Б.И. Извеков, Н.Е. Кочин - Динамическая метеорология (часть 1) (1115249), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Наконец из уравнения Клапейрона (5) следует, что температура Т зависит только от л и следовательно изотермические поверхности тоже суть горизонтальные плоскости. Мы приходим таким образом к выводу, что основными уравнениями статики является уравнение л-= — ЮР,........... (81 выражающее в дифференциальной форме закон убывания давления с высотой, и уравнение Клапейрона (5). Подчеркнем, что полученные нами выводы нужно видоизменить в тех случаях, когда мы рассматриваем равновесие влажного воздуха или.когда нужно учитывать изменение й' в зависимости от горизонтальных координат т и у.
На этих случаях мы несколько остановимся в дальнейшем. Интегрируя полученное уравнение (б) в пределах от г, до г„ получим н — ° .. * ° () Правая часть этого равенства представляет очевидно вес цилиндрического вертикального столба воздуха, заключенного между горизонтальными плоскостями г=г„г=г, и имеющего поперечное сечение равное единице. Принимая в частности г, = О, г,=г, получим, обозначая р (0) через в;. 7 д( ) =д — / КРпг- о Может случиться, что на некоторой высоте г =л давление обратится в нуль. Эту высоту л мы будем тогда называть высотой атмо'сферы, а плоскость г=Ь вЂ” верхней границей атмосферы.
В этом случае мы имеем р, / й'Рдг, р(г) ~ аРг1г, (8) с й т. е. давление на какой-либо высоте г равно весу того столба воздуха, поперечного сечения равного единице,,который простирается от высоты г до верхней границы атмосферы. При этом тот частный случай, когда давление р, уменьшаясь с высотой, стремится при г- сс к О, мы рассматриваем как частный случай атмосферы бесконечно большой высоты. Пренебрегая изменением к с высотой, будем считать к постоянным.
, Рассмотрим прежде всего тот частный случай, когда Р есть постоян. ная величина, независящая от высоты (однородная атмосфера). Конечно в действительной атмосфере такое обстоятельство не имеет места и предположение о постоянстве Р может быть использовано разве лишь для приближенных расчетов в случае очень тонких слоев. Интегрируя уравнение (б) в предположении Р=р,=сонэ! и принимая во внимание, что р=-ро при г=0, получим которая носит поэтому названйе „в ы с о т,ы о д н о р о д н о й а т м ос ф е р ы".
В силу уравнения К л а и е й р о н а мы получим другое выражение для л„ (~т о — ' К Р=Ра Розг* ° ° . * .. ° . - . (э) ,"'гак что в однородной атмосфере давление есть линейная функция от высоты. Давление обращается в нуль на высоте Величина И„, не имея физического значения, тем не менее очень часто встречается при различного рода вычислениях. Для температуры То=273'С ее численным значением является Ио — ~ а — - 7990.я...........
(12) 287 - 273 или д1пр е Ее Р2" Интегрируя это уравнение от 0 до е, получим 1пр — 1пр = — — ~ —— и роГе о ~'> 7 2* н, избавляясь от логарифмов, р(е) „- Яд Гщ (14) (15) Полученное равенство называется б а р о м е т р и ч е с к о й ф о р м ул о й. Она позволяет, зная распределение температуры с высотой, вы; числить зависимость давления от высоты. После этого из уравнения Кла пей рона (5) нетрудно найти и зависимость плотности от высоты. Разберем несколько частных случаев. Предположим сперва, что температура не зависит от высоты 2=2о=сопз1 (изотермическая атмосфера).
В этом случае очевидно получим формулу ег р(г) =Рое ЙТо,............ (46) показывающую, что давление зависит от высоты по экспоненциальному закону. Отметим, что при е= И = - о будем иметь р(И) =--,т.е. на вытоо Ро К е ' соте однородной атмосферы давление в е раз меньше, чем на земле. Очевидно, высота изотермической атмосферы равна бесконечности. распределение плотности в изотермической атмосфере определяется формулой , ее р(а) = р,е Й2"о,.......... (17) получающейся нз (16) и уравнения Клапейрона (5). В этой формуле йо обозначает плотность на повеРхности земли. Таким обРазом плотность в изотермнческой атмосфере меняется по тому же закону, что и давление.
Интегрируя равенство (13) в пределах от е, до хо и считая, что в пределах этого слоя температура не меняется, получим 1и р(е,) — 1п р(е,) = — -- (ео — е,) или, обозначая р(е,)=Р, и Р(ео) =Р;. Рт Р, е. — г =---1п —. о о ~; о (18) Возвращаясь к общему случаю, заменим в формуле (6) плотность р выражением, получающимся для нее из уравнения Клавей рона р=йрТ; в результате' получим др а~ д~' 4Ё 1,92— Подставляя здесь Т= 273 ~1-+.— ~ где à — обычная температура в 'С, и гх 27371 полагая -'- = и, будем иметь Р2 х2 — 1= 7990 1П т — 7990 1п и г (19) так как 1п(1-й-х) —.1п(1' х)=~х — --+ — —, .у — ~ х — —, Х2 Х2, Х / Х2 — З "'): ~ .:2 З = 2х -+.
— хэ.+- . 2 то приближенно будем иметь 1п.з = 2 Р2 Р1 + Р'.1 причем ошибка не превосходит 1272 даже для слоев воздуха в 2 «лг толщиной. Формула (18) принимает поэтому вид х — х1 = 16 000"-Ь вЂ” Р' (1 -+- 0,00366 Г). Р1+ Р2 (20) Эта формула известна под именем ф о р м у л ы Б а б и не. В частности ею можно воспользоваться для вычисления ба ром е трической ступени,. т.
е. высоты того слоя воздуха, разность давлений. на концах которого составляет 1 лир. В этом случае без большой погрешности можно принять в знаменателе формулы Баб и не Р, =Р, =Р, в 'результате чего получим для барометрической ступени формулу а2 — Х1 = — — (1 -ь- 0,00366 Г)......... (21) Например, при температуре Г=О'С и при давлении 1000 мбР барометрическая ступень равна 8 дй при Р=900 л2бР она равна 8,89 я и т. д. В качестве второго частного случая рассмотрим тот, когда темпе; ратура убывает с высотой по линейному закону Т= Т2 — тх ° ° .
° ° (22) где,у — температурный градиент, считаемый постоянным. Эта формула позволяет очень просто определять толщину изотермического слоя по давлениям на его границах. В частности таким способом можно производить обработку метеорограмм, доставляющих нам совместные значения температуры н давления. Разбив кривую температуры на небольшие участки, по возможности с постоянным температурным градиентом и снимая с метеорограммы значения давлений, соответствующих концам этих участков и значения средних температур этих участков„определяют,по предыдущей формуле толщины слоев воздуха, соответствующих взятым участкам температур. Зная эти толщины, легко установить для каждой высоты соответствующие ей значения давления и температуры.
Относительно ошибки, делаемой при замене некоторрго слоя изотермическим, мы говорим ниже. Для небольших высот формулу (19) можно упростить еще более. А именно воспользуемся формулой э 1п'-х = 1и -(Р1-+-Р')+(Р' '» = 1п Г)-+-Р'--Р21 — )п (1 — Р:Р') Р2 (Р1 + Р2) (Р2 Р2) Р1 + Р2 Р1 + Р27 Подставляя зто выражение в (15), в силу равенства получим л Фо) 7Р (,1 ) о (23) Наконец, уравнение Клапейрона позволяет определить (24) Нетрудно выразить р и 1 в функции Т: Ь) (25) или р и Т в функции йт (26) Так как кривые у =Сх" называются политропами, то атмосферу с постоянным вертикальным градиентом называют пол игр оп ной атмосферой. Высота ее равна х= — ', так как на этой высоте давление р т' обращается в нуль.
Если 'температурный градиент равен адиабатическому температурному градиенту Т=уо.= —,'то соотношение между р и Т принимает вид Ал ю ср -л- = ~-'„-') дт'= ~- -) ~, ......... (27) совершенно аналогичный формуле Пуассона (гл. И!, й 3). Однако, нужно подчеркнуть.коренну1о разницу между формулой (27) и формулой П у а с с о н а. Последняя определяет ту связь, которая существует между давлением н температурой некоторой определенной частицы при ее адиабатических изменениях с течением времени; формула же (27) определяет связь между давлением и температурой вдоль некоторой вертикали в один определенный момент времени и вне связи с тем, какие процессы будут происходить с рассматриваемой колонной воздуха.
Для расчета давления на высоте х по формуле (25) достаточно знать давление и температуру на земле (р, и Т,) и температуру Т на высоте с, причем 7 определяется по формуле то — г Если задано распределение температуры с высотой, причем температура меняется, то мы можем разбить весь столб воздуха промежуточными точками х„х„..., з„, температуры в которых обозначим через То Т„.... Уь, на Ф слоев, в каждом из которых можно уже, с некоторым приближением„принять, что температура падает линейно, Лнноонь метеорологоо 1а — 194— причем вертикальный температурный градиент в этих слоях равен соот- ветственно лг — те й= т — ть 1 т=- — — = —- а — л ч аа а1 Тогда очевидно будем иметь К Х а' Рг Ре( ) Ра = Рт(, ) Ри Рк-г ( ) и, перемножая эти равенства, получим приближенную формулу Х Ю Х (т~ Втг (т; аН ..
~ - )Рта Возвращаемся к общей барометрической формуле ы Г па Р(х) — Рча гт ° ~(~) ° .. ° * . (~) Чтобы придать втой формуле более наглядный вид, введем, среднюю температуру Т барометрической формулы", определив ее равенством (29) — (3Ц о тогда барометрическая формула принимает вид формулы" для изотермической атмосферы хл Р(л) = Рос КТ,„. (32) Величина Т есть так называемая средняя гармоническая, а не обычная средняя арифметическая Т' = —,~ Т(х)г(д. б (33) Можно показать, что всегда, за исключением случая У=сопз1, будет Т' ~ Ти.............. (34) Это вытекает из так называемого неравенстйа Шварца-Буняковского: ь ь ь ( ) /(х)а(х)йх) / ~а(х)а(х:1 йа(хфх, справедливого для любых двух функций У(х) и й(х), интегрируемых вместе с их квадратами '), причем при непрерывности функцнйЯх) и а(х) ь т) Доказательство этого неравенства весьма просто.
Обозиачим А = ( ут(х)гас, 'т а ь ь гь В= ~ях)а(хфх, С=~ха(хуух и рассмотрим, ввода параметр а, выражение /(а)=)[у(х)+ а а а +яа(х))агух = А+2Ва+ Сл'. Очевидно т' при всех т ие отрицательно, ио, как извсстио' вто может быть только в случае, когда АС вЂ” В'заО. Если АС вЂ” На =О, то А+Ма+Сия имеет лвойиоа коРеиьда и /(аа)=О что может быть только пРи г(х)+таз(х) =-..-О. 1 Приняв в этом неравенстве Ях) = ~ 71х), а(х) =),- = получим го( / Т(г)»г )1 — „— о' о нлн, при наших обозначениях, Т' причем знак равенства может иметь место только для Т(г)=сон»$. Для случая линейного падения температуры с высотой Т= Т,— уг очень легко оценить ошибку, которую мы делаем в определении р, заменяя Т на T . В рассматриваемом случае очевидно имеем Тт — То — -2- = 2 е Т =, °.....
(36) тг То+ Т Для средней же температуры барометрической формулы будем иметь о г Р Фг 1 Г тг1 1 Т = — — 1п 11 — — )= — — 1и —...... (36) Т / То — тг т (, То ) т То * Введя обозначение Т,— Т тг То+Т 2Т '' (37) заметим, что = — 2~я~-~+-~-+ ° ° ). Поэтому равенство (36) принимает аид —;="-~+7+7+ - .)=А( 7+-"; - ) Т.*=Т.(1-)-"з+"ь'+ - . ). *" - - - (36) Получилось, как и должно быть, Т,„'> Т . Величина а всегда мала. Даже прн разности температур Т,— Т=60'С и при, Т '=240', что 1 ио дает Т, = 270; Т=210' мы имеем а = —,--<5 10-» и следовательно оо ҄— < 0,02'С. Поэтому с совершенно достаточной во всех вычислениях точностью мы имеем Т.'= Т„(1 ™-~ Т.=2 (1 — —,"). и по той же причине С30) или, вставляя значение а, (40) Т =Т' — — — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
