Введение в демографию (1114609), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Лотка. В настоящее время простые моделироста населения применяются для решения самых разнообразных демографических и экономических задач, в частности:– для выполнения интерполяционных, ретроспективных и прогнозныхоценок численности всего населения и его отдельных групп;1В зарубежной научной литературе такие модели иногда называют примитивнымидемографическими моделями.409– для оценки демографической ситуации, на них основаны некоторыедемографические показатели;– в качестве экзогенных предпосылок они входят в различные экономические модели.16.9.
ДЕМОГРАФИЧЕСКИЙ РОСТ С ПОСТОЯННЫМТЕМПОМ ПРИРОСТАа) изменение населения по закону геометрической прогрессииПусть нам известна численность некоторого населения на начало года P (0) и темп его прироста за год θ пр . Численность этого населенияна конец текущего (или начало следующего) года можно определитьпо формуле (16.6):(16.6)P(1) = P(0) ⋅ (1 + θ пр ) .Если темп прироста останется в будущем неизменным, то можно определить численность населения в течение всех последующих лет.
Общая схема изменения численности населения будет выглядеть следующим образом:численностьнаселения на:начало первого годаP ( 0)конец второго годаP(1) = P(0) ⋅ (1 + θ пр )конец третьего годаP (2) = P (1) ⋅ (1 + θ пр ) = P(0) ⋅ (1 + θ пр ) 2правило вычисленияконец четвертого годаP (3) = P ( 2) ⋅ (1 + θ пр ) = P (1) ⋅ (1 + θ пр ) 2 = P (0) ⋅ (1 + θ пр ) 3……конец года τP (τ) = P (τ − 1) ⋅ (1 + θ пр ) = … = P (0) ⋅ (1 + θ пр ) τИз последнего выражения следует, что на протяжении τ лет численность исследуемого населения на конец каждого k–го года будет изменяться по формулеP (k ) = P(0) ⋅ (1 + θ пр ) k ,(16.7)т.е. по закону геометрической прогрессии. Таким образом, геометрическаяпрогрессия является моделью изменения численности населенияс постоянным годовым темпом прироста.б) экспоненциальный демографический ростПо закону геометрической прогрессии численность населения меняется дискретно, т.е.
в определенной точке временного промежутка (в нашем410случае — в конце каждого года). Однако в реальной действительности численность населения изменяется непрерывно, т.е. в каждой точке временного интервала. Поэтому аналитическое описание демографического ростас помощью непрерывных процессов более адекватно, чем на основе дискретных. Непрерывным аналогом геометрической прогрессии являетсяэкспоненциальная функция. Таким образом, формула непрерывного демографического роста выражается уравнениемP (k ) = P (0) ⋅ e r ⋅t ,(16.8)где e — основание натурального логарифма ( e ≈ 2,718281828 ); r — моментальный коэффициент прироста населения, являющийся постоянной. Есливеличина r больше нуля, то численность населения увеличивается, еслиr меньше нуля —уменьшается, если r равно 0 — остается постоянной.Пример кривых экспоненциального роста при разных значениях постоянной r можно увидеть на рисунке 16.1.700600500r=-1%r=1%r=1,5%r=-1,5%r=0400300200100210020962092208820842080207620722068206420602056205220482044204020362032202820242020201620122008200420000Рис.
16.1. Модель экспоненциального роста населения Россиив 2000–2100 гг. при разных параметрах r (в млн. чел.)Однако практика показала, что все гипотезы о динамике численностинаселения, основанные на экспоненциальной модели, не выдерживали проверки практикой на длительных периодах. Темпы демографического ростаменяются. Кроме того, на них влияет демографический потенциал, накопленный возрастной структурой.
Применение возможностей моделидля выполнения ретроспективных и перспективных оценкок демографической динамики ограничено короткими временными интервалами.б) среднегодовые темпы прироста населенияДля сравнения скорости увеличения численности населения в разныепо продолжительности периоды необходимо оценивать среднегодовые411темпы роста и прироста населения. В основе этих оценок лежат предположения о том, что в изучаемый межпереписной период население изменялось по геометрической прогрессии или экспоненциальному закону.Из формулы (16.7) путем простых арифметических преобразований непосредственно определяется неизвестная величина θ пр , которая и являетсясреднегодовым темпом прироста населения за k лет:θ пр = kP(k )−1 ,P ( 0)(16.9)Если единицу перенести в правую часть уравнения, то мы получимP(k )среднегодовой темп роста населения: θ р = 1 + θ пр = k.P(0)Пусть теперь население изменяется по экспоненциальному закону.
Тогдаиз уравнения (16.8) среднегодовой темп прироста населения за k лет равен:r=ln( P(k ) / P(0).k(16.9)16.10. ПЕРИОД УДВОЕНИЯ ЧИСЛЕННОСТИ НАСЕЛЕНИЯОдин из самых распространенных подходов к оценке современной демографической ситуации заключается в оценке настоящего через будущее.Мы предполагаем, что параметры «сегодняшнего дня» у населения сохранятся и в отдаленной перспективе. Затем анализируются демографическиехарактеристики, которые население приобретет в будущем. Одним из такихпоказателей, оценивающих настоящее через будущее, является «периодудвоения численности населения».
Он измеряет скорость демографического роста временем, которое потребуется некоторому населению, чтобы удвоить свою численность при сохранении данного темпа прироста.Чем короче этот период, тем быстрее растет население. Естественно, еслиприрост населения имеет отрицательную величину, то речь идет о временидвукратного сокращения численности населения.Период удвоения легко рассчитать как для дискретного, так и непрерывного времени демографических изменений. В первом случае из формулы геометрической прогрессии при условии P (T ) = 2 ⋅ P (0) следует2 ⋅ P(0) = P(0) ⋅ (1 + θ пр )T . Откуда получаем, что период удвоения равен:T=ln 2.ln(1 + θ пр )412(16.11)Во втором случае из экспоненциального закона демографическогороста вытекает 2 ⋅ P (0) = P (0) ⋅ e r ⋅T . Логарифмируя левую и правую части,легко получить, что период удвоения для непрерывного случая равен:T=ln 2.r(16.12)Вычисление периода удвоения в демографических, финансовых иэкономических расчетах известно также как «правило 70».
Натуральныйлогарифм 2 равен 0,6931… или округленно 0,7. Тогда в непрерывном случае период удвоения будет равен T = 0,7 / r или T = 70 /(100 ⋅ r ) , если выразить прирост населения в процентах (т.е. 100 ⋅ r ). В дискретном случаедля получения «правила 70» надо заменить величину ln(1 + θ пр )ее приближенным значением θ пр .16.11. МЕНЯЮЩАЯСЯ СКОРОСТЬ ДЕМОГРАФИЧЕСКОГО РОСТАПусть коэффициенты прироста населения меняются на протяжении периода (0, τ) таким образом, что на каждом временном интервале ∆t ( ∑ ∆t = τ )наблюдаются различные, постоянные на этих интервалах, темпы приростанаселения r0 , r1 , r2,… . Тогда численность населения в конце периода можетбыть представлена следующим экспоненциальным выражением:P (τ) = P (0) ⋅ e r0 ⋅ ∆t ⋅ e r1 ⋅ ∆t ⋅ e r2 ⋅ ∆t … = P (0) ⋅ er0 ⋅ ∆t + r1 ⋅ ∆t + r2 ⋅ ∆t +….Если ∆t — бесконечно малая величина, то сумма показателей степениявляется интегралом функции r (t ) и численность населения в момент τравняется:τ∫ r (t ) dtP (τ) = P (0) ⋅ e 0.(16.13)16.12.
ЛОГИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕМОГРАФИЧЕСКОГО РОСТАУвеличение населения по экспоненциальному закону может продолжатьсядо бесконечности. Очевидно, подобная динамика возможна тогда, когданикакие факторы природного или социального порядка не ограничиваютэтот рост. В реальности экспоненциальный рост наблюдается на ограниченном временном интервале. Поэтому уже в XIX веке проводились поиски «закона», который бы отражал факт сдерживания экспоненциального413роста населения по мере увеличения его численности. Так, известный бельгийский физик А. Кетле, опираясь на примеры из физики, предполагал, что«сопротивление росту населения должно возрастать пропорциональноквадрату скорости этого роста».
В дальнейшем бельгийский математикП. Ферхюльст (1838) реализовал эту гипотезу в математической форме ввиде кривой, которую он назвал «логистической». Затем его открытие былопрактически предано забвению до 1920 г., когда американские ученыеР. Пирл и Л. Рид вновь ввели логистическую кривую в научный оборот дляописания роста численности популяций в биологии и демографии человека.Математически логистическая функция выражается формулойP(t ) =K1 + e α − r ⋅t,где P(t ) — численность населения в момент t ; e — основание натуральных логарифмов; K , α, r — параметры уравнения логистической кривой.Графически логистическая фунция представляетсяввидеS-образной, или сигмоидной,кривой(см.
рис. 16.2).Параопределяетметр Kположение линии (асимптоты),задающеймаксимальновозможную или педельную численность насе-Рис. 16.2 Кривая логистического роста населенияления при данных условиях. Его можно трактовать как меру «емкости среды» для особей данного вида. Величина этого параметра, как показали демографические исследования, например, для США, увеличивается со временем.Подобное увеличение пределов роста ученые связывали с растущей емкостью среды обитания человека благодаря научно-техническому прогрессу.414Вставка 16.4. Гиперболическая модель роста населения Земного шараПопытки найти модель, описывающую динамику численности населениявсей Земли за длительный период времени, привели некоторых ученых, средикоторых можно назвать известного физика академика С.
Капицу, к заключению,что демографические данные за много поколений хорошо укладываются толькона гиперболическую кривую. На основе анализа демографических данных былаполучена простая формула, соответствие которой реальным данным показанона рисунке 16.3:P = C /(T1 − T ) = 186 /( 2025 − T ) ,000000201918000000171615000000141312000010806000004020-10-30-500где P — число людей на земле в момент времени T (млрд. чел.); T1 — критическая дата; C — постоянная C с размерностью (человеко-годы).Однако ги8000перболическая7000модель вызывает6000целый ряд во5000просовсредиоценки Бюро Цензов (США)которых выде4000гиперболическая модельляются два. Во3000первых,чис2000ленность населения по мере1000приближения к0критическойдате обращаетРис.
16.3 Гиперболическая модель роста населения мирася в бесконеч(млн. чел.)ность. Получается, что 2025 год является подобием конца света. Во-вторых, согласно этой модели можно прийти к другому абсурдному результату, что люди жили в далекомпрошлом, например, 10 или 20 млрд. лет тому назад.В целях преодоления этих трудностей С. Капица установил границы ростачисла людей по гиперболе, как в прошлом, так и в настоящем. Минимальная граница определяется условием, что скорость роста не может быть менее одногочеловека за поколение. Максимальная граница определяется тем, что по мереприближения к критической точке в силу вступают факторы, ограничивающиедемографический рост. Скорость роста численности населения не становитсяочень большой. Она проходит через максимум в период демографического перехода. По мере того, как скорость демографического роста уменьшается, население Земли выходит на плато и стабилизируется.
Гиперболический закон изменения численности населения перестает действовать.415ЛИТЕРАТУРАОсновная1. Капица С. Сколько людей жило, живет и будет жить на Земле. Очеркитеории роста человечества. М., 1999.2. Курс демографии под ред. Боярского А.Я. М..Дополнительная1. Капица С. Математическая модель роста населения мира // Математическое моделирование. М., 1992. Т 4, № 6.2. Keyfitz N.
Applied Mathematical Demography. N.-Y., 1985.3. Капица С.П. Теория роста населения Земли. М., 1997.416ГЛАВА 17МОДЕЛЬ СТАЦИОНАРНОГО НАСЕЛЕНИЯИ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ17.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО НАСЕЛЕНИЯВ главе, посвященной анализу смертности, было дано определение таблицсмертности как численной модели вымирания поколения. Вместе с тем существует и другая, несколько отличная от «поколенной», интерпретация этихтаблиц, согласно которой таблицы смертности задают некоторое теоретическое население, не подверженное влиянию миграционных процессов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
