Р. Скорер - Аэрогидродинамика окружающей среды (1115254), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(3.10.35) Минимум достигается при р=0, а максимум — когда углы малы и откуда Г (44 (3.10.36) При этом условии можно ожидать, что для данного значения г будет иметь место наибольшее возмущение. Подтвердить этот факт экспериментально при скорости Ге, изменяющейся в пре- ВТОРИЧНАЯ ЗЛВИХРВННОСТЬ делах пограничного слоя, довольно непростая задача, однако очевидно, что в любом случае угол т должен значительно пре- восходить угол ().
3.11. Неустойчивость при плоском вращательном течении Два частных случая вращательного течения представляют особый интерес. Оба они характеризуются первоначальным отсутствием движения вдоль оси г, а все течение происходит по Рис. 3.П.2. Тороидяльяые иозмущеияя при плоском течеиии по окружностям. Тороикальлые возыущеяяя иеустоячивы. если пиркуляпкя по ваправлющю от оси убывает. Рис. 3.11.1. Плоское течение по окружностям.
Прв циркуляция, возрастаю1цея в иаправлеиии от ося. такое течевие устоячпво по отвощеиию к тороилальвым возмущениям. окружностям вокруг общей оси. В первом случае (рис. 3.11.1) вектор завихренности ориентирован так же, как и вектор угловой скорости вращения; в этом случае циркуляция возрастает вместе с радиусом, а п убывает медленнее, чем г-з, или возрастает вместе с г, и со,=(1/г) (д/дг) (пг))0. В этом случае т=О и отсутствуют неустойчивые возмущения (рнс. 3.11.1). Если ввести осевую составляющую ш, меняющуюся вместе с г, то немедленно возникнут некоторые нестабильные возмущения, Если ез,=О, то и г-', а при наличии осевой компоненты скорости, зависящей от г, оз имеет единственную ненулевую компоненту, сое, и возмущения, порождающие наибольшую неустойчивость, по-видимому, представляют собой движения по спирали при Р=45'; однако это не так при э=О, поскольку и=О и ско ость роста тоже равна О.
о втором случае вектор ит ориентирован в отрицательном направлении оси г (полагается, что и имеет правовинтовое вращение). В этом случае т = 180', и при пз = 0 (в наиболее ГЛАВА 3 естественной системе координат) р =90', следовательно, наибольшей неустойчивостью будут обладать тороидальные возмущения, т. е. вращения относительно круговых линий тока (рис. 3.11.2). В этом случае циркуляция и полное гидродинамическое давление убывает в направлении вовне, а и убывает быстрее, чем г-1. Эта неустойчивость хорошо известна и объяснена теорией прямолинейно перемещаемого элементарного объема. В соответствии с ее аргументацией в неустойчивой ситуации момент количества движения относительно оси убывает по направлению вовне, так что если жидкой частице сообщено радиальное смещение посредством действующей вовне по радиусу силы, то, поскольку для нее момент количества движения сохраняется, частица приобретает ббльшую угловую скорость, чем окружающая среда.
В этом случае поле давлений, которое порождает радиальную силу, приложенную к частице и точно уравновешивающую центробежную, оказывается слишком слабым, чтобы вывести смещенный объем на круговую траекторию, такую же, как у его нового окружения. Следовательно, жидкая частица будет ускоряться в направлении вовне, и возмущение будет порождать неустойчивость. Смещение извне вовнутрь введет частицу в поле давления, которое порождает действующую в направлении оси силу, превосходящую центробежную.
Приведенное рассуждение хорошо объясняет явление радиальной неустойчивости, но оно не может описать тороидальное возмущение (и показать, что именно оно обладает наибольшей неустойчивостью), а также объяснить влияние изменения ш по г. Интересным следствием этого результата является то, что если сдвиговое течение со скоростью, возрастающей по направлению от границы, приобретает волновой характер при обтекании неровности дна, то по отношению к тороидальным возмущениям течение будет неустойчиво во впадинах между волнамн, где центр кривизны линий тока находится в направлении градиента скорости потока (рис.
3.11.3). Растущее возмущение выражается в появлении складок на поверхностях Бернулли вдоль направления течения. Нестабильное состояние сохраняется до тех пор, пока жидкость не выйдет из волновой впадины; на следующем же гребне течение оказывается в устойчивой фазе. Однако рассеяние устойчивых волн на гребне представляет собой идеальное начальное возмущение для дальнейшего развития волнового процесса в следующей впадине. Во впадине вектор бинормали Ь направлен от наблюдателя в плоскость рисунка (рис. 3.11.3), так что еЬ- О, но на гребне волны направления н и Ь меняются на противоположные, и бинормаль Ь направлена из плоскости чертежа. Так как в не меняется, то на гребне еЬ(0. 137 ВТОРИЧНАЯ ЗАВИХРЕННОСТЬ Этот тип неустойчивости иногда называют неустойчивостью Гертлера, так как он весьма детально описал это явление в пограничном слое жидкости, текущей над вогнутой границей (Гертлер, 1959).
Скорер и Вильсон (1963) показали, что этот процесс может реализоваться при образовании стоячих волн в атмосфере, когда градиентный слой содержится в невозмущенном потоке. В этой связи следует отметить, что завихренность, образующаяся во впадинах волн, стабилизирует течение н препятствует развитию неустойчивости Гертлера. Поэтому там, где поток движется горизонтально, он обязательно обладает градиентом скорости, если дальше по потоку имеется Ркс. 3.11 3. Области веустойчввоств волкового движения для потока со сдвигом. неустойчивость. Действительно, волновая неустойчивость течения чаще всего проявляется в образовании стоячих волн, и это обычное явление (см. гл. 6). Можно отметить, что, согласно уравнению (3.10.34), 1а, стремится к бесконечности при Р=90'; это означает просто, что, поскольку нет движения в направлении г, неустойчивое возмущение будет расти бесконечно внутри данной системы.
3.12. Вращения вокруг главной нормали и бинормали Вращение вокруг бинормали происходит так же, как и вокруг вектора касательной с добавочной постоянной скоростью гас в направлении оси е. Уравнение для роста бинормальной составляющей вектора завихренности имеет вид (Скорер, 1967) и' мв — — = — 2тгап — кдГХ1 нг (3.12.1) и преобразуется в (3.10.1) для установившегося течения, если представить, что добавлена скооость гао, а новые координаты глава з обозначены штрихами (рис. 3.12.1).
Тогда 1'= — Ь, Ь'= 1, р'= р+ 90', ое ч' = и, — = (й р, — = 12 ~' = — с1я р, ву ' тп' тв = — !ар Ч = —,~ =Ч1й1 х'= —,з1ПУР' — созд ~ = хс1ядР = с с(я Р, 1 у, 1 г' г е=е', К=К', п=п', т'=х'с1я~' — хс1яд Р1я~ = — хс1я Р. Рнс. 3.12.1. Замена координат. При веамвщщ соогветстеующеа дополпительиаа амаростп вдоль аси свирели врещенме относительно Ь переходит во врещенне относительно т'. Уравнение (3.12.1) в новых координатах будет иметь вид ( )' и и' ю'Ь' — ) — = — 2 с'е'п' — х'11'й'1' = Ну) = 2х с1я ~еп — е с(п й~у 1я ~й ( — Ь) = =с1я р(2хеп+ щуйЬ) = щ1 д' пу о (3.12.2) В установившемся течении, когда нет тангенциального ускоре- ния, д постоянно, и можно записать (+)'еь =,'1, е1, (3.12.3) так что уравнение (3.12.1) дает ту же самую информацию, что и (3.10,1); это и должно иметь место, поскольку речь идет об одной н той же компоненте завихренности, рассматриваемой в различных системах координат.
ВТОРИЧНАЯ ЗАВИХРЕННОСТЬ 139 Как легко показать (Скорер, 19б7)„уравнение составляющей завихренности по главной нормали имеет вид вв — — =0 ат ч (3.12.4) с точностью до первой степени ф, так что спиральное течение нейтрально по отношению к вращению относительно главной нормали (т. е.
вращению, в котором положения поверхностей Бернулли остаются неизменными) . Таким образом, показано, что описание локальной неустойчивости в искривленном течении полностью определяется уравнением поворота вокруг касательной, т. е.
уравнением (3.10.1). Глава 4 ВРАЩАЮЩАЯСЯ ЗЕМЛЯ 4.1. Формальный математический подход Когда Раскин написал: «Эти проблемы движения заводят нас далеко в дебри высшей математики» вЂ” это был крик души, который часто раздается в мире географов, метеорологов и всех, кто связан с тем, что происходит вне стен кабинетов на просторах нашей планеты. Инженеры и навигаторы изучают математические законы, посяольку инстинктивно верят в их всемогущество, однако многие из этих людей не могут дать правильное физическое толкование формул, которыми они пользуются.
Математики же обычно не заботятся о разъяснении физического смысла. С учетом всего этого мы попытаемся одновременно изложить математические закономерности и провести физические рассуждения, поясняющие наблюдаемые нами явления. Сначала мы проведем математический анализ и получим точную формулу, которую затем подвергнем физическому истолкованию. Мы не будем касаться эффектов, связанных с гравитационными полями Солнца и Луны, так как эти поля вызывают либо слабые приливные эффекты, либо эффекты, которые важны для периодов порядка месяца или года. Эти эффекты настолько слабы, что их влияние на движение тропосферы не достигает даже масштаба обычных ошибок наблюдения. По этим же соображениям мы не ожидаем, что вращение Земли будет влиять на процессы, временной масштаб которых мал по сравнению с сутками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
