Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 51

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 51)

Движение ложки в чашке чая или ведре воды отличается тем, что ложка имеет выступающие контуры н острые кромки, вдоль которых течение отделяется от границы, н вихрь может образовываться в жидкости прямо на линии раздела. Перед изучением механизма турбулентности как хаотического вихревого движения необходимо отметить, что прогресс может быть достигнут только в том случае, если движение будет эффективно разделено на среднее движение, которое поддается описанию, и случайное движение, которое хаотично. Мы, конечно, можем выбрать характерные масштабы длины или времени, условно разделяющие движение на две части, но возможно, что существуют границы, определенные самой природой движения.

Так, например, вполне реально упорядоченное движение большого масштаба, такое, как течение жидкости в прямой трубе кругового течения. На него могут быть наложены флюктуации, которые легко вызывают диффузию струйки введенных в трубу чернил, В трубе не возникает вихрей больше, чем радиус трубы а, и флюктуаций с периодом больше, чем па/У, где и — величина, несколько ббльшая единицы, а У вЂ” средняя скорость потока, определяемая по объемному расходу яа'И.

Естественное разделение на среднее течение и(Г) и пульсации достигается определением и(Г) как средней скорости, зависящей от Г, причем осреднение производится либо в фиксированном сечении на временнбм интервале, много большем, чем па/У, либо по длине трубы на расстоянии, много большем, чем Г. Такое естественное разделение не всегда возможно, поскольку в движении могут существовать вихри разных масштабов. Это означает, что если среднее значение определяется путем осреднения по пространству или времени нескольких малых вихрей или части одного большого вихря, то полученная величина будет сильно зависеть от выбора концов интервала осреднения.

Если в операцию осреднення вовлечено очень большое число вихрей, то оставшаяся часть не внесет существенного изменения в полученное среднее; точно так же, если при осреднении учтена очень малая часть вихря, то чуть большая часть его при осреднении даст близкую величину. Тогда последовательность значений, выбранных в различных частях большого вихря, может послужить только для выяснения формы вихря, который рассматривался бы как часть среднего ТУРБУЛЕНТНОСТЬ движения. Так, вихри, размеры которых сильно отличаются от масштабов выборки, попадают либо в разряд случайных флюктуаций, которые мы не рассматриваем, либо рассматриваются как элемент среднего движения.

Аппарат осреднения перестает работать или может быть использован только с существенными ограничениями, если размеры вихрей близки к масштабу выборки, которым в нашем предыдущем случае был шаг сетки. Теперь мы обратимся к механизмам, при помощи которых хаотический вихревой режим вызывает эффекты, которые мы определяем как турбулентность. 7.3. Напряжения Рейнольдса; путь смешения; вырождение вихрей Среднее значение величины д, зависящей от пространственной или временной координаты з, определяется при з=зв выражением и+~ д (за) = †,, ) д (з) нз. (7.3.1) 2а Здесь д — среднее значение д на интервале длиной 2а с серединой зо, где зв может быть либо точкой в пространстве, либо моментом времени.

Чтобы быть эффективным, это определение должно подразумевать, что д не зависит от а для широкого диапазона величин и. Если и слишком велико, мы не сможем выявить изменение д от одной точки зв до другой, близкой к ней; если и слишком мало, то мы обнаружим, что д с изменением зв быстро флюктуирует, а основная цель предлагаемого определения — ввести среднюю величину, совсем не зависящую от флюктуаций.

Успех последующего анализа зависит от существования определенного диапазона величин а, которые дают одну и ту же величину д. Применительно к рассматриваемому случаю а должно находиться в провале спектра масштабов вихрей, принимающих участие в движении. Теперь мы можем написать (7.3.2) где д' — случайная составляющая. По определению д =О, д=д. (7.3,3) ГЛАВА т Для двух компонент скорости пг и и; имеем: пРт =(п~+ п1)(п( + яд) = ВРт+ пРт+ птп~ + и и! = = п~п! + О~О~, (7,3.4) поскольку по (7.3.3) тьпт=прт=О, Уравнение движения (1.3.26) и неразрывности (дп;/дх~ = О) для несжимаемой жидкости могут быть объединены и дадут дг р ~+ дх.

ню д (7.3.5) I Если теперь мы возьмем среднее значение каждого члена, то случайная составляющая появится только в произведении, и мы получим для случая постоянного р де~ — 1 р~ д' + а (п,п~)1=рР, + — (р,, — рп,пт). (7.3.6) Это уравнение записано в той же форме, что и (7.3.5), но является уже уравнением для ускорения среднего движения, выраженного через среднюю массовую силу Р, и градиенты средних напряжений ри с добавочным членом — ре,ю,. Этот добавочный член называется напряжением Рейнольдса, а (7.3.6)— уравнением Рейнольдса для среднего движения.

Здесь величина рн есть сила, действующая по направлению оси 1 на единичную площадку, нормальную к оси 1, и представляет величину переноса рй составляющей импульса в направлении 1 посредством вязких напряжений. Среднее значение вязкого напряжения определяется так, чтобы его флюктуации в среднем равнялись О. Это то самое напряжение, которое было бы порождено вязкостью, если бы скорость потока всюду принимала свое среднее значение, а вязкость не имела бы флюктуацнй.

Величина р п~п, есть среднее значение переноса 1-й компоненты импульса рп'. со скоростью п'. в направлении оси 1. Эта величина называется турбулентным напряжением, и в вихревом режиме она много больше средней величины вязкого напряжения рп, за исключением случая 1=1, когда среднее значение нормального давления заметно больше турбулентного нормального давления, определяемого величиной рп',.'. Механизм турбулентного касательного напряжения прост. Если имеется градиент средней скорости и; в направлении 1, то флюктуация и', коррелирует с флюктуацией и'. по градиенту. Таким образом, если о возрастает в направлении у (рис. 7.3.1), то частица жидкости, движущаяся в направлении у, обладает, ТУРБУЛЕНТНОСТЬ в среднем, меньшим и, чем в области, куда она движется, и, следовательно, несет отрицательное приращение х-й компоненте импульса.

Если частица проходит расстояние 1, называемое путем перемешиванил (смешения), до того, как она смешивается с новым окружением, то приращение ее скорости О'„будет равно — 1(с(х /б(у). Путь смешения сам по себе не одинаков для различных частиц жидкости, а представляет собой лишь статистическое,среднее; более того, может оказаться, что он различен для разных характеристик.

Так, частица может более легко обмениваться со своим окружением количеством движения вдоль градиента давления, чем такимн характеристиками, как теплота Рнс 7.З. К Волннкнаяенне приращения скорости и потоке со сдви- гам Если градиент средней снорсстн поло щителеп, то частила. смещаясь а положительном напраалеинн, присбрстает отрицательное приращение снорасти е,.'- — ~бсаГйр или примесь, которые рассеиваются путем молекулярного или мелкомасштабного перемешивания. Иногда, как это было сделано впервые Прандтлем, предполагается, что у флюктуаций скорости нет преимущественного направления и, следовательно, и' совпадает с и'. Это положение р х основано на подтвержденных теорией наблюдениях, что флюктуации скорости быстро приходят в такое состояние; однако нижеследующее рассуждение справедливо только при условии, что различные компоненты находятся в одном и том же соотношении на любом расстоянии от границы.

Тангенциальное напряжение т, которое представляет собой силу, действующую вдоль гранивы на единичную плошадку, расположенную параллельно границе, равно величине переносимого через границу и направленного вдоль нее импульса, Таким образом, если мы примем гипотезу Прандтля, что масштаб вихря и путь смешения зависят только от расстояния до границы у, то получим й 7 дол~я т = ро„п„= крут ( — ") . ~ду)' (7.3,7) Это выражение часто записывается в виде (7,3.8) что дает верный знак, который получается из физических ГЛАВА Г соображений.

Здесь х †безразмерн величина, равная отношению 1 к у, и если турбулентность порождается работой, совершенной против турбулентного тангенциального напряжения, и диссипирует в тепло посредством более мелких вихрей, то можно считать, что равновесие достигнуто и что и постоянно. Данное рассмотрение является просто одним из приложений теории размерностей; существует и много других альтернативных определений. Так, Карман предложил считать, что турбулентная вязкость определяется соответствующей комбинацией типов профиля скорости, которая порождает турбулентность, и предположил, что ~ двк1ду )з( дух)' (7.3.9) Это определение означает, в сущности, то же самое, поскольку профиль скорости задается выражением и„= — ~ — ') 1ц у + сопз1, (7.3.10) если предположить, что т не зависит от у, так что градиент давления в направлении х отсутствует.

Этим выражением задается логарифмический профиль скорости вблизи границы, появления которого следует ожидать в случае, когда рядом нет другой границы, и на достаточном расстоянии от пее течение становится турбулентным. Это означает, что вихри должны быть достаточно велики, чтобы не быть подавленными вязкостью жидкости. Это означает также, что градиент скорости тем меньше, чем больше расстояние от стенки, поскольку течение происходит в условиях большей турбулентной вязкости.

Характеристики

Список файлов книги