Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Наш подход несправедлив, когда длина волны мала и сравнима по величине с толщиной вихревого слоя. Кроме того, выше предпола- МЕХАНИКА ОБРАЗОВАННЯ ОБЛАЧНЫХ ВАЛОВ галось, что течение в каждом слое безвихревое и в невозмущенном состоянии однородное. Изложенная теория не позволяет сделать каких-либо выводов, когда волны становятся большими, а также когда на поверхности воды под действием ветра возникает рябь н определяющим становится поверхностное натяжение. Пользуясь более сложными методами исследования, Дрейзин (1957, 1961, 1974), Майлз (1958, 1959), Хоуард (!961), Уоррен (1968, 1974) н другие рассматривали случай, когда между слоями есть переходная зона.
При этом были получены критерии, аналогичные неравенству (6.1.13), дающие, однако, для предела устойчивости меньшие значения длин волн. Таким образом, указанные авторы находят максимальное значение величины, аналогичной стояшей в правой части неравенства (6.1.13), прн котором возможна некоторая степень неустойчивости. Их интересуют также критерии, позволяющие выяснить, когда теряется устойчивость.
Мы преследуем другую цель. Нас интересует не строгий критерий потери устойчивости, а его математическая форма, с помощью которой можно было бы выяснить, что должно произойти в реальных условиях, чтобы течение стало неустойчивым. Нас интересует также характер последующего движения. Излагаемый ниже подход был предложен в работе Скорера (1971). Пусть вихревой слой имеет толщину Лг, а градиент скорости в нем ц равен проекции завихренности на нормаль к плоскостям, в которых происходит движение. Имеется также градиент плотности 8, так что Ьр = рр Ьг, Ь(7 = я дз.
(6.1.14) В рассматриваемом слое вертикальное смещение $=А соз йх, н в первом приближении частица в центре слоя будет иметь горизонтальную составляющую скорости иссоз йх, причем в начальный момент ее скорость равна нулю, а жидкость над н под ней движется в противоположных направлениях. Это движение полностью определяется завихренностью слоя, и жидкость, движущаяся в нем, имеет свое собственное поле скоростей, Элемент слоя длиной бх относительно гребня волны, смешение которого равно А, имеет координаты 1х, А (!в — соз йх) ! .
Этот элемент обладает завнхренностью т!Лгбх и сообщает частице, находящейся на гребне волны, горизонтальную составляющую скорости Ч Ахах А (! — сохах) 2хх х Чтобы получить это выражение, мы предположим, что ГЛАВА О А(1 — сов йх) мало по сравнению с х. Поэтому для скорости частицы на гребне волны, обозначаемой ио, имеем Ч ОгА (1 — соз Ах) ( Ч ЬгА р о[о 1/оох „ ио= 2охо о(х = — ) о " хо их = = — — ~ — з!и' '/,йх! + — ) й — о(х, ЧагА о 1 . о~ 1 ЧзгА Г о[пах (6:1.16) Первый член в выражении (6.1.16) обращается в нуль, так как представляет собой интеграл нечетной функции от х, которая в бесконечности сама обращается в нуль.
Интеграл во втором члене хорошо известен и равен йи 1см., например, уравнение (5.19.2) ) . Следовательно„горизонтальная составляющая скорости жидкости в вихревом слое определяется выражением и = и, соз йх ='/,т!дгАй соз йх. (6.1.17) Вертикальная составляющая скорости на гребне волны равна нулю, так как завихренность, создающая движение, симметрична относительно оси г. Здесь мы сталкиваемся с интересным расхождением с изложенным выше классическим подходом, которое, по-видимому, состоит в том, что амплитуды волн растут, а их форма (синусоидальная) остается неизменной. Отметим, что скорость волн равна нулю, если оба слоя имеют невозмущенную скорость ~К так как при рь приблизительно равном рм действительная часть а равна нулю !уравнение (6.1.10)].
Кроме того, из уравнения (6.1.3) следует, что ю и ь не совпадают по фазе, и вертикальная скорость гребня волны равна нулю, хотя она и растет экспоненциально. Поэтому механизм роста в классической теории не рассматривается. Так как и, согласно уравнению (6.1.17), меняется в горизонтальном направлении, то завихренность, сносимая с этой скоростью, имеет тенденцию накапливаться вблизи узлов, расположенных на склонах волн, движущихся вниз (например, Ф на рис. 6.1.2), и уходить от узлов Ж' на склонах волн, движущихся вверх. Скорость накопления завихренности на единицу длины слоя равна — т!Лг(ди/дх), или после преобразований '/о(о! Ьг)' Айо з!и йХ. (6.1.18) В то же время завихренность в слое меняется за счет действия силы тяжести на изменение градиента плотности со скоростью, представленной членом ЙХй в уравнении (1.4.1) .
Поэтому скорость создания новой завихренности ~д(д~/дх) в расчете на единицу площади поперечного сечения слоя равна МЕХАНИКА ОБРАЗОВАНИЯ ОБЛАЧНЫХ ВАЛОВ скорости на единицу длины слоя, т. е. ф гаг — А соз йх = — ф АЛАЯ з1п йх. (6.1.19) а Если сумма значений выражений (6.!.18) и (6.1.19) положительна, то при положительном з(п йх завихренность будет накапливаться вблизи узлов на склонах волн, движущихся вниз, куда она будет сноситься. Соответственно в узлах на склонах, движущихся вверх, завихренность будет убывать. Так как такое перераспределение завихренности будет создавать тенденцию к увеличению высоты гребней волн и глубины Рис. 6.1.2.
Замена разрыва вихревым слоем с синусондальным смещением. Сзсорость гребня волны рассентывается иа уравнению завнхреннссгн. Завлхренность ианаеливается в узлах у, раслолоыентзых на нисходящем схлоне волны, н удаляется от МС впадин между ними, то возмущение будет расти. Точно так же можно заключить, что при отрицательной сумме значений выражений (6.1.18) и (6.1.19) и положительном з!пйх завихренность будет расти вблизи узлов на склонах волн, движущихся вверх, и волны будут сглаживаться.
При этом возмущение не будет развиваться, а будет распространяться как устойчивая волна или колебаться около равновесного невозмущенного положения, Следовательно, условие потери устойчивости имеет вид '/у(т! Ьа)зй > Д Дг или й > й, = 2аййрйз. (6.1.20) Следует добавить, что толстый вихревой слой при очень малых длинах волн неустойчив. Если предположить, что действует некий механизм, который постепенно увеличивает завихренность слоя г), то потеря устойчивости сначала произойдет на длинноволновом конце диапазона неустойчивости, определяемого неравенством (6.1.20). С помощью уравнения (6.1.14) можно показать, что это решение совпадает с решением (6.!.13). Обозначив толщину вихревого слоя через й, из выражения (6.1.20) найдем (6.1.2!) ГЛАВА а где й1 — число Ричардсона для вихревого слоя (см.
равд. 7.5). Классические исследования Майлза, Хоуарда и Уоррена показали, что неустойчивость не развивается, пока число Ричардсона в какой-либо точке поля течения не станет менее 1/ч. Если оно примерно равно этой величине, то имеет место приближенное соотношение (6.1.22) — 4пл, «с которое позволяет грубо оценить длину волны, с наибольшей вероятностью появляюшейся в вихревом слое толщиной Ь. Механизм, посредством которого число Ричардсона может быть уменьшено настолько, что разовьется неустойчивость, рассматривается ниже. Любые выкладки, приводящие к результату, подобному уравнению (6.1.22), неизбежно являются весьма приближенными, так как в действительности ни один слой не может иметь постоянное число Ричардсона, так как оно обязательно меняется по глубине слоя.
Критерии потери устойчивости должны зависеть не только от величины числа Ричардсона, но и от того, как оно меняется в пределах слоя. Так, вовсе необязательно должно быть неустойчивым течение, в котором всюду К!('/б Очевидным примером является случай постоянной плотности при постоянном сдвиге, когда для всего поля течения )т! = О. Согласно развиваемой теории устойчивость теряется благодаря концентрации завихренности в слое, которая накапливается в узлах в процессе развития неустойчивости, и в результате вихревой слой свертывается в валы (Ь!!!овгз) о,— так называют это явление, чтобы не путать его с гравитационными волнами, вызываемыми внешними возмущениями вроде выступов на границе течения или сильной конвекции.
Валы всегда образуются группами и, как будет показано ниже, являются главной причиной перемешивания в устойчиво стратифицированной среде. С указанным явлением часто сталкиваются при наблюдении облачных образований, и оно производит сильное впечатление, так как демонстрирует внезапное появление периодической структуры с постоянным шагом, которому вовсе не предшествует возникновение неустойчивой ситуации, когда случайное возмущение вызывает резкое изменение состояния воздушной массы. Напротив, процесс имеет характер постепенной дестабилизации, когда вслед за потерей устойчивости в узком диапазоне длин волн происходит стремительный рост и Довольно крупные периодические структуры с постоянным гпа~ом, каждый элемент которых обладает внутренней циркуляцией. Для наглядности нх можно было бы сравнить с буклями.— Прим, ред.
МЕХАНИКА ОБРАЗОВАНИЯ ОБЛАЧНЫХ ВАЛОВ 257 возмущений, Вязкость не играет существенной роли в определении минимальной длины волны, при которой проявляется неустойчивость в атмосфере или в океане, где это явление широко распространено (см. Вудс и Уайли, 1972). Если дестабилизация продолжается и после появления первых неустойчивых волн, это приводит лишь к увеличению скорости их роста. Волны других длин не играют заметной роли, так как волна, первой потерявшая устойчивость, растет экспоненциально и продолжает доминировать. 6.2.
Развитие структуры «кошачий глаз» Рассмотрим теперь в общих чертах развитие неустойчивых волн, имея в виду получить представление о конечном результате этого процесса, Согласно классической теории увеличивается только амплитуда волн. Выше было показано, что их рост обусловлен накоплением завихренности в узлах, расположенных там, где жидкость движется вниз по склону волны, и в свою очередь способствует такому накоплению завихренности. Эксперименты, проведенные Торном (1968), позволили изучить многие важные свойства валов, которые трудно наблюдать в природе. Вудс (1968) показал, что они существуют и под водой, а Скорер (1972) рассмотрел различные формы облаков, образующихся при развитии облачных валов. В результате растяжения вихревого слоя в восходящих узлах увеличивается завихренность в нисходящих узлах, т.
е. там, куда сносится завихренность. За этим следует быстрое изменение характера течения, показанное на рис. 6.2.1. В третьей стадии развития (рис. 6.2.1) в точке А оказывается жидкость, обладающая большей плотностью, чем жидкость в точке В, и, следовательно, в свернувшихся вихрях жидкость оказывается в неустойчивом состоянии и начинает перемешиваться. В последней стадии развития образуется структура, называемая «коп4ачий глаз». Перемешанная жидкость собирается в отдельные ролики, выше и ниже которых продолжается волновое движение. При этом и в верхних, и в нижних волнах происходит сдвиг по фазе на '/4 в направлении течения, и они оказываются в противоположных фазах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
