О, О, — д) = — игаб (дг) = — ч (дг). (!.2.1) 24 ГЛАВА ! Следующие тождества вводятся здесь без доказательства: — = — + афтаб ('1чдэ1 — ч Х го1 ч, (1.2.6) дч дч йч(оч) =а йч ч + ч. пгаб а, (1.2.7) ГО1(чЧ) = оГО1Ч+ ПГабч)( Ч, (1.2.8) го1го1 ч = пгаб йчч — Ч'ч, (1.2.9) где 7чч = (йч пгаб) ч, а также йч(чав) =в го1ч — ч го1в, (1.2.10) го1 (ч Х в) = ч йп в — в йч ч + (в пгаб) ч — (ч пгаб) в. (1.2.11) Последние два тождества верны для двух любых векторных полей ч и в, хотя мы главным образом будем иметь дело со случаем, когда в=го1 и.
Также для любых скаляра а и вектора в=го1ч всегда имеют место а1чв=О и го1пгабч=О. (1.2.12) 1.3. Уравнения Навье — Стокса Основной целью настоящего раздела является разъяснение предположений, на которых основаны уравыения Навье — Стокса. Эти уравнения наиболее широко используются в механике жидкости, и важно использовать их правильно в тех сложных ситуациях, которые случаются в действительности.
Наиболее фундаментальным предположением, без которого эти уравнения не могут быть получены, является то, что напряжения (силы) в жидкости связаны линейно и мгновенно со скоростями деформации (смещения). Таким образом, удвоенной скорости деформации соответствует удвоенная сила, а жидкость не сохраняет признаков предыдущего движения: силы возникают или исчезают немедленно, как только начинается или прекращается деформирующее движение.
Силы вязкости существуют благодаря движению молекул, а это означает, что скорости движения молекул много больше разностей скоростей различных частиц жидкости, что, конечно, выполняется для обычных движений в атмосфере. Скорость деформации в точке внутри жидкости может быть представлена как скорость изменения углов между тремя (координатными) плоскостями в жидкой частице, которые были взаимно ортогональны в момент начала деформации, Величина дга/ду является мерой скорости вращения вокруг оси х частиц, ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ расположенных на оси у.
Если добавить к до/дг производную дго/ду, которая представляет скорость вращения вокруг осн х частиц, расположенных на оси х, то сумма будет равна скорости. изменения углов между прямыми линиями, первоначально совпадающими с осями (рис. 1.3.1) у и г. Эта величина представляет собой одну из составляющих скорости деформации. Деформация, кроме того, происходит, если жидкость растянута вдоль оси у или сжата вдоль оси г; при этом прямые углы Рнс 1.3.1. Скорость деформацнн жидкой частицы, обусловленная градиентами скоростн потока.
также становятся непрямыми. Абсолютные величины этих де- формаций равны до/ду и дто/дг (рис. 1.3.2). Таким образом, мы имеем следующие шесть величин, необходимых для определе- ния скорости деформации: е =2 — е„=2— до дто ду ~ ди е =2 —, дх дю до еу=е = — +— У»»У ду дг ди дто е»=е, = — +— дг дх до ди д + »У У» дх ду ' Завихренность определяется локальной угловой скоростью вращения жидкости и принимается равной ее удвоенной величине. Вращение вокруг оси х получается изменением знака до/дг в выражении для ео,.
Таким образом, дто до ди дто Е= — —— М ду дг ' ' дг дх ' ГЛАВА 1 Деформацня, изображенная на рнс. 1.3.2, не обладает общим вращением; равным образом могут существовать вращення, не сопровождаемые деформацией. Жесткое вращение (по тяпу твердого тела) с угловой скоростью й создает линейную скорость частицы, равную ч= — Я)(х, нлн о, = Руха — (2ах,.
(1.3.3) Рис 1.З.2. Деформация вследствие растяжеиия или сжатия Для твердого тела все компоненты ец в выражении (!.3.1) равны О, т. е. ди ддти до ди дх дх' дх ду ' дси до ду дх ' так что 1=2 д ч=2 —, с=2 —, дю ди до (1.3,4) ду ' дх ' дх Так как ди/дх=О, скорость частицы относительно начала коордннат имеет составляющую вдоль осн х, равную и=у д +а д '6(ут — ат1) ди ди (1.3.5) если пренебречь членами высшего порядка. Сравнивая это с (1.3.3), видим, что скорость получается такой же, как прн жестком вращении с угловой скоростью ч(аая. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ Производные скорости, описываемые выражениями (1.3.1), определяют квадратную матрицу 3-го порядка; элементы этой матрицы задаются соотношением ац =да;/дхь 1, 1=1, 2, 3, которое можно представить в виде суммы симметричной матрицы ец = '/х(ац + ац) и антисимметричной матрицы ац = '/г(ац — а„) Так как диагональные элементы ац равны О, вектор ацх~ будет таким же, как если бы было взято векторное произведение ИХх, где И;=а~А.
Таким образом, ац представляет компоненты жесткого вращения, наложенного на деформацию, представленную компонентами ец Жесткое вращение не порождает внутренних напряжений, поскольку оно не деформирует жидкость, так'что только компоненты ец результирующего движения ац имеют отношение к напряжениям. Путем преобразования координат, соответствующего чистому вращению, матрица ец может быть приведена к диагональному виду. Это эквивалентно утверждению, что квадратичная поверхность имеет три главные оси, при вращении относительно которых положение поверхности в пространстве сохраняется неизменным, или что полная деформация любого жидкостного элемента полностью описывается суммой деформаций (растяжений или сжатий) относительно указанных трех осей, Это свойство поверхностей второго порядка в пространстве не связано с какими-либо свойствами жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
