Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. В.И.Дмитриев (немного урезанные) (1114451), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

x = ξ условию сопряженияdG[G0 ]x=ξ = 0,  0  = 1 p(ξ ) . dx  x =ξ4. Условию ортогональности к ϕ 0 ( x) :l∫ G ( x, ξ0)ϕ 0 ( x)dx = 0 .0Т е о р е м а 24.1. Обобщенная функция Грина существует и единственна.Д о к а з а т е л ь с т в о.Если было бы две обобщенные функции, то их разность удовлетворяла быоднородной краевой задаче и была бы ортогональна к ϕ 0 . Согласно лемме 23.2 решениетакой задачи ≡ 0 ⇒ решение единственно.Докажем теперь ∃ G0 ( x,ξ ) .Рассмотрим три функции:1. ϕ 0 ( x); Lϕ 0 = 0; ϕ 0 (0) = ϕ 0 (l ) = 0,2. ϕ 1 ( x) – линейно независимое с ϕ 0 ( x) решение уравнения L(ϕ 1 ) = 0 , причем∆(ϕ 1 ,ϕ 0 ) = ϕ 1ϕ ′ 0 -ϕ ′ 1ϕ 0 =1 p ( x) ,3.

ω ( x) – решение задачи Коши L(ω ) = −ϕ 0 (ξ )ϕ 0 ( x), x ∈ [ 0, l ] ,ω (0) = 0,ω ′(0) = 0.иϕ0(24.1)Отметим, что ϕ 1 (0) ≠ 0 и ϕ 1 (l ) ≠ 0, иначе в этих точках ∆(ϕ 1 ,ϕ 0 ) = 0 , а функции ϕ1линейно независимы.Легко показать, что выполняется соотношениеω (l )= ϕ 0 (ξ ) .(24.2)ϕ 1 (l )Для этого применим к ϕ 0 и ω формулу Гринаl∫ (ϕ0L(ω ) − ω L(ϕ 0 ))dx = { p ( x) (ϕ 0ω ′ − ϕ ′ 0ω )}0Учитывая свойства ϕ0−ϕ 0 (ξ ) ∫ ϕ20|.0и ω , получимll( x)dx = − p (l )ϕ ′ 0 (l )ω (l )0ϕ 0 (ξ ) = p(l )ϕ ′ 0 (l )ω (l ) =ω (l )( p(l )ϕ ′ 0 (l )ϕ 1 (l ) ) .ϕ 1 (l )Из ∆(ϕ 1 ,ϕ 0 )=1 p ( x) ⇒ ϕ 1 (l )ϕ ′ 0 (l )=1 p (l ) .51Поэтому имеем (24.2)ϕ 0 (ξ ) =ω (l ).ϕ 1 (l )Представим теперь обобщенную формулу Грина в виде:C1ϕ 1 ( x) + C3ϕ 0 ( x); 0 ≤ x ≤ ξG0 ( x,ξ ) = ω (x)+ .Cϕ(x)Cϕ(x);ξxl+≤≤40 2 1Эта функция удовлетворяет уравнению LG0 = −ϕ 0 (ξ )ϕ 0 ( x) , а другие условия дляG0 должны быть выполнены подбором C1 , C2 , C3 , C4 .Граничные условия и условия сопряжения дают:ω (0) + C1ϕ 1 (0) + C3ϕ 0 (0) = 0ω (l ) + C ϕ (l ) + C ϕ (l ) = 02140C2ϕ 1 (ξ ) + C4ϕ 0 (ξ ) − C1ϕ 1 (ξ ) − C3ϕ 0 (ξ ) = 0C2ϕ ′ 1 (ξ ) + C4ϕ ′ 0 (ξ ) − C1ϕ ′ 1 (ξ ) − C3ϕ ′ 0 (ξ ) = 1 p (ξ )(24.3)Учитывая, что ϕ 0 (0) = 0, ϕ 0 (l ) = 0, ω (0) = 0, ω ′(0) = 0 иω (l )= ϕ 0 (ξ ) , получим первые два уравнения системы в виде:ϕ 1 (l )C1ϕ 1 (0) = 0ϕ 0 (ξ )ϕ 1 (l ) + C2ϕ 1 (l ) = 0.Откуда C1 = 0; C2 = −ϕ 0 (ξ ) .

Тогда вторая пара уравнений системы примет вид:−ϕ 0 (ξ )ϕ 1 (ξ ) + (C4 − C3 )ϕ 0 (ξ ) = 01′′−+−== ϕ 1 (ξ )ϕ ′ 0 (ξ ) − ϕ1′(ξ )ϕ 0 (ξ )ϕξϕξϕξ()()()()CC01430ξ()pЭти два уравнения эквивалентны и дают:C4 − C3 = ϕ 1 (ξ ) .Таким образом, имеемC1 = 0, C2 = −ϕ 0 (ξ ), C4 = C3 + ϕ 1 (ξ ) .(24.4)Мы из четырех уравнений получили только три решения, т.к. 3-е и 4-е уравнениябыли тождественны из-за соотношения (24.2).Учитывая (24.4), получим G0 ( x,ξ ) в виде:C3ϕ 0 ( x) 0 ≤ x ≤ ξG0 ( x,ξ ) = ω ( x) + ϕ 1 (ξ )ϕ 0 ( x) − ϕ 1 ( x)ϕ 0 (ξ ) + C3ϕ 0 ( x) ξ ≤ x ≤ l.Подставив это выражение в условие ортогональности G0 ( x,ξ ) к ϕ 0 ( x) , получим:l∫ ω ( x)ϕ0l0( x)dx + C3 ∫ ϕ20( x)dx +052l+ ∫ (ϕ 1 (ξ )ϕ 0 ( x) − ϕ 1 ( x)ϕ 0 (ξ ) )ϕ 0 ( x)dx = 0.ξОткуда находимllC3 = ϕ 0 (ξ ) ∫ ϕ 0 ( x)ϕ 1 ( x)dx − ϕ 1 (ξ ) ∫ ϕξξ20l( x)dx − ∫ ω ( x)ϕ 0 ( x )dx0Функция G0 ( x,ξ ) полностью определена и удовлетворяет всем условиям задачи.∃ G0 ( x,ξ ) доказано.Т е о р е м а 24.2.

Необходимым и достаточным условием однозначности иразрешимости неоднородной краевой задачи является условие ортогональностиправой части уравнения к собственной функцииϕ 0 ( x) . При этом решениепредставляется через обобщенную функцию Грина в виде:ly ( x) = ∫ G0 ( x,ξ ) f (ξ )dξ0и оно ортогонально к ϕ 0 ( x) .Доказательство проводится проверкой удовлетворения y ( x) всем условиям задачи,аналогично доказательству теоремы (22.1).п.25. Задача Штурма-Лиувилля и ее свойства.Задачей Штурма-Лиувилля называется задача на собственные значения для′дифференциального уравнения L( y ) = ( py′ ) − qy , гдеp ( x) > 0 – непрерывная дифференцируемая функция,q ( x) – непрерывная функция на [ 0,l ] .Постановка задачи.{λ k } , при которых однородная краевая задача L( y ) + λ ρ ( x) y ( x) = 0, x ∈ [ 0, l ]Найти собственные значенияγ ( y (0)) = 0, Γ( y (l )) = 0, ρ ( x) > 0имеет нетривиальные решения, { yk ( x)} – cобственные функции.

Предполагаем, что λ = 0не является собственным значением.Т е о р е м а 25.1. Если λ k собственное значение задачи Штурма-Лиувилля, тоему соответствует единственная собственная функция yk ( x) .Д о к а з а т е л ь с т в о.Предположим, что существуют две собственные функции yk ( x) и zk ( x) . Тогда онидолжны быть линейно независимы. Но при x = 0 выполняется граничное условие53α 1 yk′ (0) + β 1 yk (0) = 0α 1 zk′ (0) + β 1 zk (0) = 0.Т.к. ∃ отличное от нуля решение (α 1 , β 1 ) , то однородная алгебраическая системадолжна иметь определитель, равный нулю. Следовательно,∆( yk , zk ) = 0 при x = 0 ⇒∆( yk , zk ) = 0 при ∀x ∈ (0, l ) ⇒yk ( x), zk ( x) – линейно зависимы ⇒возможна только одна собственная функция для данного λ k .Т е о р е м а 25.2.

Собственные функции yk ( x) и ym ( x) для разных собственныхзначений λ k ≠ λ m ортогональны с весом ρ ( x) , т.е.l∫ ρ ( x) y ( x) ykm( x)dx = 0k ≠ m.0Д о к а з а т е л ь с т в о.Т.к. yk ( x) и ym ( x) удовлетворяют одним и тем же краевым условиям, то из формулыГрина имеемl∫ { y ( x) L ( ykm( x) ) − ym ( x) L ( yk ( x) )} dx = 0.0Подставим L( ys ) = −λ ρ ( x) ys ( x) , получим(λk−λlm)∫ ρ( x) yk ( x) ym ( x)dx = 0,0что и требовалось доказать.Т е о р е м а 25.3. Для граничных условий I или II рода y (0) = 0 (илиy′(0) = 0 ); y (l ) = 0 (или y′(l ) = 0 ) и при q ( x) ≥ 0 все собственные значения задачиШтурма - Лиувилля положительны, λ n > 0 .Д о к а з а т е л ь с т в о.Умножим уравнение Штурма - Лиувилля при λ n на yn ( x) и проинтегрируем по x .Тогдаl d  dyn yxpqxyxxyx()−()()+λρ()() dx = 0 .nnnn∫0dxdx Откуда найдем:lld  dy 2∫0 q( x) yn ( x)dx − ∫0 dx  p dxn  ⋅ yn ( x)dxλ n=.l2∫ ρ ( x) yn ( x)dx0Проинтегрировав по частям и учитывая граничные условия, получим;54l2lld  dyn  dyn ′−∫  pdx . y n ( x ) = ( p ( x ) yn ( x ) yn ( x ) ) | + ∫ p ( x ) dx  dx  dx 000Окончательно получим:lλ n=l∫ p( x) [ yn′ ( x)] dx + ∫ q( x) yn ( x)dx2020l∫ ρ ( x) y2n,( x)dx0т.к.

p ( x) > 0, ρ ( x) > 0, q ( x) ≥ 0 , то имеем λk> 0.Д о п о л н е н и е. Результат теоремы 25.3 λусловиеγ ( y ) = α1 y′(0) + β 1 y (0) = 0 , еслиΓ( y ) = α 2 y′(l ) + β 2 y (l ) = 0 , если β2β1α 2 < 0, α2(2k> 0 переносится и на третье краевое(α 1 > 0, α+β22)21+β21≠0)и на условие≠0 .п.26. Редукция задачи Штурма-Лиувилля кинтегральному уравнению.Запишем задачу Штурма - Лиувилля в виде неоднородной задачи: L( y ) = f , f = −λ ρ yγ ( y ) = 0Γ(y )=0.(26.1)Т.к. λ = 0 не является собственным значением, следовательно, с помощью функцииГрина G ( x,ξ ) (22.7) имеем:ly ( x) + λ ∫ G ( x,ξ ) ρ (ξ ) y (ξ )dξ = 0.0Если ввести новую функцию y ( x) =u ( x), ρ ( x) > 0 , то интегральное уравнениеρ ( x)запишется в виде:u ( x) + λl∫ K ( x, ξ)u (ξ )dξ = 0(26.2)0K ( x,ξ ) = ρ ( x) ρ (ξ )G ( x,ξ ) .K ( x,ξ ) = K (ξ , x) , т.е.

(26.2) – интегральноеТ.к.G ( x,ξ )=G (ξ , x) , то ядроуравнение с симметричным ядром, и мы можем использовать теорию Шмидта.Интегральное уравнение (26.2) является интегральным уравнением Фредгольмавторого рода с симметричным ядром. Интегральное уравнение (26.2) эквивалентно задаче55на собственные значения (26.1), т.е.

∀ решение (26.2) {um ( x), λm} является решением (26.1)um ( x )=y(x),λ mm  и наоборот.(x)ρИз теории интегральных уравнений с симметричным ядром:1. Если число собственных значений интегрального уравнения (26.2) конечно, то ядроуравнения называется вырожденным и представимо в виде:nu ( x)um (ξ )K ( x, ξ ) = ∑ m.(26.3)λm =1m2. Справедлива теорема Гильберта - Шмидта: если правая часть интегральногоуравненияu ( x) + λl∫ K ( x, ξ)u (ξ )dξ = f ( x) ,(26.4)0функция f ( x) истокообразно представима, т.е.

∃h( x) ∈ C такая, чтоlf ( x) = ∫ K ( x,ξ )h(ξ )dξ ,(26.5)0то f ( x) может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся на [ 0,l ] ряд пособственным функциям интегрального уравненияl∞f ( x) = ∑ f mum ( x); um ( x) + λm =1m∫ K ( x, ξ)um (ξ )dξ = 0 .(26.6)0Т е о р е м а 26.1. Ядро K ( x,ξ ) интегрального уравнения (26.2) являетсяневырожденным, а, следовательно, у него и у задачи Штурма - Лиувилля существуетбесконечное (счетное) множество собственных значений {λ k } и соответствующая имбесконечная последовательность { yn ( x)} собственных ортонормированных функций.Д о к а з а т е л ь с т в о.Предположим, что ядро K ( x,ξ ) вырожденноеG ( x, ξ ) =n1um ( x)um (ξ ).∑λmρ ( x) ρ (ξ ) m=1(26.7)Интегральное уравнение (26.2) имеет собственные функции те же, что идифференциальное уравнение ⇒ они непрерывны и дифференцируемы на (0, l ) .Тогда G ( x,ξ ) из (26.4) тоже непрерывная дифференцируемая функция, но этоx = ξ .

Следовательно, K ( x,ξ ) –противоречит условию скачкаG′( x,ξ ) приневырожденное ядро и имеет {λ k } и {uk } – счетное число собственных значений исобственных функций. Функции uk – ортонормированные ⇒l∫ ρ ( x) y2k056dx = 10 m ≠ k1 m = kl∫ ρ ( x) ym ( x) yk ( x)dx = 0Ортогональность с весом ρ ( x) .п.27. Решение неоднородного интегрального уравнения ссимметричным ядром.

Теорема Стеклова.Используя теорему Гильберта-Шмидта, мы можем получить решение неоднородногоинтегрального уравнения (26.4) в виде разложения по собственным функциям um ( x) .Умножив скалярно (26.4) на um ( x) , получимll00cm + λ ∫ um ( x)dx ∫ K ( x,ξ )u (ξ )dx = f m ,(27.1)cm = (u , um ) ; f m = ( f , um ) .Т.к. ядро симметрично, то, согласно определению собственных функций (26.6),получим:llu (ξ )(27.2)∫ K ( x,ξ )um ( x)dx = ∫ K (ξ , x)um ( x)dx = − m .где0λm0Подставив (27.2) в (27.1), найдемλ lcm −u (ξ )um (ξ )dξ = f mλm ∫0илиcm (1 −Откуда получаемcm = f mλmλm − λλ) = fm .λm= fm +λλm − λfm .Зная cm , мы можем найти решение неоднородного интегрального уравнения:∞∞∞λm =1m =1m =1λm − λu ( x) = ∑ cmum ( x) = ∑ f mum ( x) + ∑f mum ( x ) .(27.3)Эта формула работает для истокообразно представимых f ( x) .Разложением решения задачи по um ( x) можно решать неоднородныедифференциальные уравнения.

Характеристики

Список файлов лекций