Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 55
Текст из файла (страница 55)
(7.9.6) дг г Напряжение может быть записано как осредненная по времени величина: и о иО™0 +~Г [ дг (и Ф )1 + /2(ьг) ~дг2 (и о )1 +0(ьг) (7.9.7) Через время т имеем ЬГ = и,'о + '/, ~и' д" ] то + О (тт), (7.9.8) так как ди'/д(=и'ди'/дг. Таким образом, получаем +и (и' д,о +2 д" д + о' дг2)~ +0(оо). (7.9.9) Предположив, что вихри симметричны относительно г =сопз1 и О=сопз1, получим иооо = О. (7.9.10) и'и' — = — иго ~1 + — / = — и'%, дг (7,9.11» дг (,г (7.9.12) Далее, принимая при 1=0 в качестве средних значений ио= =о'=О, получаем, что все величины и"и'/ о'о, о'о/и', о'о/и', и"/и' исчезают. Следовательно, туовулвнтность н ( — о'+ — ) [ — и'(~+ — ")+ —,( г + — г)1=0 (7.9.13) при осреднении в момент времени 8 = О.
Кроме того, , дао', Г дС С 2о'Х и'~и' — = — и'а ~~ — — — — ), дат ~дг г г2 )' и" дг д — — — 2и'о'( — + — )(~+ — ) (7.9.14) целиком исчезают при осреднении по времени при 1=0, поскольку они включают нечетные степени и'. Следовательно, получаем и о =~ — по~+ оо — 1ч+ 0(чз). (7.9.15) Вычисления показывают, что наименьшие степени и' и о' в члене порядка т' определяются выражением — (ио ~ — оо — 1 ч, аобу ~ е 2о (7.9.16) (7.9„17) где до о о е;= — — — =(,— 2— дг г представляет скорость деформации жидкой частицы.
Это выражение для вращения по типу твердого тела, очевидно, равно О. Таким образом, вихревое движение порождает напряжения при жидком вращении, т. е. действует так же, как вязкость. а члены с более высокими степенями имеют порядок о'/о и отброшены. Поскольку в (7.9.16) при т' присутствует тот же множитель, что и при т в (7.9.15), то член порядка т может быть отброшен, так как коэффициент при т' обратится в О, как только обратится в 0 коэффициент при т.
Перейдем к рассмотрению отдельных случаев. 1. Изотронное вихревое течение. "и'~ = о,',~ = ~7'а, / / но = — 7осегю глава т 2. Вихревое движение с радиальными смещениями о'»=О: йо' = — д'~«Г. (7.9.!8) В этом случае напряжения исчезают только при ь = О, что имеет место при о = Ф/г. Для создания эффектов, рассмотренных в равд. 7.8, вихревое течение должно порождать в основном радиальные, а не тангенциальные смещения жидких частиц. 3. Вихревое течение с тангент4иальными смещениями и»а= О: — р 20 и'о'= — д"«=!т.— е„) д". г (7.9.19) ив дв дг (7.9.20) являющееся классическим результатом теории пути смешения, который здесь равен д'т.
7.10. Дробление вихрей В случае изотропного вихревого течения, рассмотренного в предыдущем разделе, такие атмосферные образования, как верхушки кучевых облаков («наковальни»), растекаются одинаково во всех направлениях, а область, где они возникают. имеет тенденцию врашаться как твердое тело. Если при этом полный момент количества движения сохраняется, а начальное вращение не походило на врашение твердого тела, то постепенно скорости на границе области будут претерпевать возмушения и там образуется вихревой слой.
Поскольку в пассатах участвуют не только воздушные массы из соответствующего им широтного пояса, а интенсивность конвекционных процессов неравномерна, то следует ожидать, что вихревые слои и, следова- Здесь напряжения исчезают только при очень большом г. Из этого можно вывести, что вихревое течение такого рода, в котором жидкие частицы смешаются в обоих направлениях по касательной к потоку, будет стремиться к выпрямлению, поскольку все частицы, получившие смещения по касательной, будут смещаться в радиальном направлении наружу.
При этом, естественно, никакие эффекты такого рода не будут влиять на профиль о(г). Величина Ь может равняться егв только в случае прямолинейного движения. 4. Прямолинейное течение г = во: В этом случае ь просто равно градиенту, и получается соот- ношение 30! ТУРБУЛЕНТНОСТЬ тельно, отдельные вихри будут образовываться на границах зон с интенсивной конвекцней.
Крупные вихри могут утратить нзотропность, если облака выстроятся в так называемые «стрнты» (улнцы), т. е. возникнут почтя двумерные образования, в которых горизонтальные смещения происходят перпендикулярно линиям облаков. Любая деформация воздушной массы в конечном итоге будет приводить к преобразованию компактной области в длинную пелену, поэтому неудивительно, что в тропиках облака обычно группнруются в улицы. Такие улицы имеют тенденцню возникать также н вдоль сдвигов скорости ветра, как правило, в направлении, мало отличающемся от направления ветра.
Даже если воздушная масса, движущаяся прямолинейно относительно земной поверхностя, одновременно участвует во вращательном движении Земли, может реализоваться состояние с нулевой завнхренностью. Это значит, что в северном полушарии однородные потоки с улицами кучевых облаков, ориентированными вдоль ннх, могут быть совершенно незавнхреннымя за счет ускорения воздушных частиц слева от своей осн н соответствующего замедлення частиц справа от осн.
Это может привести к образованию вихревых слоев н, следовательно, отдельных вихрей вдоль граннц конвектнвной зоны. Уже предпринимались попытки воссоздать этот процесс в лабораторных условиях, но пря этом следует учитывать, что окончательный результат сильно зависит как от степени аннзотропности горизонтальных скоростей, порождаемых в вихрях, так н от крупномасштабных пространственных вариаций интенсивности вихрей (как нзотропных, так н анязотропных). Недостатком проведенного нами грубого н упрощенного рассмотрения является то, что оно не учитывает сохранение завнхренностя воздушных частиц, перемещаемых вихрями.
Однако здесь, как н в случае прнменення классической теории пути смешення, конечное состояняе характеризуется либо постоянной, либо нулевой завнхренностью независимо от того, сохраняют ля частицы количество движения яля завяхренность, 7.11. Упругие свойства вихревых трубок в турбулентных течениях Вихри обладают свойством передавать волновое движение вдоль своей осн.
Исследуем эту особенность на простейшем прнмере. Пусть вращательное невозмущенное движение задано в цилиндрических координатах следующим образом: скорость равна (О, гь1, О), где й = й (г). Добавим малое возмущение скорости (и, о, и). Тогда трехмерное течение жидкости с еднннчной ГЛАВА т плотностью будет описываться следующей системой уравнений: ( +гв? ! дР' ! дРь дР (7 !! !) И Г дг р дг дг ' — (о+ ГЯ)+"" " " =О, (7.11.2) де ! дР' дР И ~ дг дю для линеаризированного возмущения давления и — = — + и — +ю — =и-Э-- д д д д сИ д~ дг дг Эг (7. 1 1.6) для невозмущенного течения. Линеаризированные уравнения имеют вид и+ 2!1о= а ° аР аг ° (7.11,7) — йа+ и — г(~а)+иа=О, д (7.1 1.8) !ате = —, дР дг (7.11.9) а уравнение неразрывности -д:-(ги) +ж(гщ) =О.
д д (7.!1,1О) Исключив р, о и и, найдем, что и удовлетворяет уравнению где Я' = дЯ/дг. (7.!!.12) Если волны начнут поглощаться трубкой и распространяться вдоль ее оси, то возмущение скорости и равно нулю на самой где для удобства возмущение давления обозначено через рр, так что давление выражается как Р Ро+ РР (7.1 1.4) Если возмущение давления пропорционально 1(йг — о(), что соответствует волнам, распространяющимся вдоль оси вращения со скоростью а/й, то в силу осевой симметрии имеем оператор — = — +и — +и — = — Й д .
д д И д1 дг (7.11.5) туввулвитйость веи, пульсирует, достигая некоторого максимума, при малых г, я затухает по экспоненциональному закону при г — ~-оо. Анализ упрощается, если ввести обозначения р=г би, х=мг, о =2Я(а. (7. 11. 13) Тогда в зоне с постоянной й уравнение (7.11.11) принимает вид -~-У- =(4 ° +1 — 5')9 (7.1!.14) В зоне с нулевой завихренностью, где 2Я 2= — Я'= —— Г2 ~ Г (7.11.15) получим ф=( —,'„+ 1) . (7.! 1.16) Я2) 1+ (7.11.18) Рассмотрим теперь турбулентное течение, которое образуется при истечении струи в невозмущенный воздух (рис. 7.11.1). На границах струи развиваются возмущения с очень малой частотой, так что изгибы, которые возникают на концах вихревых трубок, напоминающих спутанные макароны, будут распространяться вдоль них.
Если конец такой трубки получит мгновенное растяжение, то волна растяжения распространится вдоль оси трубки так, как если бы она была упругой. Давление на оси Примером простейшей ситуации с поглощением волн является область с вращением по типу твердого тела (постоянная Й), окруженная невращающейся жидкостью, простирающейся в бесконечность. Если коэффициент при ф в (7.11.14) для некоторых значений г отрицателен, а соответствующий коэффициент при <р в (7.11.16) положителен при больших г, то это является признаком существования решения искомого типа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
