Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Закон движения Йьютона, который мы считаем точным для механики жидкости в земных условиях (хотя бы потому, что в данное время неосушествимы измерения, которые позволили бы обнаружить какие-либо отклонения от него), гласит, что скорость изменения импульса в направлении ! равна сумме сил, действующих в том же направлении. В соответствии с этим получаем, если р — плотность жидкости (масса на единицу объема), а ч — скорость жидкости: — (ч 1) р с(в= — ~ 1 р !!3+ ~ 1 др !!с. (1.1.3) вов В этом выражении ФЖ обозначает производную по времени, взятую в системе координат, связанных с движущейся точкой, которую часто называют материальной или лагранжевой производной, а р !(т — элемент массы при интегрировании. Предполагается, что объем и поверхность соответствуют частицам вещества, которые движутся вместе с жидкостью, а в уравнении (1.1.3) производная импульса в направлении 1 приравнивается силам, действующим в этом направлении. Мы ограничиваем массовые силы только гравитационными, которые в единичном объеме равны пр.
Существуют и другие массовые силы, такие, как электромагнитные, которые необязательно пропорциональны массе, но в настоящей книге мы их не рассматриваем. Выражение (1.1.3) определяет компоненту в направлении ! выражения а поскольку объем выбирался произвольно, то подынтегральные выражения должны быть равны, следовательно, лв 1 — =- — — цгад р+ и. в'! р (1.1.4) (А.йй), и имеет место тождество !!!ч (1р) =! йта!! р+рб!ч!, вов последний член которого равен О, поскольку вектор 1 — постоянныйй.
Выражение (1.1.1) представляет только компоненту силы в направлении 1, следовательно, суммарный вектор силы, действующей на объем жидкости, равен ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 17 Из общей формы уравнения движения выведем уравнение гидростатики. Так как ускорение равно О, а сила тяжести действует в направлении, противоположном градиенту гравитационного потенциала лг, то выражение (1.1.4) принимает вид пгаб р=р дгаб ( — де), или др — = — КР д» (1.1.5) это выражение можно проинтегрировать, используя теорему Гаусса — Остроградского, откуда получаем ~~рцгаб Р сЬ=~ б!У(~рагабф)г(п= пвв =~ ф рзфй +~(дгабф)'Ип. (1.1.7) С целью установления условий, которые должны быть наложены для того, чтобы поле движения жидкости было определено однозначно, предположим, что в данной ситуации возможны два поля скоростей, которые мы обозначим через у и у'.
Если н=у — у' и во всех точках рассматриваемой области заданы б!чу и го(ч так, что они равны б!уу' и го(у' соответственно, то для всей области должны быть справедливы ра- венства б!и н = О и го! а = О. (1.1.8) Второе из них означает, что существует потенциал ф, такой, что н=цгаб ф; тогда из первого равенства следует б!У и = б!и пгаб ф = Ч'ф = О (1.1.9) для всех точек области. Предположение, что г))чу и го!у заданы всюду, позволяет избавиться в выражении (1.1.7) от первого члена в правой части. Если при некоторых условиях, наложенных на граничную поверхность 5, левая часть в (1.1.7) становится равной О, то член ~ (пгаб ф)Чт также окажется равным О; это означает, 3 любой ситуации, связанной с действием тяжести, мы будем всегда считать, что координата г направлена вертикально вверх.
В следующем разделе мы введем несколько математических тождеств, которые будут использоваться в дальнейшем. Тождество (1.2.7) может быть записано в форме б!У (ф пгаб ф) =ф б!и пгаб ф+ игаб ф пгаб ф; .(1.1.6) ГЛАВА 1 18 что пгабф должен всюду по модулю равняться О, так что ч будет равно ч'. Можно, следовательно, попытаться установить, какие именно граничные условия обеспечивают единствеяиость поля течения. Позднее мы рассмотрим, почему полезно предполагать, что б1чч и Го1ч равны О. Если составляющая и в направлении йЗ, нормальном к поверхности, равна О, то интеграл ~ фйгабф-йЗ= ~ фп.й8 пов пов будет, очевидно, равен О; это эквивалентно утверждению, что на границе жидкости задана нормальная составляющая ч.
И наоборот, если граница состоит из единственной поверхности и всюду на ней задана тангенциальная составляющая скорости ч, то аналогичная составляющая ч' будет такой же, а тангенциальная составляющая и равна О. Следовательно, тангенциальная составляющая игаб ф равна О на всей поверхности, так что ф на поверхности постоянно. Если поверхность состоит более чем из одной части, то ф может иметь различные, но постоянные значения на каждой из частей поверхности.
В случае единственной поверхности получаем ~чдгабч Ый=ч ) пгабч Ю=ч ~ б1чдгабчйо=О, поп используя теорему Гаусса — Остроградского, а затем соотношение (1.1.9). Это как раз тот результат, который требовался, и мы получаем теорему Кельвина о единственности, которая гласит: Если б)ч ч и го1 ч заданы во всех точках области, а во всех точках границы заданы либо нормальная составляющая ч, либо, если граница состоит из единственной поверхности, тангенциальная составляющая ч, то ч определяется единственным образом. Если нормальная составляющая ч задана во всех точках границы, но б)ч ч и го1 ч не заданы, то, чтобы понять, что из этого вытекает, рассмотрим энергию движения. Пусть Т вЂ” кинетическая энергия движения со скоростью ч, для которого 61ч ч и го1 ч всюду равны О, а ч' — скорость реального движеняя, имеющего кинетическую энергию Т'.
Считая, что п=ч' — ч и что плотность жидкости всюду постоянна и равна 1, получим О( ~ нгоро= ~ (ч'г — ч') с1о — 2 ~ чпдо= = 2Т' — 2Т вЂ” 2 ~ угад р . и но. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ Здесь мы использовали равенство ч=дгад <р, поскольку го1ч=О везде.
Следовательно, Т ' — Т >~ ~ йга б ч . и б(т = ~ б!ч (ОО ° н) б(х — ~ э б!ч и б(О = = ~ 9п 'Ов — ~ чп!чпб(~= — ~ чй!чч'грО, (1.1.10) ВОВ Об Об поскольку составляющая п, нормальная к О, равна О, так как ч' и ч имеют одни и те же нормальные составляющие на поверхности О. Если б!чч=О везде, то правая часть в (1.1.10) равна 0 и Т')Т. Разница между ч и ч' состоит в том, что ч' может иметь ненулевую взвихренность; если это не так, то го1ч'=О, и из теоремы единственности вытекает, что ч' совпадает с ч. Если ч' отличается от ч в какой-либо точ!Ое, где го1ч' не равен О, то ит будет в этой точке положительно и Т'- Т.
Теперь мы можем сформулировать теорему Кельвина о минимуме кинетической энергии: Из всех течений несжимаемой жидкости, для которых йчч=О и на границе задана нормальная составляющая скорости, единственное безвихревое течение обладает кинетической энергией, которая меньше, чем у любого другого течения, удовлетворяющего тем же граничным условиям.
Эта теорема не выполняется в случае сжимаемой жидкости, поскольку в этом случае плотность входит в подынтегральное выражение в качестве переменной величины и выражение (1.1.10) получить не удается. Если б!чч' не равна 0 (жндкость сжимаема), то д)чч' может принимать как положительные, так и отрицательные значении, так что последний интеграл в (1.1.10) может быть как положительным, так и отрицательным, исключая случай, когда Ор не меняется, а ч равна О, поскольку в этом случае безвихревое течение сводится к состоянию покоя и никакое другое течение не может иметь меньшей кинетической энергии. Рассмотрение интеграла в (1.1.10) осложняется в дальнейшем именно тем, что плотность сжимаемой жидкости не постоянна.
Существенным моментом является то, что при распространении звуковых волн в жидкости кинетическая энергия может быть как больше, так и меньше той энергии, которую имело бы безвихревое движение несжимаемой жидкости, удовлетворяющее тем же самым граничным условиям. В этой книге мы будем лишь эпизодически встречаться с течениями сжимаемой жидкости, так что в большинстве случаев б(чч=О, но часто будем рассматривать вихревые течения, когда го1У~=О.
Есля течение невязкой несжимаемой жидкости не приобретает завихренности, то любое движение, начинающееся за счет ГЛАВА ! движения границ, должно быть безвихревым (поскольку начальное состояние покоя — безвихревое) и иметь наименьшую возможную кинетическую энергию. Представим сначала, что течение возникает от внезапного толчка со стороны границы. В равд. 1.4 мы увидим, что действие вязкости проявляется в передаче завнхренности через жидкость от границы таким же образом, как тепло передается от горячей поверхности. Это означает, что если завихренность в жидкости первоначально отсутствует, то потребуется конечное время, чтобы она распространилась посредством вязкости.
Когда граница передает жидкости внезапный импульс, то всюду, за исключением очень тонкого слоя у границы, сохраняется безвихревое течение. Прн этом жидкость как бы скользит вдоль границы, подвергаясь действию заданной нормальной составляющей скорости. В течение бесконечно малого отрезка времени гАГ внутри жидкости создается очень большое давление Р с очень большими градиентами. Создается конечное «импульсное давление» П, равное РМ, и в течение времени М устанавливается конечная скорость ч.
При этом изменение количества движения равно импульсу на поверхности, ограничивающей жидкость, так что, рассматривая составляющую в направлении 1, получаем ~ ! ° АР р Фт = — ~ 1П ° б(Б = — ~ б1ч (П!) б(« = — 1 ° ~ ига б П г!т. об вов об об (1.1.11) Так как уравнение (1.1.11) выполняется для любой выбранной в жидкости поверхности и для любого направления, то мы имеем рч = — пгаб П, или 1 и = — — пгаб П. (1. 1,! 2) Последнее выражение равно пгаг(~р в том случае, когда го1 от него равен О. Используя (1.2.8), можно показать, что это может быть тогда, когда равенство пгаб П пгаб — = О 1 (1.1.!З) Р выполняется везде. Это возможно лишь в единственном случае, когда поверхности П = сопз! совпадают с поверхностями р = =сопэ1.
Такое совпадение было бы весьма искусственным. Следовательно, течение является безвихревым, если плотность ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 21 р постоянна; при этом скорость и импульсное давление связаны соотношениями ч = цгада и ~р = — П~р, (1.1.14) и, таким образом, течение, устанавливающееся за счет ударного воздействия границ, будет безвихревым. Теперь мы подошли к теореме Кельвина о циркуляции. Она применима к невязким, хорошо перемешанным жидкостям, находящимся под действием консервативных массовых сил. Это означает, что силы имеют потенциал (наиболее важным примером является сила тяжести и= — пгаббе) и что жидкость изэнтропическая. Последнее условие означает, что состояние жидкости не изменится, если поменять местами какие-либо две частицы. Простейшими примерами такой жидкости являются несжимаемая жидкость постоянной плотности и сжимаемая жидкость при адиабатическом движении (жидкостно частицы которой имеют одну и ту же потенциальную температуру, или энтропию).
Циркуляция по контуру, состоящему из одних и тех же частиц, равна ф (ч.г(з), а ее полная производная по времени равна — ф ч ° гй= — „° дэ+ ф ч ° — гй, (1.1.15) где бз — векторный элемент дуги контура. Предполагая, что ч непрерывна, получаем (б/Ж)г(з=г(ч, что выражает изменение скорости жидкости вдоль бесконечно малой дуги г(з, так что последний член в (1.1.15) представляет собой ф (ч . аЪ) = ф а ('/,о') = О, поскольку ч непрерывна. Первый член в правой части (1.!.15) с использованием (1.1.4) может быть переписан в следующем виде: ф — „.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
