Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. В.И.Дмитриев (немного урезанные) (1114451), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Фундаментальная матрица существует.Д о к а з а т е л ь с т в о.Решение задачи Кошиˆ ˆWˆ ′(t ) = AWt ∈τˆˆW (t0 ) = Eдает фундаментальную матрицу, т.к.∆(t0 ) = DetWˆ (t0 ) = DetEˆ ≠ 0,следовательно, по т.12.2 ∆(t ) ≠ 0 при ∀t ∈τ и решения{ y} - линейно независимы.(k )Т е о р е м а 13.2. Если Wˆ (t ) – фундаментальная матрица для однороднойˆ , где C - произвольныйсистемы, то ее общее решение представимо в виде: y (t ) = WCпостоянный вектор.Д о к а з а т е л ь с т в о.ˆ . НадоˆСогласно т.12.2.

y (t ) = WCесть решение однородной системы y′ = Ayпоказать, что мы можем удовлетворять произвольным начальным данным Кошиy (t0 ) = Wˆ (t0 )C = y 0 , т.к. DetWˆ (t0 ) ≠ 0 ⇒ ∃C для ∀y 0 .С л е д с т в и е. Решение задачи Коши для произвольных начальных данных y 0представимо в видеy (t ) = Zˆ (t , t0 ) y 0 ,где импульсная функция Zˆ (t , t ) является решением задачи Коши0ˆ (t ), Zˆ ′(t ) = AZ Zˆ (t0 ) = Eˆ .t ∈τ ,.(13.1)Д о к а з а т е л ь с т в о.Из теоремы 12.2. следует y (t ) = Wˆ (t )C , где Wˆ (t0 )C = y 0 ⇒ C = Wˆ −1 (t0 ) y 0 ⇒ y (t ) = Zˆ (t , t0 ) y 0 ,где30Zˆ (t , t0 ) = Wˆ (t )Wˆ −1 (t0 ) .(13.2)Легко видеть, что Zˆ (t0 , t0 ) = Eˆ и Zˆ (t ) удовлетворяет (13.1).п.14.

Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений.Т е о р е м а 14.1. Если Wˆ (t ) – фундаментальная матрица, а (0) y (t ) – частноеˆ + f , то общее решение неоднородного уравнениярешение уравнения y′ = Ayпредставимо в виде:y (t ) = Wˆ (t )C + (0) y (t ) .(14.1)Т е о р е м а 14.2. Частное решение неоднородной системы с нулевыминачальными данными выражается через импульсную функцию в виде:t(0)y (t ) = ∫ Zˆ (t ,τ ) f (τ )dτ ,(14.2)t0а общее решение задачи Коши с условием y (t ) = y 0 представимо в видеty (t ) = Zˆ (t , t0 ) y 0 + ∫ Zˆ (t ,τ ) f (τ )dτ .(14.3)t0Д о к а з а т е л ь с т в о.1) (14.3) получается из (14.1) и (14.2), поэтому надо доказать (14.2).2) Формула (14.2) получается вариацией постояннойy (t ) = Wˆ (t )C (t )ˆ ˆ (t )C (t ) + f ,y′(t ) = Wˆ ′(t )C (t ) + Wˆ (t )C ′(t ) = AWт.к. Ŵ ′ = AW , то имеем Wˆ (t )C ′(t ) = f (t ) ⇒ C ′(t ) = Wˆ −1 (t ) f (t ).Т.к.

y (t ) = 0 = Wˆ (t )C (t ) ⇒ C (t ) = 0 ⇒0000ttt0t0C (t ) = ∫ Wˆ −1 (τ ) f (τ )dτ ⇒ y (t ) = ∫ Wˆ (t )Wˆ −1 (τ )f (τ )dτ ,ˆ t ,τ ) .что и требовалось доказать, т.к. Wˆ (t )Wˆ −1 (τ )=Z(п. 15. Построение Ф.С.Р. для системы уравнений с постояннымикоэффициентами в случае некратных корней характеристическогоуравнения.ˆ с постоянными коэффициентамиЧастное решение однородной системы y′ = Ayбудем искать в виде:y (t ) = α eλ t ; α – постоянный вектор.(15.1)Тогда Aˆ − λ Eˆ α = 0.()Для того, чтобы ∃α ≠ 0 , необходимо31()M (λ ) = Det Aˆ − λ Eˆ = 0 ,(15.2)где M (λ ) – характеристический многочлен для системы.Т е о р е м а 15.1.

Пусть {λ k } , k ∈ [1, n ] – простые корни характеристическогоуравнения (15.2), аТогда(k )(k )y (t ) = ( k )α eλ k t , где ( k )α - нетривиальное решение системыAˆ − λ k Eˆ ( k )α = 0.(15.3)()ˆ .y (t ), k ∈ [1, n ] образуют Ф.С.Р. системы y′ = AyД о к а з а т е л ь с т в о.(k )Функцииα eλk t ={(k )}y (t ) k ∈ [1, n ]являютсярешениемсистемыдифференциальных уравнений, поэтому достаточно доказать их линейную независимость.Доказательство от противного. Пусть они линейно зависимы, т.е.n∑Ck =1α e(k )kλk t=0n∑Ck =12k≠0(15.4).Пусть C1 ≠ 0 (это не ограничивает общности), тогда запишем (15.4) в видеC1 α e( λ1 −λn ) t + C2 (2)α e( λ2 −λn )t +...+Cn ( n )α = 0 .Дифференцируя и умножая на e − ( λn −1 −λn ) t , получаем(λ 1 − λn )C1 (1)α e( λ1 −λn −1 ) t + ... + Cn( −n1−1)α = 0 .Дифференцируя и умножая на e − ( λn − 2 −λn −1 ) t , получаем(λ1 − λn )(λ1 − λn−1 )C1 (1)α e( λ 1 −λ n − 2 ) t + ...

+ Cn( −n−22)α = 0и т.д. Получаем, окончательно(λ 1 − λ n )(λ 1 − λ n −1 )...(λ 1 − λ 2 )C1 (1)α e( λ 1 −λ 2 )t = 0 .(15.5)Т.к. λ k – различны и (1)α ≠ 0 , то C1 = 0 . Пришли к противоречию ⇒ не ∃Ck таких,что выполняется (15.4). ⇒ Теорема доказана.(1)п.16. Построение Ф.С.Р. для системы уравнений при кратных корняххарактеристического уравнения.Пусть λk – корень характеристического уравнения Det ( Aˆ − λ Eˆ ) = 0 имеет кратностьmk .

Мы знаем из алгебры, что для матрицы с кратным собственным значением λkсобственные вектора ( j ) e , j ∈ [1, mk ] находятся из жордановой формыAˆ (1) e = λ (1) ekAˆ e = λk (2) e + (1) e(2).............................Aˆ ( mk ) e = λ ( mk ) e + ( mk −1) ekгде(1)e – собственный вектор,(2)(3)e , e ,...,( mk )e – присоединенные вектора.32(16.1)Выберем решения нашей системы таким образом, чтобы для векторов,определяющих решения, получилась жорданова форма. Для этого выберем первоерешение в виде (1) y = (1) eeλ k t , где (1) e – решение (нетривиальное) Aˆ (1) e = λk (1) e .Выберем второе решение для λ = λk в виде:(2)y = ( (2) e + (1) et )eλk t ⇒ Aˆ ( (2) e + (1) et )eλk t = {λ ( (2) e + (1) et ) + (1) et} eλk tkили Aˆ (2) e + tAˆ (1) e = (λk (2) e + (1) e ) + tλk (1) e (т.к.

Aˆ (1) e = λ k (1) e ), то получим для определения(2)e уравнениеAˆ (2) e = λ k (2) e + (1) e .(16.2)Если записать j - ое решение для λ k в виде:t 2 ( j −2)t j −1 (1) λ k t(16.3)y =( e +te+e + ... +e )e ; j ∈ [1, mk ] ,2!( j − 1)!тогда для (1) e j ∈ [1, mk ] получим жорданову форму (16.1). В алгебре известно, что если( j)λ( j −1)( j)собственное значение матрицы А̂ кратности mk , то (16.1) дают mk линейнонезависимых векторов ( j ) e , j ∈ [1, mk ] . Таким образом, приходим к утверждениюТ е о р е м а 16.1.

Каждому корню характеристического многочлена системыλ k (кратности mk ) отвечает mk решений, определенных (16.3), где ( j ) e j ∈ [1, mk ]является решением (16.1).Т е о р е м а 16.2. Решения, определенные в т16.1, взятые для всех lk = 1,...l  ∑ mk = n  образуют Ф.С.Р. k =1Д о к а з а т е л ь с т в о.Составим фундаментальную матрицу из решений ( j ) y( k ) k ∈ [1, l ] , j ∈ [1, mk ]Wˆ (t ) = (1) y (t ),..., ( m1 ) y , (1) y ,..., ( m2 ) y ,..., (1) y ,..., ( ml ) y .k{1122ll}Заметим, что ( j ) y( k ) (t = 0) = ( j ) e( k ) , тогда∆(t = 0) = DetWˆ (t = 0) = Det { ( J ) e( k ) } ≠ 0 (т.к. ( j ) e( k ) - линейно независимы)⇒ ∆(t ) ≠ 0 для ∀t ∈τ ⇒ { ( j ) y( k ) (t )} линейно независимы ⇒ они составляют Ф.С.Р.п.17. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Исследованиеуравнения 2-го порядка.

Формула Остроградского-Лиувилля.Ln ( y ) = y ( n ) + p1 y ( n−1) + ... + pn y = f (t )(17.1)p1 , p2 ,..., pn = const.Исследуем однородное уравнение 2-го порядкаy′′(t ) + α y′(t ) + ky (t ) = f (t ) .33(17.2)Сведем уравнение (12.2) к системе двух уравнений с двумя неизвестнымифункциями u1 (t ) = y (t ) , u2 (t ) = y (t ) . Тогда получим системуu1′(t ) = u2 (t ),′=−−αu(t)ku(t)u(t)12 2илиˆ (t ) ,u′(t ) = Au(17.3) 0Â =  −k(17.4)где1 .−α В этом случае характеристическое уравнение имеет вид−λM (λ ) = Det Aˆ − λ Eˆ =−k(1=0−λ − α)илиλ 2 + αλ + k = 0 .Откуда−α + α 2 − 4k−α − α 2 − 4kλ1 =; λ2 =.22(17.5)Возможны три случая.1.

α 2 > 4k ; λ 1 , λ 2 – действительные и отрицательные, причем различные. Общеерешение y (t ) = C1eλ 1t + C2eλ 2tт.к.eλ 1t = y1 (t ); y2 (t ) = eλ 2t –линейно независимыефункции. Их определитель Вронскогоy1 y2eλ 1t eλ 2t∆t === (λ 2 − λ 1 )e ( λ 1 + λ 2 ) t ≠ 0 .λλtty1′ y2′λ 1e 1 λ 2e 2При начальных данных y0 и y0′ получим:λ y − y0′ λ 1t λ 1 y0 − y0′ λ 2ty (t ) = 2 0e −e .λ 2 −λ 1λ 2 −λ 1Эти колебания не осциллирующие, а затухающие ( апериодические).2.

α2< 4k корни комплексные, сопряженные4k − α 222− at− aty1 (t ) = e cos bt ; y2 (t ) = e sin bt ,y1 (t ) и y2 (t ) – линейно независимые функции, т.к. их определитель Вронского не равен 0:λ 1 = −a + ib; λ 2 = − a + ib; a =34α; b=∆t =e − at cos bte − at sin bt− at− at− at= 2be −2 at ≠ 0.− at− ae cos bt − be sin bt − ae sin bt + be cos btОбщее решениеy (t ) = (C1 cos bt + C2 sin bt )e − at .Решение осциллирует и затухает. Если α = 0 , то a = 0 (затухания нет) и имеемy (t ) = C1 cos kt + C2 sin kt ) – периодические колебания.3.

Если α 2 − 4k = 0 , то имеем кратные корниλ 1=λ 2 =−Имеем одно решение y1 (t ) = e−αα t22=λ..Другим решением линейно независимым сопределитель Вронского не равен нулю:∆t =Общее решениеe−α tte2α−α t−−y1являетсяy2 (t ) = te−λt2. Ихα tα t2α− e 2 e 2 − te22λty (t ) = (C1 + C2t )e .−α t= e −α t ≠ 0 .2Рассмотрим теперь вывод формулы Остроградского-Лиувилля. Пусть нам известнодва независимых решения (17.2) y1 (t ) и y2 (t ) уравненияy′′(t ) + p1 (t ) y′(t ) + p2 (t ) y (t ) = 0(17.6)Тогда определитель Вронскогоy y2∆(t ) = 1= y1 (t ) y2′ (t ) − y′(t ) y2 (t ) .y1′ y2′Продифференцировав это выражение, получимd ∆(t )= y1 y2′′ − y1′′y2 .dtПодставим вторые производные из уравнения (17.6)ym′′ = − p1 (t ) ym′ − p2 (t ) ym , m ∈ [1,2] .Тогдаd ∆(t )= − ( p1 (t ) y2′ + p 2 (t ) y2 ) y1 + ( p1 (t ) y1′ + p 2 (t ) y1 ) y2 =dt= − p1 (t )( y1 y2′ − y1′ y2 ) = − p1 (t )∆ (t )Таким образом, мы получили35d ∆(t )= − p1 (t )∆ (t ) .(17.7)dtРешение этого уравнения дает выражение определителя Вронского через первыйкоэффициент дифференциального уравнения p1 (t ) :t−∫tP1 (τ ) dτ∆(t ) = ∆ (t0 )e 0(17.8)Это формула Остроградского - Лиувилля.

Характеристики

Список файлов лекций