Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. В.И.Дмитриев (немного урезанные) (1114451), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Обоснованием этого является следующая теорема.Т е о р е м а 27.1. Теорема Стеклова.Если дважды непрерывно дифференцируемая на[0,l ] функция z ( x)удовлетворяет однородным граничным условиям γ ( z ) = 0 иΓ( z ) = 0 , то она57разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся на [ 0,l ] ряд по собственнымфункциям задачи Штурма - Лиувилля.Д о к а з а т е л ь с т в о.Т.к. z ( x) – дважды непрерывно дифференцируемая функция, то Lz = f , где f –непрерывная функция. Т.к. ' z ' удовлетворяет краевым условиям, то она представима черезфункцию Грина в виде:lz ( x) = ∫ G ( x,ξ ) f (ξ )dξ ,0т.е. z ( x) – истокообразованное представление функции ⇒ по теореме Гильберта-Шмидта∞z ( x ) = ∑ z n yn ( x ) ,n =1lzn = ∫ z ( x) yn ( x) ρ ( x)dx ,0lпричем∫ ρ ( x) y2n( x)dx = 1 .0Используя теорему Стеклова, мы можем решать неоднородную краевую задачуразложением по собственным функциям.Имеем задачуL( y ) = f ,γ ( y) = Г ( y) = 0и λ = 0 не является собственным значением.Разложим решение y ( x) в ряд по ym ( x) :∞y = ∑ d m ym ( x).m =1Учитывая, чтоL( ym ) = −λm ρ ( x) ym ,получим∞L( y ) = −∑ λm ρ d m ym = f .m =1Откуда находимdm = −1lλm ∫0f ( x) ym ( x)dxили∞y ( x) = −∑m =1ym ( x )λm58l∫ f ( x) y0m( x)dx .Мы получили выражение для решения нашей задачи через правую часть f ( x) исобственные функции, соответствующей задачи Штурма-Лиувилля.п.28.

Поведение решения задачи Штурма-Лиувилля при x = 0 , еслиp ( x = 0) = 0 .Пусть p ( x) = xϕ ( x) при x → 0, ϕ (0) ≠ 0 и p ( x) > 0 при x ∈ (0, l ] .Тогда относительно y1 ( x) и y2 ( x) – линейно независимых решений задачи Штурма Лиувилля. можно доказать следующее утверждение.Л е м м а 28.1.Если p ( x) = xϕ ( x) при x → 0 и ϕ ( x) – ограничена, ϕ (0) ≠ 0, p ( x) > 0 при0 < x < l , а g ( x) = q ( x) − λ ρ ( x) ограничено (или может → ∞ при x → 0 ), то дляограниченного в точке x = 0 решения задачи Штурма - Лиувилля y1 ( x) выполняетсяусловиеlim p ( x) y1′( x) = 0 .x →0Д о к а з а т е л ь с т в о.1. g ( x) – ограничено. Тогда проинтегрируем уравнениеx1x1d dy1 ∫x dx  p( x) dx  dx = ∫x g ( x) y1 ( x)dx, 0 < x < x1 < l .Откудаx1p ( x) y1′ ( x) = p ( x1 ) y1′ ( x1 ) − ∫ g (ξ ) y1 (ξ )dξ = Q ( x) ,xlim p ( x) y1′ ( x) = lim Q( x) = C .x →0Покажем, чтоx →0C = 0.

Q( x) – непрерывно иограничено наx1Q(ξ )dξ.p(ξ)xТ.к. p (ξ ) = ξ ϕ (ξ ) , тоy1 ( x) = y1 ( x1 ) − ∫x1Q (ξ )dξ.ξ ϕ (ξ )0lim y1 ( x) = A < ∞; A = y1 ( x1 ) − ∫x →0Интеграл сходится, если Q (ξ ) → 0 .ξ →0590 < x < x1 , причем2. Случай g ( x) → ∞ при x → 0 , p ( x) – дифференцируемая функция. Легко показать,что ограниченная y1 ( x) монотонна при 0 < x < x1 , где g ( x) > 0 , (т.к. lim g ( x) = +∞ , то ∃ x1x →0такое, что g ( x) > 0 при 0 < x < x1 ), Если y1 ( x) немонотонна при 0 < x < x1 , то она имеетили отрицательный min или положительный max .В этой точке y′ = 0 ⇒y′′g ( x)g ( x), ноpy′′ + p′y′ − g ( x) y ( x) = 0 ⇒=> 0, аy ( x) p( x)p( x) y > 0, y′′ < 0y′′< 0y y < 0, y′′ > 0.Пришли к противоречию ⇒ y1 ( x) монотонна при 0 < x < x1 ⇒x1Q( x) = p ( x1 ) y1′ ( x1 ) − ∫ g (ξ ) y1 (ξ )dξ– монотонна ( g > 0, y1 – монотонна) и имеетxконечный или бесконечный предел. Если пределОкончательно∃, то согласно случаю 1 он = 0!lim p ( x) y1′( x) = 0 .x →0Л е м м а 28.2.Если y1 ( x) и y2 ( x) – линейно независимые решения уравнения L( y ) + λ ρ y = 0 ,p ( x) = xϕ ( x), ϕ ( x) > 0, x ∈ [ 0, l ] , то, еслиy1 ( x) – ограниченная функция,аlim y1 ( x) = C < ∞ , то y2 ( x) – неограниченная функция при x → 0 .x →0Д о к а з а т е л ь с т в о.C⇒p( x)xdξy2 ( x) = y1 ( x) C1 + C ∫2x0 p (ξ ) y1 (ξили (т.к.

p (ξ ) = ξ ϕ (ξ ), ϕ (ξ ) – ограничена)Согласно (22.4) из ∆( y1 , y2 ) =xdξy2 ( x) = C1 + C ∫2x0 ξ ϕ (ξ ) y1 (ξ)  1.:)  y1 ( x)Если y1 ( x) ≠ 0 при x = 0 , то интеграл расходится при x → 0, y2 ( x) – неограничена приx → 0 . Если y1 ( x) → 0 при x → 0 , то имеем неопределенность, которую раскрываем поЛопиталю60d dξC1 + C ∫2dx x0 p (ξ ) y1 (ξxlim y2 ( x) = limx →0d  1 dx  y1 ( x) x →0) =2C p ( x) y1 ( x)1= lim=−=∞ ,Climx →0 − y ′ y 2 ( x )x →0 p ( x ) y′( x )11согласно лемме 28.1.Л е м м а 28.3.Если в лемме 28.2 функция y1 ( x) = x n Z ( x) при x → 0 , а Z (0) = const ≠ 0 , тоψ 1 ( x) x n ; ψ 1 (0) = const ≠ 0, n > 0.y2 ( x ) = 1ψ ( x)ln ; ψ (0) = const ≠ 0, n = 02 2xД о к а з а т е л ь с т в о.xdξy2 ( x) = y1 ( x) C1 + C ∫2x0 ξ ϕ (ξ ) y1 (ξxdξ= x Z ( x) C1 + C ∫ϕ (ξ ) Z 2 (ξ )ξx0n=) =2 n +1 xCdξ = x Z ( x) C1 +*2* ∫2 n +1 ϕξ()()xZxx0nпо теореме о среднем 0 < x* < x0 .

Интегрируя получим искомое.п.29. Уравнение Бесселя. Построение решения в виде степенных рядов.Уравнением Бесселя называется уравнениеν 2′ (29.1)( xZν′ ( x) ) +  x −  Zν ( x) = 0, x ∈ (0, ∞)x Zν ( x) – называется цилиндрической функциейν -го порядка. Т.к.p ( x) = x ⇒ p (0) = 0 , то одна цилиндрическая функция ограничена, а другая имеетособенность при x → 0 .Решение уравнения Бесселя легко получить в виде степенного ряда. Из (29.1) имеем61x 2 Zν′′( x) + xZν′ ( x) + ( x 2 − ν 2 ) Zν = 0.Представим∞Zν ( x) = xσ ∑ ak x k .(29.2)k =0Подставим в уравнение, тогда∞∑ (σ + k )k =0или(σ∞+∑k =22−ν22∞− ν  ak x + ∑ ak x k + 2 = 02kk =0)a0{ (σ + k )+ (σ + 1) 2 − ν 2  a1 x +2}− ν 2  ak + ak −2 x k = 0 .Считая a0 ≠ 0 ⇒ σ = ±ν , возьмем σ = ν , тогда− ak −2.(2ν + 1)a1 = 0; ak =k (2ν + k )Считая ν ≥ 0 , получимa1 = 0, a3 = 0 и т.д.

a2 m+1 = 0 m ∈ [ 0, ∞ ]aи т.д.a0 ≠ 0, a2 = − 2 02 (ν + 1)a0.a2 m = (−1) m 2 m2 m!(ν + 1)(ν + 2)...(ν + m)Таким образом Zν определяется с точностью до постоянного множителя.1При выборе a0 = νполучим Бесселеву функцию первого рода ν -го2 Γ(ν + 1)порядка.Γ( x + 1) = xΓ( x) – гамма функция∞Γ( x) = ∫ e − t t x −1dt , x > 0; Γ(n + 1) = n!, Γ (1 2 ) = π .0Для x ≤ 0 берем из Γ( x)Γ(− x) =−π.x sin π xПри x = − n (n = 0,1, 2,..., ∞) Γ(− n) = ±∞ ,a2 m = (−1) m22 m+ν1Γ(m + 1)Γ(m + ν + 1)имеем(−1) k xJν ( x) = ∑ k =0 Γ ( k + 1)Γ ( k + ν + 1)  2 ∞2 k +ν.Это при ν ≥ 0 , а при отрицательных ν имеем ν ≠ − n (n – целое)62J −νk(−1)x( x) = ∑ k =0 Γ ( k + 1)Γ ( k − ν + 1)  2 ∞2 k −ν.Это продолжение Г(х) на отрицательное, но нецелое. Jν (x) – ограниченноерешение, J −ν ( x) – неограниченное решение.

Это линейно независимые решения.Если ν = − n , то легко показать, что J − n ( x) = J n ( x)(−1) n ,(−1) k xJ − n ( x) = ∑ k = n Γ ( k + 1)Γ ( k − n + 1)  2 ∞2 k −n,т.к. Γ(k − n + 1) = ±∞ при k ≤ n − 1 .Введя k = m + n , получим(−1) mxJ − n ( x) = (−1) ∑ m =0 Γ ( m + n + 1)Γ ( m + 1)  2 n∞2 m+ n= (−1) n J n ( x) .При целых ν = n линейно независимой функцией к J n ( x) является функцияНеймана N n ( x) или функция Бесселя второго рода n-го порядка.п.30. Собственные функции краевой задачи для уравнения Бесселя.Краевая задача для уравнения Бесселяv2L( y ) = (ty′(t ))′ − y (t ) = −λ ty (t ) , t ∈ (0, l )ty ( x = 0) – ограничена, y ( x = l ) = 0 (или y′( x = l ) = 0. )λгде Zν(Zν′ϕn()2; ρ ( x) = x .tприводит к уравнению Бесселя ⇒ y (t ) = Zν ( λ t ) ,p (t ) = t ; q (t ) =Замена переменных t = xνλ t – ограниченная цилиндрическая функция, а из условия Zνнаходим{λ } – собственные значения)= Z ( λ t ) – собственные функции, ортогональные с весом ρλ l = 0)νknl∫ϕnи()λ l = 0 (илисоответствующие=x( x)ϕ m ( x) xdx = 0, n ≠ m .0Рассмотрим следующую задачу Штурма-Лиувиля: найти такие {λk } , при которыхзадача d dy ( x)) = −λ xy ( x) , x ∈ [ 0, l ] , (x(30.1)dx dx y ( x = l ) = 0 ,имеет нетривиальное решение, непрерывное вместе со своими 2-мя производными.63Сделаем замену переменного x =tλt, y( x =λ) = Z (t ).Тогда придем к уравнению Бесселя нулевого порядка d dZ (t )) + tZ (t ) = 0 , t ∈ 0, λ l  , (tdtdt Z (t = λ l ) = 0 .Это уравнение имеет одно ограниченное решениеКраевое условие присобственных значений {λk }Z (t ) = CJ 0 (t ) ; y ( x) = CJ 0 ( λ x) .(30.2)x = l дает трансцендентное уравнение для определенияJ 0 ( λk l ) = 0 , k ∈ [1, ∞) ,(30.3)т.к.

функция Бесселя имеет ∞ число корней. Таким образом, мы имеем собственныеортонормированные функции для уравнения (30.1) в виде:yk =которые ортогональны с весом x :J 0 ( λ k x) 2 l 2; ak = ∫ J o ( λ k x) xdx , k ∈ [1, ∞) ,ak00 k ≠ my(x)y(x)xdx=km∫1 k = m0(30.4)l(30.5)Любая непрерывная дважды дифференцируемая функция f ( x ) на отрезке [ 0, l ]может быть разложена в ряд:f ( x) =∞∑ f k yk ( x ) ,(30.6)k =1гдеlf k = ∫ f ( x) yk ( x) xdx .(30.7)0п.31 Линейные уравнения в частных производных первого порядка.Рассматривается функция многих переменныхU ( x ) = U ( x1 , x2 ,..., xn );F ( x1 ,..., xn , U ,∂U; i ∈ 1, n – частные производные.∂ xi∂U∂U,...,) = 0 – уравнение в частных производных I порядка.∂ x1∂ xnЛинейное уравнениеn∂U∑ ai ( x ) ∂ xi =1i= 0, x ∈ Rn ,(31.1)ai ( x ) при x ∈ G ∈ Rn непрерывные функции со своими первыми частными производными.64n∑a2ii =1( x ) ≠ 0, x ∈ G(31.2)Рассматриваем уравнение (31.1) с условием (31.2)n∂U∑ ai ( x ) ∂ x = 0; ∑ ai2 ( x ) ≠ 0, x = {x1 , x2 ,..., xn } .i =1i =1inДля этого уравнения имеем систему дифференциальных уравнений для фазовыхтраекторийdx1dx2dxn==...

=.a1 ( x ) a2 ( x )an ( x )(31.3)Интегральные кривые системы (31.3) называются характеристиками исходногоуравнения. Через каждую точкуM ( x1 ,..., xn ) ∈ G проходит одна и только однахарактеристика.Т е о р е м а 31.1. Вдоль характеристики решение U ( x ) сохраняет постоянноезначение.Д о к а з а т е л ь с т в о.Если {xi (t ) = xi } параметрическое задание характеристики, тоnndU∂ U d xi∂ U=∑=∑ai = 0dti =1 ∂ xi d ti =1 ∂ xi(согласно уравнению 31.1).dU= 0 (вдоль характеристики) ⇒dt⇒ U = const (вдоль характеристики).Следовательно,О п р е д е л е н и е. Первым интегралом уравнения (31.1) называется функцияϕ ( x1 ,..., xn ) , обращающаяся тождественно в постоянную, когда M ( x1 ,..., xn )движется вдоль характеристики (интегральной кривой системы 31.1).В частности, пусть an ( x ) ≠ 0, M ∈ G , тогда систему (31.3) можно записать в виде:начальные данные xi|xn = xn0dxi ai ( x ), i ∈ 1, n − 1 ,=dxn an ( x )= xi0 i ∈ 1, n − 1 .(31.4)Решение системы (31.4)x i = X i ( x n , x 10 , x 20 ,..., x n0 ), i ∈ 1, n − 1 .{ }Функции X i сопоставляют точки {xi }; xi0 .Эти точки можно поменять местами, т.е.x i0 = X i ( x n0 , x 1 , x 2 ,..., x n ), i ∈ 1, n − 1 ,Функции(31.5)(31.6)X i ( x n0 , x ) – первые интегралы, т.к.

на решении (31.3) обращаются вxi0 = const .Взаимная обратимость (31.5) и (31.6) означает неравенство нулю якобиана:D ( X 1 ,..., X n−1 )≠ 0 при M ∈G .D ( x 1 ,... x n−1 )65(31.7)Это означает, что X 1 ,..., X n−1 являются функционально независимыми первымиинтегралами.Т е о р е м а 31.2.

Характеристики

Список файлов лекций