Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. В.И.Дмитриев (немного урезанные) (1114451)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Часть I.Обыкновенные дифференциальные уравненияп.1. Понятие дифференциального уравнения.Математические модели, описываемые обыкновеннымидифференциальными уравнениями.Дифференциальное уравнение является основой математического моделирования.Кратко о математическом моделировании. Дифференциальным уравнением называетсясоотношение между функциями и их производными. Если функции одной переменной, тоимеем обыкновенные дифференциальные уравнения, если функции несколькихпеременных, то дифференциальное уравнение в частных производных. Наш курспосвящен исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений.Пусть на отрезке [0,T] определена n раз дифференцируемая функция y (t ) и еепроизводные y′(t ),K y ( n ) (t ) .

Переменные t , y, y′,K, y ( n ) образуют (n+2) – мерноепространство. Если в области D ∈ Rn+2определена функция F (t , y, y′,K, y ( n ) ), тосоотношениеF (t , y, y′,K, y ( n ) ) = 0(1.1)называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Решением (1.1) называется nраз дифференцируемая функция y (t ) , заданная на [0,T] и обращающая соотношение (1.1)в тождество. Порядком уравнения называется порядок старшей производной в (1.1).Уравнение, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид:(1.2)y ( n ) (t ) = f (t , y, y′,K, y ( n−1) ) .Уравнение, разрешенное относительно старшей производной, легко записать в видесистемы первого порядкаdy1=y2 ;dtdy2=y3 ;(1.3)dt............dyn−1=yn ;dtdyn= f (t , y1 , y2 ,..., yn )dtОбщий вид системы первого порядка, разрешенной относительно производных,называют нормальной системойdym= f m (t , y1 ,K, yn ) ;m=1,2,K,n .(1.4)dtРешением системы (1.4) называют совокупность дифференцируемых функций{ y1,K, yn } , определенных на отрезке [0,T], которые при подстановке в (1.4) обращают ихв тождество.

При моделировании f m могут быть непрерывными или разрывными,3соответственно определяют функции ym . Мы будем считать в дальнейшем f mнепрерывными функциями. Процесс нахождения решения называется интегрированиемдифференциального уравнения.Задача для дифференциального уравнения или системы состоит из уравнения (илисистемы) и дополнительных условий, которые должны обеспечить существование иединственность решения этой задачи.

Обыкновенные дифференциальные уравнениямоделируют явления и процессы, которые описываются одной функцией или векторфункцией одного переменного.1.1 Временные процессы, где y(t) характеризует изменение какого-либо параметраво времени. Обычно математическая модель описывает связь между y (t ) , скоростью y′(t )и ускорением y′′(t ) процесса в виде:y′′(t ) = f (t , y (t ), y′(t ))или более простая модель, связывающая y (t ) со скоростью y′(t ) , в виде:y′(t ) = f (t , y (t )) .Если мы имеем несколько параметров модели y (t ) = { y1 (t ),K, yn (t )} , связанныхмежду собой и со скоростью y′(t ) и ускорением y′′(t ) их изменения, то имеем системыдифференциальных уравнений в виде:y′′(t ) = F (t , y , y′)(1.5)или, если связаны y (t ) и y′(t ) ,y′(t ) = F (t , y ) .Система (1.4) является нормальной, а система (1.5) не является нормальной.

Систему(1.5) можно перевести в нормальную, если ввести обозначения z (t ) = { z1 , z2 ,K, z2 n } , где y (t )i ∈ [1, n ]zi (t ) =  i.′y(t)in1,2n∈+[] i −nТогда имеем нормальную систему для z (t ) z (t )zi′(t ) =  n+i fi (t , z )гдеприi ∈ [1, n ]при i ∈ [ n + 1,2n ],fi (t , z ) = Fi −n ( t , z (1) , z (2) ) ,z = { z (1) , z (2) },z (1) = ( y1 , y2 ,K, yn ) ,z (2) = ( y1′, y2′ ,K, yn′ ) .Примеры математических моделейд л я в р е м е н н ы х п р о ц е с с о в:1.

Радиоактивный распад .m(t ) — масса распадающегося вещества. Количество распавшегося вещества ∆mпропорционально количеству m(t ) и времени, т.е.∆m = −α m(t )∆t ⇒ при∆t → 0имеем4dm= −α m(t ) .(1.6)dtРешение дифференциального уравнения m(t ) = Ce −α t . Дополнительно условие –m(t = t0 ) = m0 , тогда задача dm= −α m(t ) t ∈ [t0 , t0 + T ] , dt m(t0 ) = m0 .Решение задачи : m(t ) = m0e −α( t − t0 ).2. Размножение с миграцией.N (t ) – численность популяции, изменяющейся во времени,f (t ) – миграция. Уравнение имеет вид:dN (t )= α N + f (t ) .dtЕго решение N (t ) = C0eα tt+ ∫ f (τ )eα ( t −τ )dτ .t0Дополнительные условия: N (t0 ) = N 0 . Тогда задача имеет вид: dN= α N + f t ∈ [ t0 , t0 + T ]; dtN (t = t0 ) = N 0 .Решение задачи:N (t ) = N 0eα ( t − t0 )t+ ∫ f (τ )eα ( t −τ )dτ .t01.2 Пространственные процессы, где y(x) описывает распределение параметрапроцесса вдоль оси Оx.

Моделиy′′( x) = f ( x, y ( x), y′ )(1.7)илиy′( x) = F ( x, y , y′ ) .(1.8)П р и м е р м а т е м а т и ч е с ко й м о д е лип р о с т р а н с т в е н н о г о п р о ц е с с а:Равновесие атмосферы в поле сил тяжести.Давление p ( z ) и плотность воздуха ρ ( z ) в атмосфере изменяются с высотой z ( z =0земная поверхность). Если выделить маленький цилиндрический объем в воздухе высотой5dz и площадью сечения S , то его вес равен P = mg = ρ ⋅ S ⋅ dz ⋅ g , где g — земноеускорение. На этот цилиндр действует сила F = − S ⋅ dp за счет разности давления dp наразных концах цилиндра.

Условие равновесия F = P дает соотношениеdp− S ⋅ dp = ρ ⋅ g ⋅ S ⋅ dz или= − g ρ ( z) .dzДля того, чтобы получить окончательно дифференциальное уравнение, необходимоиз уравнения Клайперона pV = mRT , m = ρV выразить плотность ρ ( z ) через давлениеp( z ) :ρ ( z ) = p ( z ) RT ( z ) ; T ( z ) — температура воздуха.Откуда имеемdpg(1.9)=−⋅ p( z ) .dzRT ( z )Решение этого уравнения дает барометрическую формулуzp ( z ) = p0e−g dzR T (z)∫0,p0 = p ( z = 0) ,(1.10)которая определяет убывание давления с высотой при известном распределениитемпературы T ( z ) .п.2. Постановка задачи с начальными данными(задача Коши). Понятие корректной постановки задачи.Лемма Гронуолла–Беллмана.Рассмотрим вначале систему дифференциальных уравненийdy= f (t , y ),(2.1){t , y} ∈ D .dtЕе решение y = y (t ) = { y1 (t ), y2 (t ),K, yn (t )} представляет кривую в (n+1)-мерномпространствеRn+1 = {t , y1 , y2 ,K, yn }.

Эта кривая называется интегральной кривой.Подпространство Rn = { y1 , y2 ,K, yn } называют фазовым пространством. Проекцияинтегральной кривой на это пространство называется фазовой траекторией (или простотраекторией).(Пример из балистики).Cистема (2.1) в каждой точке области D, где определена f (t , y ) , определяетнаправление τ = {1, f1 ,K, f n } . Эта область с заданным направлением называется полемнаправлений. Кривые, определенные уравнением f (t , y ) = const , называют изоклинами.Это кривые в поле направлений выделяют постоянный наклон.П р и м е р для уравнения I порядка y′ = f (t , y ) ; например, f (t , y ) = t 2 + y 2 = const ⇒изоклины окружности.Семейство интегральных кривых однопараметрическое y = ϕ (t , C ) – это общеерешение дифференциального уравнения.

Если положить C = C1 (фиксированноезначение), то мы получаем частное решение. Для однозначности решения (определение6интегральной кривой) надо задать начальную точку, через которую проходитинтегральная кривая y (t = t0 ) = y0 .Таким образом, задача Коши:1) для уравнения I порядка y′ = f (t , y ), (t , y ) ∈ D = {t0 ≤ t ≤ t0 + T , a ≤ y ≤ b} , y (t = t0 ) = y0 ,(2.2)2) для системы уравнений I порядка y′ = f (t , y ), (t , y ) ∈ D = {t0 ≤ t ≤ t0 + T , ai ≤ yi ≤ bi } ,0i ∈ [1, n ] , y (t = t0 ) = y ,(2.3)3) для уравнения n-го порядка y ( n ) = f (t , y, y′,K, y ( n−1) ) ,( n −1)( n −1) y (t0 ) = y0 , y′(t0 ) = y0′ ,K, y (t0 ) = y0 ,(2.4)D = {t0 ≤ t ≤ t0 + T , ai ≤ y ( i ) ≤ bi , n ∈ [ 0, n − 1]} .Корректность постановки задачи (Адамар)При данной постановке задачи решение должно1) существовать и2) быть единственным.Это определяет математическую разрешимость задачи.

Кроме того, должновыполняться условие:3) решение задачи должно быть устойчивым по отношению к изменениямправой части и начальных данных. Это определяет физическую детерминированностьзадачи.Формулировка устойчивости решения: для ∀ε > 0 существует такое δ > 0 , что изусловияf1 − f 2 < δ и y01 − y02 < δ следует y1 − y2 < ε , где yi′(t ) = f i (t , yi )i ∈ [1,2] .y(tt)y==00i iМы последовательно должны рассмотреть все вопросы корректности задачи Коши.Л е м м а Гронуолла – Беллмана.Если непрерывная функция Z(t) удовлетворяет условию при t ≥ t0t0 ≤ Z (t ) ≤ k ∫ Z (τ )dτ + g (t );k = const ,(2.5)t0то выполняется оценкаt0 ≤ Z (t ) ≤ k ∫ g (τ )e k (t −τ ) dτ + g (t ) .t0Д о к а з а т е л ь с т в о.1) Вначале выведем дифференциальную оценку.7(2.6) R(t ) = 0Из R′(t ) ≤ kR (t ) + g (t ) при t ≥ t0 и  0k = constследуетtR(t ) ≤ ∫ g (τ )e k ( t −τ ) dτ .(2.7)t0Теперь проведем общее доказательство.tR′(t ) − kR(t ) ≤ g (t ) ⇒ ( R (t )e )′ e kt ≤ g (t ) ⇒ R(t ) ≤ ∫ g (τ )ek ( t −τ ) dτ .− ktt0t2) Введем R(t ) = ∫ Z (τ )dτ ; R (t0 ) = 0 ; R′ = Z (t ) .t0Подставим в (2.5)0 ≤ R′(t ) ≤ kR (t ) + g (t ); при ≥ t 0 R(t0 ) = 0, k = const .(2.8)tТогда, согласно (2.7), получаем R(t ) ≤ ∫ g (τ )e k ( t −τ ) dτt0или, подставив в правую часть (2.8) получим неравенствоt0 ≤ Z (t ) ≤ k ∫ g (τ )e k (t −τ ) dτ + g (t ) .t0Лемма доказана.п.3.

Теорема единственности решения задачи Коши для уравнения Iпорядка, разрешенного относительнопроизводной.Рассмотрим задачу Коши: y′(t ) = f (t , y ), t ∈ [t0 , t0 + T ] , y (t0 ) = y0 ,(3.1)Л е м м а 3.1. Задача Коши (3.1) эквивалентна интегральному уравнениюty (t ) = y0 + ∫ f (τ , y (τ ))dτ ;t ∈ [ t0 , t 0 + T ] .(3.2)t0Д о к а з а т е л ь с т в о.Пусть ∃ решение задачи Коши (3.1) y = y (t ) . Подставив y = y (t ) в (3.1), получимтождество, которое можно проинтегрировать, и тогда имеем (3.2) ⇒ решение задачи Коши(3.1) является решением интегрального уравнения (3.2).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций