Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Поэтому для стационарного течения используем полученное из (3.2.2) уравнение е1 ч . угад — =2хеп+ к~уй Ь, ч Гллвл 3 124 связанных с действием тангенциального ускорения, поскольку они рассмотрены в разд. 1.4 и не являются непосредственной причиной возникновения вторичной завихренности. П е положим теперь, что частица жидкости получила малое р д ом вра т ща ельное смещение относительно линии тока; при эт малому возмущению подвергались плотность и положени е вихре х евых линий, содержащихся в ней.
Предполагается, что на каждом из коаксиальных цилиндров плотность первоначаль о н -в,.ь-к.(-н)ее Р' Рис. 3.!О.!, Панорот аснлкой частицы относительно касательной к его траекто. рин на малый угол зр. Ноиые значения и и К обозиачеиы и~ и Ни постоянна, или, иными словами, ускорение в отсутствие возму- щения конечно, Вектор 11 первоначально направлен вдоль главнои нормали; б сч тать его положительным, если он направлен от оси вовне, поскольку это состояние более устоичиво. Вектор , касательная 1 и бинормаль Ь лежат в плоскости, ренности тн, касател ос е сме ения перпендикулярной (с и и.
Положения и и та по л щ представлены векторами К! и тн!. Из рис. 3.10.1 очевидно, что для малого поворота на угол ~р относительно направления 1 можно записать (3.10.2) ен! и= — еа. Ьр, К! Ь= К пр, (3.10.3) так что с учетом ез ° 1 д о де = й дн да (3.!0.4) ВТОРИЧНАЯ ЗАВИХРВНИОСТЬ из уравнения (3.10.1) получим — 1 — ы й + — е( . п1 <р = — 1азр. (3.10.5) и'зз д е 2 у е Уравнение (3.10.5) описывает неустойчивую ситуацию, если коэффициент при ср положителен, т. е. если 2рз = — 2пь Ь+ с)11 ° и О, (3.10.6) поскольку зс всегда считается положительным, так как мы условились, что нормаль и направлена к центру кривизны.
ьпилсироеаиное напрнелепие чпсгп Рис. 3!0.2. Координаты и переменные, используемые при анализе спирального течения. Векторы С, Ь и лежат в плоокости, касательноа к цилиндру движении; ось а направлена вдоль обрааувжеа о — таитенцнальиаи, а ы — оссиан коипонеиты скорости Смысл члена дк п прост, так как при нулевом векторе завихренности из условия (3.10.6) следует, что при возрастании плотности извне к центру кривизны центробежная сила начинает вносить неустойчивость.
В случае прямолинейного смещения частицы мы предполагаем, что поле давления определяется полем невозмущенного потока и малое смещение рассматриваемой частицы не вызывает в нем изменений. Таким образом, любые ускорения возникают только под действием центробежных сил, которые уже не будут находиться в равновесии с полем давления. Чтобы рассматривать этот вопрос далее, предварительно напомним элементарные свойства спирали. Пусть частица находится в точке с цилиндрическими координатами г, 6, з (рис.
3.10.2). Она имеет составляющие скорости и, и, га в этих направлениях, а ось г направлена вдоль оси ГЛАВА 3 спирали. При спиральном движении имеем и = О, о = о (г), в5 = 6в (г), р = р (г) (3.10.7) Здесь 8 — угол между касательной к кривой и направлением оси, вдоль которой компонента скорости равна в. Компонента скорости о называется тангенциальной, или окружной, ч — угол между вектором завихренности и направлением оси. Радиус- вектор х (вектор положения точки) задается следующим образом: (3.10.8) х=(г, б, з) в цилиндрических координатах н х=(гсозб, гз!п б, г) (3:1 0.9» Однако ч = д1= д (О, з!п р, соз В) (3.10.11) в цилиндрических координатах равно ч=д( — з!п рз!пб, з!прсозб, совр) (3.10.12) в декартовых координатах, так что, используя (3.10.10), получаем дб дг г — =з!пр, =совр.
д5 ' 55 (3.10.13) Дифференцирование (3.10.12) по 5 дает д1 / дб дб 5п= — =~ — з!пбсозб —, — з!п рз!пб —, 0)= д5 д5 д5 — з!п р( — соя б, — з!об, 0) 5 г (3.10,14) (3.10.13) в декартовых координатах н хп = — з!ото( — 1, О, 0) ! (3.10.16) в цилиндрических координатах. Так как и — единичный вектор, то — В— 5= — з!и'В= —. 5 ' 655' (3.10,17) в неподвижных декартовых координатах. Мы должны проводить все дифференцирования по 5 в декартовых координатах, поскольку направление г меняется, так что 1= — =~ — гз!пб —, гсоз —, -3,— !. (3.10.10) дх г д6 дб дг ! д5 ~ д5 д5 ' 35 127 ВТОРИЧНАЯ ЗАВИХРЕННОСТЬ Подобным же образом вычислим кручение кривой, дифференцируя вектор Ь, равный Ь=(0, — совр, э!п р) (3.10.18) в цилиндрических координатах и Ь=(сов рэ!п6, — сов рсоа 6, э!п Р) в декартовых координатах. В результате имеем — =~соэ~соэ6 —, соэрэ!п6 —, О)= дь дВ дб д5 д5 д5 ' ! = — э!п рсоа р(соэ6, эш6, О) = — тп.
г (3.10.19) (3 10„20) Следовательно, То!а= [0, — — ' — — (га,)1 да, ! д дг ' г дг (3.10.22) в цилиндрических координатах и, таким образом, ар = го1 и = [О, —, — — (ог)1 (3.10.23) в этих координатах. Из (3.10.18), обозначив о=д э)п (3, в= =а сов р, получим де ! д арЬ = — соэ ~ + — э!п ~ — (ог) = дг г дг = — сов~+ — э!п ~+ — э!и р= — + —. (3,10.24) д55 дп . Р дч Рр дг дг г дг чг Для несжимаемой жидкости плотности р, которая первоначально Является только функцией г, коэффициент !5' в (3.10.8), знак которого определяет устойчивость, равен да Рр Н а др дг аг ' р дг ' Но для равновесного течения уравнение движения имеет вид Рр ! др г р дг' (3.10.26) откуда (р + з/ рат) Ро (3 10 2У) рч дг рд дг = — э!п Р соэ ~ = к с1д ~ = — "„. (3.10.21) В данном случае имеет место осевая 'симметрия, когда все величины являются функциями только г, так что го1 для любого вектора а равен ГЛАВА Э Здесь ре — полное давление, измеряемое трубкой Пито, связанной с неподвижной системой координат и ориентированной против течения, вдоль — й Отсюда следует, что течение, в котором полное гидродипамическое давление убывает при удалении от оси, неустойчиво По отношению к малым вращательным смещениям частиц жидкости относительно линий тока.
Следовательно, стабильным будет такое распределение давлений, в котором минимальное полное гидродинамическое давление окажется вблизи оси. Мы уже отмечали в равд. 3,5, что Готорн наблюдал тенденцию жидкости приобретать подобное распределение при движении в прямой трубе (рис. 3.5.7). Следствия этого результата оказываются более далеко идущими, чем это кажется на первый взгляд, поскольку в некоторых случаях знак !Аз зависит от выбора системы координат, хотя это, очевидно, не имеет ничего общего с физикой явления. Таким образом, ро = р + — ру' = р + ~ р (о' + ю') (3.10.28) ! ! В уравнения движения по спирали входит абсолютная величина п круговой скорости, которая должна быть измерена относительно невращающейся системы координат; угловые скорости также задаются абсолютными величинами.
Но по отношению к скорости Ге (к которой добавляется константа Геэ — постоЯннаЯ скоРость пеРемещениЯ подвижной системы координат в направлении отрицательных е) движение не симметрично и зависит от знака Гв. В случае др/дг=О член ргвдгв/дг может быть заменен на р(Ге+ шэ)дге/дг, величина и знак которого могут быть выбраны произвольно при выполнении условия дГе/дг-ьО.
В этом случае знак производной дро/дг зависит от' выбора нуля для отсчета Гв; то же относится и к знаку !Аз. Это означает, что при дГе/дгчьО всегда существуют некоторые возмущения, порождающие неустойчивость. Добавление Гвэ к Ге проявляется в изменении шага по спирали (!. Естественно, движение само по себе не зависит от того, с какой скоростью движется координатная система; изменяя направление касательной 1, которое определяется отношением о/Ге, мы просто переходим к изучению поведения другого возмущения в течении. Ясно, что движение может переходить из устойчивого в неустойчивое при изменении знака и величины др/дг; неустойчи- ВТОРИЧНАЯ ЗАВИХРВННОСТЬ вость может стать более вероятной при убывании плотности в направлении изнутри вовне, так как при этом член '(а (др/дг) (па+пут) в (3.10.29) отрицателен.
Если теперь пренебречь влиянием градиента плотности, то можно вернуться к уравнению (3.10.5) в форме дтт а — = — ау ° Ьгр. дат (3.10.30) Знак произведения оуЬ определяется взаимным расположением векторов 1 и ш в плоскости, касательной к коаксиальному ци- ц — - к со Касплувлалпл ллжлвсл~ь (садепаптпцал й ц Ъ) рнс. З!О.З. Полажение векторов т и щ в касательной плоскости по отношению к оси локальной спирали. движеиие иеустовчиво, если вектор г, отиоситеаьио «оторого вращается возмущаемая жидкость, оказываетс» между осью и иаправаевием вектора завихреииости лнндру, Если ш лежит между 1 и Ь, то скалярное произведение «УЬ положительно, а движение устойчиво. Если р(у, то движение неустойчиво (рис.
3.10.3). Таким образом, движение неустойчиво в случае вращений относительно оси, находящейся в плоскости, касательной к цилиндру и нормальной к и, и располагающейся между вектором завихренности и направлением осн спирали, соответствующей данному локальному смещению (рис. 3.10.4). В принципе ось спирали может быть найдена, если задать величины х н т, по которым можно определить р при помощи (3.10.21); искомое направление находится под углом р к вектору 1 в плоскости, нормальной к п, Величины к, т, 1 и п могут быть определены для любой точки, в окрестности которой известна траектория, с использованием только первых производных поля скоростей.
Мы вели рассмотрение в предположении, что спираль имеет правостороннюю ориентацию, а р положительно, как показано на рис. 3.10.4. Схемы для случаен, когда углы р или у отрицательны, являются просто зеркальным отражением приведенных выше рисунков, которые указывают направления, относительно которых вращения будут устойчивыми или неустойчивыми для различных положений оу относительно оси спирали. Когда вектор 1 направлен назад вдоль оси, это просто означает, что составляющая скорости и отрицательна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
