Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Уравнение нестационарного движения, аналогичное уравнению (6.3.4), имеет вид й 4 = йРБ5 з!и ф, (6.3.6) где 61 — время, в течение которого поддерживается наклон на угол ф. Этим объясняется, почему в уравнение (6.3.4) входит д-'. при медленном движении по заданной волновой структуре наклон выделенного объема воздуха сохраняется дольше. Иногда думают, что горизонтальная составляющая ускорения потока, за счет которой сокращается расстояние между линиями тока, сильно влияет на число Ричардсона. Если вектор завихренности перпендикулярен направлению течения, то он не меняется в потоке, движущемся ускоренно, так как длина вихревых линий остается неизменной, В то же время при сближении поверхностей постоянной энтропии р увеличивается.
Следовательно, число Ричардсона также увеличивается и слой стабилизируется. Поэтому при замедлении течения происходит его дестабилизация. С другой стороны, если вектор завихренности направлен по потоку (эту его составляющую обозначим через $) и течение не меняется в поперечном направлении у, то величина $ растет в направлении х вследствие ускорения и растяжения. Таким образом, используя уравнение (1.4.6) для гв, приближенно получаем ГЛАВА 6 При обычных движениях, происходящих в атмосфере или океане, ускорения невелики.
Однако наклон слоя может оказывать сильное влияние, особенно в случае, если длины волн велики или если с подветренной стороны горы срываются вихри, а волны распространяются по потоку и их скорость относительно воздуха мала. Рис. б32 Схематическое изображение типичных стадий развития валов на гребне волны В ннжиеа части рисунка иоказаво образование ванов ао авадвве иежду воанаин, где они обычно ие видам В уравнении для подветренных волн важнейшими членами являются (см., например, уравнение (5.8.24)1 72с+ Ф Г =о, "о (6.3.12) где ь — смещение по вертикали в случае двумерного движения в плоскости хз.
В тех слоях, где р много больше, чем на других уровнях, кривизна профиля Ь(з) максимальна, если не окажется, что ь на этом уровне мало. Поэтому наиболее вероятно, что именно на этих уровнях градиент профиля Ь меняет знак и Ь достигает максимума. Следовательно, слои с большим Р, помимо того, что они являются слоями, в которых при наклоне число Ричардсона увеличивается сильнее, чем в других слоях, характеризуются максимальной амплитудой волны и максимальным бз, когда влияние на К1 максимально. По этой причине волны в атмосфере, возникающие при обтекании гор, особенно часто приводят к образованию валов, последовательность развития которых показана на рис. 6.3.2. 2бб механика овгхзовлиия овллчных вллов Действительно, планеристам давно уже известно, что верхний слой слоисто-кучевых облаков обычно соответствует уровню, на котором подветренные волны достигают максимума.
Обусловлено это излучением тепла с верхней поверхности облака, в результате которого нижележащие массы воздуха охлаждаются (вследствие направленной вниз конвекции), а вблизи верхней части облака образуется слой, обладающий большой статической устойчивостью„в котором развиваются валы. Наблюдения подтверждают, что при возникновении волн валы чаще всего формируются в верхних частях облаков (см. книгу Скорера С1оцдз о11пе Мог!й, гл.
6). 6.4. Динамическая генерация слоев, обладающих большой устойчивостью (6.4.1) В этом разделе излагается весьма эффективный метод, применимый для анализа многих задач устойчивости, в которых несущественны вязкость и граничные условия и, следовательно, отсутствуют характерные линейные размеры, которые надо было бы вводить в дисперсионное соотношение для данной среды. Те же результаты можно, конечно, получить и с помощью классической теории возмущений. Рассмотрим горизонтальный воздушный поток в направлении х при условии геострофического равновесия, обладающий статической устойчивостью р и вертикальным и горизонтальным градиентами скорости ди/дя и ди/ду.
Подсчитаем работу, совершаемую против сил, действующих при перемещении воздушных масс. Если эта работа окажется отрицательной, то перемещение будет самоподдерживающимся, т. е. будет представлять собой один из видов неустойчивости. Ниже будет показано, что при некоторых перемещениях создаются большие градиенты потенциальной температуры, которые, как мы только что видели, являются вероятными причинами возникновения валов и, следовательно, турбулентности ясного неба, которая почти всегда обусловлена их формированием.
На объем воздуха, перемещающийся по вертикали на расстояние с, действует сила плавучести у~с, которая на пути перемещения совершает работу ~ яа с г/с = '/ратас~. о В результате указанного перемещения скорость объема воздуха изменяется на с(ди/дг), и поэтому на него будет действовать отклоняющая сила, обусловленная вращением Земли, отличающаяся от аналогичной силы для окружающих объемов воздуха ГЛАВА 6 на величину /с(ди/дг), где / — проекция вектора угловой скорости Земли на местную вертикаль. Если под действием этой силы объем воздуха переместится в направлении ее действия на расстояние Ь, то будет совершена работа ,Г Ьс —.
ди ди Но при смещении на расстояние Ь в направлении у объем воздуха приобретет скорость Ь ((ди/ду) — Д в направлении х (Ьх — абсолютная завихренность), и если предположить, что / постоянно на длине перемещения, то работа, совершаемая при перемещении Ь в направлении у соответствующим приращением отклоняющей силы, равна ь ~),/Ь ( —" — ~) ИЬ = '/,/ ~-~~-' —,/) Ь'. (6.4.3) Если суммарная работа на перемещении (Ь, с) в направлениях у и г положительна, то такое перемещение неустойчиво, и около линий тока может возикнуть циркуляция, поскольку положительная работа может быть совершена также на перемещениях ( — Ь, — с) других объемов воздуха, что создает условия для замкнутой циркуляции.
Сложив все три составляющие (6.4.1), (6.4.2) и (6.4.3), получим условие неустойчивости '/,,T ( —" —,/') Ь' — /Ьс —" — '/,фс' -> О. (6.4.4) Течение неустойчиво при с=О, если (ди/ду))/. Смысл этого утверждения состоит в том, что течение в атмосфере, вращающейся вместе с Землей, имеет циркуляцию, которая убывает в направлении внешней нормали к криволинейным линиям тока (см. равд. 3.12). Формулируя то же в локальных терминах, можно сказать, что касательная, движущаяся вместе с частицей, вращается в направлении, противоположном направлению завихренности жидкости (рассматривается только составляющая, нормальная к земной поверхности).
Выше не учитывалась кривизна линий тока относительно земли (а следовательно, и пиклострофическая сила). В большинстве случаев ди/ду примерно равно Я. Однако с/Ь и ди/дг могут быть отрицательными. Действительное значение с/Ь, удовлетворяющее условию (6.4.4), существует, если (6.4.5) Условие нулевой неустойчивости получим, заменив в выраже- МЕХАНИКА ОБРАЗОВАНИЯ ОБЛАЧНЫХ ВАЛОВ (6.4.6) и =25 10 з. Ь (6.4.7) Диапазон значений ди/ду и р таков, что величина с/Ь меняется примерно в 3 раза.
Соответствующее значение вертикального градиента скорости, как следует из соотношения (6.4.5), равно (1/2йФ) "', т. е. — =07 10 'с ди (6.4.8) что соответствует градиенту 7 м/с км. Это вполне обычная величина; при ббльших градиентах степень неустойчивости увеличивается. С ростом производной ди/ду, когда ее величина стремится к /, с в соответствии с уравнением (6.4.6) уменьшается и ячейки сплющиваются сильнее; однако даже и в случае ди/ду=О величина с/Ь меняется не так сильно, чтобы это могло сказаться на результатах нашего анализа. В случае ди/ду=О условие (6.4.5) иногда выражают через число Ри- чардсона (ди/ду)2 К1= ~ (1 (6.4.9) Тогда неравенство (6.4.4) приводится к виду а2+ 2, а+! СО, (6.4.10) где с (из) и Ь (6.4.1 1) ниях (6.4.4) н (6.4.5) знаки неравенства на знаки точного равенства.
Тогда получим ( У [У вЂ” (ди/ду)1 ~пв 2лр Эта величина представляет собой удлинение вторичных ячеек, которые развиваются в геострофически движущемся потоке. Чтобы получить представление о форме ячейки, подставим в уравнение (6.4.6) следующие характерные значения: / =5.
10 ' с ' (приблизительно на широте 45'); и= 10' см/с'; ~=10 ' см ' (при дТ/даж'/АГ); — = '/2у =2,5 м/с на каждые 100 км. ди ду = Тогда получим ГЛАВА 6 и если Й!(1, то условие (6.410) удовлетворяется для диапазона значений с/Ь, которые в свою очередь удовлетворяют двойному неравенству 1 — (! — К1) ' < Ю 'Я < 1 + (1 — К!)'". (6 4 12) Знак ди/дг не имеет значения, и области, в которых ди/дг может достигать больших величин, находятся там, где струйное течение теряет скорость, взаимодействуя с медленно движущимся воздухом, В северном полушарии, где 1 всюду положительно, а ди/ду положительно слева от струйного течения, наиболее вероятной областью развития неустойчивости является именно эта область струи (особенно на выходе), так как здесь приращение скорости превышает значение, принятое при вычислении интеграла (6.4.3), соответствующего геострофическому течению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
