Введение в демографию (1114609), страница 96
Текст из файла (страница 96)
18.3. Диаграмма Лексиса для стабильного населения18.6. ИСТИННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ И РЕЖИМ ВОСПРОИЗВОДСТВАУ модели стабильного населения имеется одно фундаментальное свойство,которое объясняет ее мощные аналитические возможности. Оно заключается в том, что каждой комбинации возрастных распределений смертностиl (x) и рождаемости f (x) соответствует единственное стабильное население с определенной возрастной структурой, общими коэффициентами рождаемости и смертности, а также коэффициентом естественного прироста.1Если рассматривается дискретная модель, т.е. изменение численности населения ичисла родившихся происходит по закону геометрической прогрессии, то отношениямежду двумя соседними поколениями и двумя соседними возрастными группамисоставят (1 + r ) раз.435Как уже отмечалось, одним из самых распространенных приемов демографического анализа является проекция на будущее современных параметров воспроизводства населения. Зафиксировав имеющиеся реальные интенсивности рождаемости и смертности, можно оценить различные параметрыэтого населения после стабилизации: общие коэффициенты рождаемости исмертности, коэффициент естественного прироста, нетто-коэффициент воспроизводства, характеристики возрастной структуры и некоторые другие.Совокупность количественных характеристик стабильного населения (истинные коэффициенты рождаемости, смертности, естественного прироста,нетто-коэффициент воспроизводства, характеристики возрастной структурыи некоторые другие), генерированных функциями рождаемости и смертностинекоторого реального населения, определяет режим воспроизводства этогонаселения.
При этом заданные функции рождаемости и смертности называют экзогенными параметрами режима воспроизводства, а все остальные расчетные величины относятся к эндогенным параметрам.Полученные показатели модели затем сравниваются с показателями реального населения. При этом они могут заметно отличаться друг от друга.Однако показатели стабильного населения в отличие от реального обладаютважным преимуществом. Общие коэффициенты рождаемости и смертности,коэффициент естественного прироста стабильного населения свободны отвлияния возрастной структуры. Поэтому с их помощью, освободившись отвлияния значимого структурного фактора, можно лучше понять демографическую специфику данного периода.
По этой причине коэффициенты стабильного населения назвали истинными коэффициентами соответственнорождаемости, смертности и естественного прироста.18.7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВОСПРОИЗВОДСТВА НАСЕЛЕНИЯ(ИУВ)Одним из возможных математических выражений процесса смены поколений в стабильном населении (для одного пола) является интегральноеуравнение воспроизводства (или уравнение Лотки), которое описывает траекторию рождений N (t ) в каждый точный момент времени tпри заданных функциях рождаемости f (x) и смертности l (x) .
Число рождений N (t ) зависит от численности женщин в репродуктивных возрастах,т.е. от числа девочек, рожденных 15–50 лет тому назад. Дети, родившиесяx лет назад и численность которых равна N (t − x) , с вероятностью l (x)доживут до момента t . Вероятность рождения ребенка в возрастном интервале от x x до x + dx у тех, кто дожил до момента t , определяется436функцией f ( x)dx .
Таким образом, для всех возрастов от α = 15 до β = 50можно записать:βN (t ) = ∫ N (t − x)l ( x ) f ( x) dx .(18.6)αС помощью интегрального уравнения были выведены многие свойствастабильного населения и получены оценки его основных параметров. Так,заменяя в уравнении (18.6) N (t ) равной величиной N (0) ⋅ e r ⋅x , а N (t − x )на величину N (0) ⋅ e r⋅(t − x ) , а затем сокращая на N (0) ⋅ e r⋅t , можно получитьхарактеристическое уравнение стабильного населения с неизвестным коэффициентом естественного прироста r :∞∫e−r⋅xf ( x)l ( x) dx = 1 .0Это уравнение имеет бесконечно много комплексных корней и единственный действительный корень r , который является истинным коэффициентом естественного прироста стабильного населения или коэффициентом Лотки.
Поэтому каждой комбинации возрастных распределенийфункции дожития l (x ) и функции рождаемости f (x) соответствует единственное стабильное население с присущими ему одному возрастнойструктурой, общими коэффициентами рождаемости и смертности, а такжекоэффициентом естественного прироста r .Уравнение (18.6) называют однородным интегральным уравнениемвоспроизводства. Однако, если изучается реальное население, в которомпроцесс стабилизации начался в некоторый момент времени, то при исчислении N (t ) следует ввести поправку G (t ) , отражающую вклад исходногоженского населения в процесс рождаемости. Тогда получаем уравнениеЛотки в неоднородной форме:βN (t ) = G (t ) + ∫ N (t − x)l ( x) f ( x) dx .(18.7)αПри t ≥ β функция G (t ) равняется 0 , поскольку все женщины, жившие в момент t = 0 , выходят из репродуктивного возраста. Отказываясьот предположения о неизменности функций рождаемости и смертностив уравнениях (18.6) и (18.7), можно получить однородное и неоднородноеинтегральные уравнения, описывающие процесс воспроизводства любогонаселения.43718.8.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИСТИННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВВ СТАБИЛЬНОМ НАСЕЛЕНИИЛотка вычислил истинный коэффициент естественного прироста, решаяхарактеристическое уравнение (18.8):∞∫e−r⋅xf ( x)l ( x) dx = 1 ,(18.8)0где l (x) — вероятность для женщин дожить от рождения до возраста x ;r — истинный коэффициент естественного прироста в расчете одного человека; f (x) — функция рождаемости, т.е.
вероятность рождения девочеки женщины (или мальчиков у мужчин поскольку, напомним, речь идетоб однополом населении) в интервале от x до x + ∆ лет. Так как f (x)равно нулю за границами репродуктивного периода [α, β] (обычно считают, что α = 15, а β = 50 годам), то мы можем подставить значения α и βв качестве пределов определенного интеграла.
При r = 0 стабильное население превращается в стационарное.На практике достаточно хорошее приближение к действительномукорню уравнения (18.8) дает квадратное уравнение1 2µ r + λ r − ln R0 = 0 ,2(18.9)где2λ=R R1RR, µ = λ2 − 2 = 1 − 2 .R0R0 R0 R0(18.10)Функции R0 , R1 и R2 называют, соответственно, нулевым, первым ивторым моментами. В терминах возрастных коэффициентов рождаемости исмертности по τ -летним возрастным группам формулы для R0 , R1 и R2имеют вид:β− τ21R0 =Lx f x ,∑l 0 x =α + τ2β− τ21R1 =x Lx f x ,∑l 0 x =α + τ2β− τ21R2 =x 2 L x f x . (18.11)∑l 0 x =α + τ2Здесь f x = δ ⋅ Fx — возрастной коэффициент рождаемости девочек,δ = 0,488 — доля девочек при рождении, Fx — возрастной коэффициентрождаемости детей обоих полов (табличный).438Решая квадратное уравнение (18.9) относительно r и подставляя значения (18.10), получим выражение для действительного корня:r=22RR R R1− 1 − 2 2 − 1 ln R0 R0 R0 R0 R0 R2 R1 −R0 R0 2.(18.12)R0 в формуле (18.11) представляет собой нетто-коэффициент воспроизводства (NRR), который показывает, в какой пропорции материнскоепоколение замещается дочерним.
Условно принимая численность дочернего поколения равной 1, основываясь на формуле роста численности стабильного населения (1) можно записать:e T ⋅r = R0 или (1 + r ) T = R0 ,(18.13)где T — период смены поколений или длина поколений. Отсюда можнополучить следующие приближенные формулы для r :r=R1R0R0 − 1 ,ln Rr= R 0,1(18.14)(18.15)R0Под средней длиной поколения T в демографии понимают среднийинтервал времени, разделяющий поколения родителей и их детей (матерейи дочерей, отцов и сыновей). В стабильном населении средняя длина поколения T определяется как интервал времени, в течение которого численность поколения изменятся в R0 раз. Этот интервал, как следует из формулы (18,13), равен:ln R0T=(18.16)rДля оценки длины женского поколения реального населения часто используют показатель «средний возраст матери» (MAF), равныйτMAF = ∑ F ( x) ⋅ ( x + ) / ∑ F ( x) ,2где F (x ) — повозрастные коэффициенты рождаемости, x +возрастного интервала.439τ— середина2Значения этого показателя, как правило, находятся в интервале от 25до 30 лет.Существует другой способ оценки длины поколения в стабильном населении, согласно которому T =R1R0, где R0 и R1 получены из формул (18.11).В таблице 18.1 приведены этапы вычисления истинного коэффициентаестественного прироста по формуле (18.12) с использованием данных Госкомстата для женского населения России за 1989 г.
Отметим, что оценкакоэффициента Лотки по формуле (18.15) равна — 0,198% и незначительноотличается от полученного в таблице 18.1 результата.Табл. 18.1. Вычисление истинного коэффициента естественного прироста дляженского населения России по данным Госкомстата 1989 г.возрастные повозрастнойчислосерединагруппыкоэффициентживущихвозрастногопо возрасту рождаемостиинтервала в возрасте xматериженщинY = ( x + 5) / 2L x / l0[ x, x + 5)f x = δ ⋅ Fxнулевой первый второймомент момент момент(2) ⋅ (4) (3) ⋅ (5) (3) ⋅ (6)R0R1R2712345615–190,025617,54,887810,125182,190620–240,080022,54,871090,389458,7626 197,158925–290,050327,54,853380,244096,7125 184,592730–340,026632,54,832120,128704,1827 135,938735–390,010737,54,802100,051531,932672,470740–440,002442,54,756750,011600,493120,955845–490,000147,54,687040,000460,02171,0317Итого0,1958Итого ⋅ 50,9790GRRNRR = R00,9790,95138,33500,95101 24,2958 650,48355R1R= 25,547 , 2 = 683,994 , ln R0 = −0,0502 .R0R0Таким образом: 15,663 ⋅ r 2 − 25,547 ⋅ r − 0,0502 = 0 .
Следовательно,r = −0,00196 или −0,196% в год.44018.9. ИСТИННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ РОЖДАЕМОСТИ ИСМЕРТНОСТИИстинные коэффициенты рождаемости и смертности представляют собойкоэффициенты, которые будут достигнуты в населении в конце периодастабилизации, т.е. это коэффициенты рождаемости и смертности стабильного населения.Истинный коэффициент рождаемости можно выразить следующейформулой:n€ =1∞∫e−r ⋅x.(18.16)l ( x) dx0Хорошей аппроксимацией для формулы (18.16) служит выражение:n€ =1∞∑l−r ⋅( x + )2e0.(18.17)L⋅ xl0Очевидно, что истинный коэффициент смертности равен разности истинного коэффициента рождаемости и истинного коэффициента естественного прироста:m€ = n€ − r .(18.18)18.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
