Введение в демографию (1114609), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Именно он, основываясь на аналогии с физическими процессами,ввел в научный оборот термин «стабильное население», что в переводе слатинского (от «stabilis») означает «устойчивое население». Если режимырождаемости и смертности стабильного населения внезапно изменятся, азатем вновь вернутся к своим прежним постоянным величинам, то возрастная структура и общие демографические коэффициенты в этом населениипостепенно также вернутся к своему равновесному состоянию.1А. Лотка изложил свою теорию полностью в давно ставшей классической работе:Lotka A.J. Theorie analytique des associations biologiques.
Part II. Analysedemographique avec application particuliere a l’espece humaine. Paris, 1939.42818.2. СВОЙСТВА ЭРГОДИЧНОСТИВ 1911 году в одной из первых своих работ Лотка вместе с другим амери1канским ученым Ф. Шарпом доказал одну из центральных в математической демографии теорему: закрытое население, в котором возрастныеинтенсивности рождаемости и смертности с определенного моментавремени стали постоянными, со временем будет иметь неизменную возрастную структуру, постоянные общие коэффициенты рождаемости и2смертности и коэффициент естественного прироста . Подобное население называют асимптотически стабильным, а процесс приближенияего первоначальной возрастной структуры и общих демографических коэффициентов к некоторым постоянным (предельным) значениям — стабилизацией населения.
Сам Лотка пользовался термином «стабильный»для обозначения именно такого населения. В процессе стабилизации возрастная структура населения постепенно как бы «забывает» свою первоначальную форму. Это особое свойство получило название сильной эргодичности. После того, как население достигнет стабильного состояния,параметры его возрастной структуры будут определяться только заданными режимами рождаемости и смертности.В конце 1950-х гг. А. Коул высказал предположение, что все человеческие популяции «забывают» свое прошлое. Когда уровни рождаемости исмертности непрерывно изменяются, так же непрерывно изменяется возрастная структура населения.
С каждым годом влияние исходной возрастной структуры на форму каждой последующей ослабевает и постепенносходит на «нет». Это свойство любого населения с изменяющимися параметрами рождаемости и смертности удаляться от своей возрастной структуры далекого прошлого получило название слабой эргодичности. Математически оно было доказано учеником А. Коула А. Лопесом в формеследующей теоремы (теорема Лопеса): если два населения подчиняютсяодинаковым, но изменяющимся во времени режимам рождаемости исмертности, то эти два населения в конце концов приобретут одинаковыевозрастные структуры, хотя конечно эти структуры не обязательностремятся к пределу, как в случае стабильного населения.Свойства эргодичности и процесс стабилизации возрастных структурпредставлены на рис. 18.1. На нем изображена серия изменений половозрастных пирамид двух различных на сегодня в демографическом отношении1Lotka, A.J.
and Sharpe F.R. A problem in age distribution. Philosophical Magazine.1911 Vol. 21 (124), April, pp. 435–438.2Доказательство этой теоремы выходит за рамки данного курса. Математическиподготовленным читателям рекомендуем обратиться к книге «Демографическиемодели» (М., 1977).429стран — России и Замбии. Предполагается, что в этих странах, начиная с1995 года, установились одинаковые режимы рождаемости и смертности.Мы видим, что в процессе стабилизации исходные возрастные пирамиды: водном случае — классическая пирамида, отличающая страны с высокимуровнем рождаемости, в другом — пирамида, форма которой сильно деформирована войнами, — постепенно размываются, приобретая совершенно иные очертания. Поскольку замбийское и российское население, по условию, подчиняются одинаковым режимам рождаемости и смертности,постольку их столь непохожие в начале возрастные структуры стремятся ксовершенно одинаковым предельным возрастным структурам.18.3.
ЧИСЛЕННОСТЬ НАСЕЛЕНИЯ, ЧИСЛА РОДИВШИХСЯ1И УМЕРШИХ В СТАБИЛЬНОМ НАСЕЛЕНИИ1. Общие коэффициенты рождаемости и смертности стабильного населения постоянны. Общие коэффициенты рождаемости n и смертности mможно выразить формулами n =ω∑x =0f x ⋅ cx и m =ω∑ mx ⋅ cx ,x =0где f x иm x — соответственно, возрастные коэффициенты рождаемости, а c x —доля лиц в возрасте от x до x + 1 лет. Из постоянства этих возрастныххарактеристик рождаемости, смертности и возрастного составав стабильном населении вытекает постоянство общих коэффициентоврождаемости и смертности.2.
Коэффициент естественного прироста стабильного населения постоянен. Из равенства r = n − m , где n и m — постоянные величины, следуетпостоянство и коэффициента естественного прироста r стабильного населения.3. Стабильное население растет по экспоненциальному закону (или в геометрической прогрессии). В главе «Рост населения» было показано, чточисленность населения изменяется по этим законам, если его коэффициент прироста неизменен во времени:P(t ) = P(0) ⋅ e r⋅t .1(18.1)Современная математическая теория стабильного населения излагаетсяв терминах или непрерывных функций, или матриц. В этом учебном пособии основы модели стабильного населения изложены в виде широко используемыхна практике дискретных функций.430Рис.
18.1. Стабилизация возрастной структуры на примере России (слева)и Замбии, предполагая, что в обеих странах в течении 100 лет сохраняетсярежим рождаемости и порядок вымирания, наблюдаемые в Россиимуж.в 1995 г.: TFR = 1,344 , e0= 58,27 лет, e0жен. = 71,7 лет.4314. Числа родившихся и умерших в стабильном населении изменяютсяпо экспоненциальному закону (или в геометрической прогрессии). Обозначим через P (0) и P (t ) — численность населения в моменты времени 0 и t , через N (0) и N (t ) — соответствующие числа родившихся.Из постоянства общего коэффициента рождаемости можно записать проN (t ) N (0)=, а затем выражение N (t ) = P (t ) ⋅ N (0).
СоотпорциюP ( 0)P(t ) P(0)ношение (18.1) позволяет нам получить искомое утверждение:N (t ) = N (0) ⋅ e r⋅t .(18.2)Аналогичным образом выводится закон изменения числа умершихв стабильном населении M (t ) = M (0) ⋅ e r⋅t , где D(0) и D(t ) — соответствующие числа умерших.18.4. ВОЗРАСТНАЯ СТРУКТУРА СТАБИЛЬНОГО НАСЕЛЕНИЯДоля возрастной группы x в общей численности стабильного населения определяется по формуле c( x) = n ⋅ l ( x) ⋅ e − r⋅x . Доля возрастной группыв точном возрасте x (или в возрасте от x до x + ∆x , где ∆x — бесконечномалая величина) в общей численности населения определяется по формуле, где P ( x, t ) — численность людей в возрасте x в момент t .с ( x ) = P ( x, t )P(t )Функция P ( x, t ) представляет собой произведение числа родившихся x лет1назад и вероятности их дожития до возраста x , т.е.
P( x, t ) = B(t − x) ⋅ l ( x) .Число родившихся x лет назад равно произведению общего коэффициентарождаемости на общую численность населения в момент t − x :N (t − x) = n ⋅ P (t − x) . Из соотношения (18.1) легко получить, чтоP (t − x) = P(t ) ⋅ e − r⋅x . После всех необходимых подстановок получаемP ( x, t ) = n ⋅ P (t ) ⋅ l ( x) ⋅ e − r⋅x . Разделив обе части на P (t ) , мы в итоге получаемматематическое выражение возрастной структуры в стабильном населении:c( x) = n ⋅ l ( x) ⋅ e − r⋅x .(18.3)Из формулы (18.3) следует, что общий коэффициент рождаемости равен n = c(0) .1Здесь l (x) — вероятность дожития до возраста x лет по таблице смертностис корнем, равным 1.432Для расчетов функции возрастной структуры c(x) стабильного населения следует использовать дискретное приближение формулы (18.3):c( x, x + τ) ≈ n ⋅ e − r⋅( x + τ 2) ⋅ L( x, x + τ) ,где— середина возрастного интервала.Так,дляпятилетнеговозрастного(18.5)x+τ 2c( x, x + 5) ≈ n ⋅ e− r ⋅( x + 2,5)интервалаимеем⋅ L( x, x + 5) .Вставка 18.1.
Пусть население разбито на τ -летние возрастные группы. Доля каждой возрастной группы в общей численности населения будет равна сумме всехвозрастоввτ -летнеминтервалеилиинтегралуот xдо x + τ :τ∫с( x, x + τ) = c( x + t )dt или, после подстановки формулы (18.3),0τ∫c( x, x + τ) = n ⋅ e −r⋅( x +t ) ⋅ l ( x + t )dt .(18.4)0После ряда преобразований подынтегральной функции получается расчетнаяформула (18.5).При r = 0 из формулы (18.4) получается возрастная структура стационарного населения:τc( x, x + τ) = n ⋅ ∫ l ( x + t )dt .0Из формулы (18.3) следует, что возрастная структура зависит от двухпеременных: порядка вымирания l (x ) и одного из двух взаимосвязанныхкоэффициентов — общего коэффициента рождаемости и коэффициентаестественного прироста.
При этом, чем выше, при прочих равных условиях,коэффициент естественного прироста или общий коэффициент рождаемости, тем ниже доля лиц старших возрастов в общей численности населения. Эта зависимость отражена на рис. 18.2. Режим смертности трех популяций, расположенных в верхней части рисунка, определяется функциейдожития типовой таблицы смертности ООН с ожидаемой продолжительностью жизни при рождении для двух полов, равной 40 лет. Популяции различаются по коэффициентам прироста населения. Видно, что самая молодая возрастная структура наблюдается у населения с наибольшимкоэффициентом естественного прироста, равным r = 2% , самая старая —у стационарного населения ( r = 0 ).
Аналогичная закономерность наблюдается у трех нижних популяций с низким уровнем смертности. Режим433смертности в данном случае задается типовой таблицей смертности ООНс ожидаемой продолжительностью жизни при рождении для двух полов,равной 70 годам. Из рисунка 18.2 видно, что при одном и том же уровнеестественного прироста те популяции, где продолжительность жизни выше,имеют более низкую долю детских и более высокую долю старших возрастов в общей численности населения.Рис.
18.2. Возрастные пирамиды стабильных популяций с высокойжен.( e0жен. = 40 ) и низкой ( e0= 70 ) смертностью и истиннымкоэффициентом прироста r = 0%, 1%, 2% .18.5. РЕАЛЬНОЕ И УСЛОВНОЕ ПОКОЛЕНИЯВ СТАБИЛЬНОМ НАСЕЛЕНИИИз свойства изменения числа родившихся в стабильном населениипо экспоненциальному закону следует, что численность реального поколения в модели стабильного населения больше предыдущего и меньше по434следующего в e r раз1. Эта же величина определяет соотношение междучисленностями соседних возрастных групп в условных поколениях.
Последнее утверждение вытекает из формулы (18.3). Соотношения значенийродившихся, умерших и численности всего населения для условных и реальных поколений стабильного населения можно отобразить на сетке Лексиса (см. рис. 18.3). При этом из определения стабильного населения следует, что в нем интенсивности рождаемости и смертности реального иусловного поколений для одних и тех же возрастов совпадают.4P(3,1)P(3,1) erP(3,1) e2rP(2,1)P(2,1) erP(2,1) e2rP(1,1)P(1,1) erP(1,1) e2rP(0,1)P(0,1) erP(0,1) e2r3возраст2100B(0)1B(0)er2B(0)e2r 3B(0)e3r 4времяРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
