Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. В.И.Дмитриев (немного урезанные) (1114451), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

∆(t0 ) находим из начальных данных, а по(17.8) ∆(t ) при ∀t ∈ [t0 , t0 + T ]. Формула (17.8) позволяет получить общее решениеуравнения 2-го порядка, если известно одно частное решение уравнения (17.6). Пусть y1 (t )– известное решение и y (t ) – общее решение.

Тогда из (17.8) имеемy1 (t ) y′(t ) − y1′(t ) y (t ) = C1e∫− P1 ( t ) dt,илиd  y (t ) C1 − ∫ P1 (t ) dte.=dt  y1 (t )  y12 (t )Окончательно, t − P1 ( t ) dt∫ey (t ) = y1 (t ) C1dt + C2  .2 t0 y1 (t )∫(17.9)Формула (17.9) дает выражение для общего решения дифференциального уравнения2-го порядка через известное одно решение y1 (t ) и первый коэффициент уравнения y1 (t ) .п.18. Основные понятия теории устойчивости.Устойчивость решения линейной системы.Мы рассматривали все свойства дифференциальных уравнений, если решениеопределено на конечном интервале t ∈ [t0 , t0 + T ] . Возникает вопрос, что будет снепрерывностью по начальным данным при t → ∞ . Это и входит в теорию устойчивости. y′(t ) = ay − 11– решение.Имеем задачу Коши 1 ⇒ y0 (t ) =ay(t=0)=aИзменим начальные данные на малую величину δ y′ = at − 11⇒ y (t ) = + δ e at .1a y (t0 ) = a + δ36Следовательно, y (t ) − y0 = δ e at , при конечном t имеемy (t ) − y0 (t ) → 0 ,δ →0(y (t ) − y0 ) → 0(y (t ) − y0 ) → ∞и .а при t → ∞ для ∀δ > 0 имеем a < 0a > 0Ясно, что безразлично какие начальные t0 .

Поэтому в дальнейшем рассматриваем0 ≤ t < ∞ . Причем, изучаем x (t ) = y (t ) − y (t = 0) , т.е. задача Коши для x (t ) dx = f (t , x (t )), 0 ≤ t < ∞(18.1) dt x (t = 0) = 0, ( f (t , x = 0) = 0)т.е. x =0 является решением (18.1).Устойчивость определяется поведением решения (18.1) при t→∞, если в (18.1)возмутить начальное условие x (t = 0) = x0 . Таким образом, вопрос об устойчивости связанс тем: остается ли решение на фазовой плоскости в окрестности точки покоя ( x =0) иливыходит из нее.О п р е д е л е н и е.Решение задачи (18.1) x = 0 называется устойчивым по Ляпунову, если для∀ε > 0 ∃δ (ε ) > 0 такое, что при x0 < δ (ε ) для всех t > 0 cправедливо неравенствоx (t , x0 ) < ε(18.2)и асимптотически устойчивым, если кроме устойчивости выполняется условие: ∃δ 0 > 0такое, что при x0 < δ 0 < δ (ε )lim x (t , x0 ) = 0 .(18.3)t →∞Исследуем устойчивость линейной системы с постоянными коэффициентами. Дляисследования необходимо иметь некоторые оценки, которые даются в лемме 18.1.Лемма 18.1.Справедливы следующие оценки:n ˆ1.

y (t ) =  yi (t ) = ∑ aik xk (t )  = Ax.k =1Если aik (t ) ≤ a (t ) , то|| y ||≤ Ca (t ) || x ||nn2. y =  yi = ∑∑ aijl (t ) x j xl  , aijl ≤ a(t ) ,j =1 l =1(18.4)тогда|| y ||≤ Ca(t ) || x ||2 .3. || x + y ||≤ C (|| x || + || y ||) .(18.5)(18.6)37t4.∫ y (τ )dτ0t≤ C ∫ || y (τ ) || dτ , 0 ≤ t ≤ T .(18.7)05.

Для импульсной функции Zˆ (t , t0 ) = Wˆ (t )Wˆ −1 (t0 ) формулы (13.2) справедливо неравенствоZ ij (t , t0 ) = Z ij (t − t0 ,0) < Ce( p +γ )( t −t0 ),(18.8)где p = max(Re λ k ), γ – положительная постоянная.k∈[1,n ]До к а з а т е л ь с т в о.22 n n221. y =  ∑ aik (t ) xk (t )  ≤ a (t )  ∑ xk (t )  ≤ na 2 (t ) x ⇒ k =1 k =12i22⇒ y ≤ n 2 a 2 (t ) x ⇒ y ≤ na (t ) x22 n n n n2y =  ∑∑ aijk (t ) x j xl  ≤ a (t )  ∑∑ x j xl  = j =1 l =1 j =1 l =12k2.22 n  n4= a 2 (t )  ∑ x j   ∑ xl  ≤ a 2 (t ) x ⇒ j =1   l =1 || y ||2 ≤ nyk2 ⇒ ||y ||2 ≤ na 2 (t ) || x ||4 ⇒ ||y ||≤ na(t ) || x ||2 .22223. ( xi + yi ) 2 ≤ xi + yi + 2 xi yi ≤ 2( xi + yi ) ⇒|| x + y ||≤ 2 || x ||2 + || y ||2 ≤ 2(|| x || + || y ||)tt004.

∫ yi (τ )dτ ≤ ∫ y dτ ⇒tt∫ y (τ)dτ ≤ n ∫ y dτ00 Zˆ ′ = AZˆ5. Переходя к новой переменной τ = t − t0 в задаче , Zˆ (t0 ) = Eˆприходим к Z ij (t , t0 ) = Z ij (t − t0 ,0) .Тогда Zˆ (t − t ,0) = Wˆ (t − t )Wˆ (0) ⇒ Z (t − t ,0) ≤ Ce( p +γ )( t −t0 )000ij0т.к. Wij (t − t0 ) ≤ ∑ ck t j eλk (t −t0 ) , а t j ≤ eγ (t −t0 ) , p = max Re λk .kТ е о р е м а 18.1. Решение линейной системы с постоянными коэффициентами dx ˆ = Ax , t > 0; Aˆ = {aij } , aij = const(18.9) dt x (t = 0) = 038асимптотически устойчивое, если для всех корней характеристического многочленавыполняется условие(18.10)Re λ k < 0 для ∀k ,и неустойчиво, если хотя бы одно Re λ k > 0 .Доказательство.В п.15 и п.16 мы описали, как строится решение для λ k .(m)x( k ) (t ) = (c1 + c2t + ... + cmk t⇒(m)( mk −1))eλ k tx ≤ Ce( pk +γ )t , где pk = Re λk .ˆ ˆWˆ ′ = AWˆФундаментальная матрица решений W (t ) Wˆ (t = 0) = Eˆимеет столбцы из фундаментальных решений⇒ Wˆ ≤ Ce( p +γ ) t , где p = max Re λk .kЕсли в (18.9) возмутить начальные условия x (t = 0) = ε 0 , то решение (18.9) будетx (t ) = Wˆ (t )ε 0 ⇒ x (t ) ≤ Wˆ ε 0 ≤ C ε 0 e( p +γ ) t .Если все Re λk< 0 , то при t → ∞ || x (t ) ||→ 0.Если хотя бы одно Re λ k = λ 0 > 0 , то || x ||≥ C || ε 0 || e( λ 0 −γ ) t → ∞ при t → ∞ .Если ∃ Re λ k = 0 , а остальные Re λ k < 0 , то вопрос об устойчивости сложен.

Возможныразные варианты.п.19. Исследование устойчивости решения системы по первомуприближению.Рассмотрим нелинейную автономную систему дифференциальных уравнений dx = f ( x ), t > 0, f (0) = 0(19.1) dt x (0) = 0Автономной называется система, правая часть которой не зависит от t .Исследование на устойчивость по первому приближению проводится следующимобразом:1) Разлагаем f ( x ) в ряд, учитывая, что f (0) = 0 . Тогдаˆ +Rf ( x ) = Ax(19.2)∂ fi |  , а R – остаточный член, который можно представить в виде;где Aˆ = aij =∂ x j x =0 nn∂ 2 fiR = { Ri } = ∑ ∑(19.3)| xl x j (взяв в средней точке).j =1 l =1 ∂ x j ∂ xl x =θ x39dx ˆ= Ax .

Если все Re λkdtматрицы А̂ меньше нуля, то решения линеаризованной системы устойчивые.3) Исследуем как влияет на устойчивость нелинейная поправка R ( x ).Рассмотрим систему2) Рассмотрим устойчивость линейной части системы dx = Ax + R ( x ), t > 0 dt x (t = 0) = x0Пусть Zˆ (t ,τ ) = Wˆ (t )Wˆ −1 (τ ) – импульсная функция для системыdx ˆ= Ax .dtТогда из (19.4) получим(19.4)tx (t ) = Zˆ (t ,0) x0 + ∫ Zˆ (t ,τ ) R ( x (τ ))dτ .(19.5)0Используя лемму 18.1, получим|| R ||≤ C || x ||2 ,Тогда|| x ||≤ Ce−α tt|| x0 || +C ∫ e −α( t −τ )|| x ||2 dτ ,(19.6)0где α = −( p + γ ); p = max Re λk < 0 , γ – любое положительное число, p + γ < 0.kЧтобы из (19.6) получить оценку для || x || при t → ∞ , рассмотрим вспомогательнуюзадачу: dz2 = α z + cz , t > 0(19.7) dt z (0) = z0 > c x0 , c > 0Сведем к интегральному уравнению, считая f = cz 2 ,z (t ) = z0e−α tt+ c ∫ e −αz (τ )dτ .( t −τ ) 2(19.8)0Сравнивая (19.6) и (19.8), получаемz (t ) >|| x || при любом t ≥ 0 .(19.9)Доказательствоz (t ) и || x (t ) || непрерывны и при t = 0 z (0) > c || x0 ||=|| x (0) || .

Следовательно,z (t ) >|| x (t ) || при 0 < t < t1 . Пусть z (t1 ) =|| x (t1 ) || . Тогдаz (t1 ) = z0e−α t1t1+ c ∫ e −α0t1> c || x0 || e −α t1 + c ∫ e−α( t1 −τ ) 2z (τ )dτ >( t1 −τ )|| x (τ ) || dτ =|| x (t1 ) || . То есть, z (t1 ) > x (t1 ) .040Пришли к противоречию. ⇒ z (t ) >|| x (t ) || при ∀t .Теперь оценку || x (t ) || получаем из оценки z (t ) , для которой имеется аналитическоерешениеα z0(19.10)z (t ) =cz0 + (α − cz0 )eα tПри z0 <0 < z (t ) ≤αcимеем z (t ) > 0 и имеемα z0α z0e−α t ⇒|| x (t ) ||<e −α t → 0.t →∞(α − cz0 )(α − cz0 )Имеем асимптотическую устойчивость.Т е о р е м а 19.1.

Пусть в некоторой окрестности точки покоя x = 0 праваячасть автономной системы f ( x ) непрерывна вместе с производными до 2-го порядкавключительно. Тогда, если все λ k характеристические числа матрицы∂ fi Aˆ = aij =| ∂ x j x =0 удовлетворяют условию Re λ k < 0 , то тривиальное решение системы (19.1)асимптотически устойчиво. Если хотя бы одно λ k имеет Re λ k > 0 , то решениенеустойчиво.п.20.

Исследование траектории в окрестности точки покоя.Исследование проводим в двумерном случаепостоянными коэффициентами:x = { x1 (t ), x2 (t )} для системы сa11 a12 dx ˆ= Ax ; Aˆ = dta21 a22 (20.1)или dx1фазовая траектория dt = a11 x1 + a12 x2⇒ dx1 a11 x1 + a12 x2=dx 2 =a x +a xdxa21 x1 + a22 x221 122 22 dt(20.2)Точка x = 0 является особой в уравнении (20.1).

Предположим, что в системе (20.1)λ = 0 не является корнем характеристического уравнения и корни различны λ 1 ≠ λ 2 . Вэтом случае общее решение (20.1) имеет вид:x = C1α (1)eλ1t + C2α (2)eλ 2t ,(20.3)где α(1),α (2) – собственные вектора матрицы А̂ , соответственно для λ411и λ 2.Тогдаλ1t+ C2λ 2αdx2 x2′ (t ) C1λ 1α (1)2 e==(1) λ 1tdx1 x1′ (t ) C1λ 1α 1 e + C2λ 2α(2) λ2t2(2) λ2t1eeРассмотрим различные случаи для разных соотношений между λ1.(20.4)и λ 2.1. Действительные λ одного знака.1а.

Im λ 1 = Im λ 2 = 0, 0 > λ 1 > λ 2 (отрицательные характеристические числа). Точкапокоя,согласно теореме 19.1, асимптотически устойчива. ЕслиC1 ≠ 0 , то приdx2 α=t →∞dx1 α(1)2(1)1= β1 ⇒ приt →∞имеем асимптотическую прямуюdx2 α=(проходит через точку покоя). Если C1 = 0 , то имеемdx1 α(2)2(2)1x2 = β1 x1= β 2 (прямая x2 = β 2 x1 )Такая точка покоя называется "узлом".1б. Im λ 1 = Im λ 2 = 0, λ 2 > λ 1 > 0(положительные характеристические числа).Получается та же картина, но точка покоя неустойчива и "узел" расходящийся (стрелкиидут от начала координат).2.

Характеристики

Список файлов лекций