Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. В.И.Дмитриев (немного урезанные) (1114451), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В обратную сторону,если ∃решение интегрального уравнения (3.2), то в силу непрерывности f (τ , t ) по τ интеграл в(3.2) является дифференциальной функцией. Продифференцировав (3.2), получим (3.1) ⇒решение интегрального уравнения является решением задачи Коши. Лемма доказана.Т е о р е м а 3.1 Решение задачи Коши (3.1) для дифференциального уравненияпервого порядка, разрешенного относительно производной единственно, если1) f (t , y ) непрерывна по t и y в области8R : t0 < t < t0 + T ; y0 − b < y < y0 + b ;2) f (t , y ) удовлетворяет в области R условию Липшица по y т.е.f (t , y1 ) − f (t , y2 ) ≤ N y1 − y2 , y1 , y2 ∈ [ y0 − b, y0 + b ] .Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 3.1.Редуцируем задачу Коши в предположении ∃ решения к интегральному уравнению(3.2). Предположим, что оно имеет два решения y1 (t ) и y2 (t ) .

Тогда их разностьU (t ) = y1 (t ) − y2 (t ) удовлетворяет соотношениюtU (t ) = ∫ ( f (τ , y1 (τ ) ) − f (τ , y2 (τ ) ) ) dτt0.U (t0 ) = 0Сделаем оценку, используя условия Липшицаttt0t0U (t ) ≤ ∫ f (τ , y1 ) − f (τ , y2 ) dτ ≤ N ∫ U (τ ) dτ при t0 < t < t0 + ε ,где ε выбирается так, что ym (t ) − y0 ≤ b, m = 1,2 и можно использовать условияЛипшица. Так как N = const , то по лемме Гронуолла - Беллмана при g (t ) ≡ 0 имеемТеорема доказана.0 ≤ U (t ) ≤ 0 ⇒ U (t ) ≡ 0 ⇒ y1 = y2 .Дальше можно распространить доказательство на больший интервал по t , покавыполняются условия теоремы.

Для линейного уравнения единственность доказываетсясразу для всего интервала по t , т.к. условия теоремы по y выполняются на всеминтервале t ∈ [t0 , t0 + T ] .п.4. Теорема существования решения задачи Коши для уравненияпервого порядка, разрешенного относительно производной.Т е о р е м а 4.1. Решение задачи Коши (3.1) при выполении условий (1) и (2)теоремы 3.1 существует в интервале t0 − h < t < t0 + h , где h = min(T , b M ) , где f ≤ Mв R.Д о к а з а т е л ь с т в о.Так как задача Коши эквивалентна интегральному уравнению (3.2), то докажем ∃решения интегрального уравнения.

Будем строить решение интегрального уравненияметодом последовательных приближений.tyn (t ) = y0 + ∫ f (τ , yn−1 (τ ))dτ .(4.1)t0Легко видеть, что если yn−1 (t ) ∈ R : {t0 ≤ t ≤ t0 + T , y − y0 ≤ b} ,то и yn (t ) ∈ R , т.к.yn − y0 ≤ M t − t0 ≤ Mh ≤ b .9(4.2)Поскольку y0 ∈ R , то по методу математической индукции все yn ∈ R. Теперьдокажем, что ∃ предел Y ( x) = lim yn ( x) .n→∞Представимnyn = y0 + ∑ ( ym − ym−1 ) .(4.3)m =1П р и з н а к В е й е р ш т р а с с а.∞∑UЕсли функциональный рядk =1сходящийся числовой ряд∞∑Ck =1kk(t ) определен на t ∈ [t0 , t0 + T ] и если существуеттакой, что для всех t ∈ [t0 , t0 + T ] и для ∀k справедливаоценкаU k (t ) ≤ Ck ,то функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на [t0 , t0 + T ] .С л е д с т в и е.Если U k (t ) – непрерывная функция и ряд сходится равномерно, то предел ряда∞V (t ) = ∑U k (t ) – непрерывная функция.k =1Докажем, что ряд∞∑( ym =1m− ym−1 ) сходится, тогда∞Y ( x) = y0 + ∑ ( ym − ym−1 ) .m =1Для этого построим можарантную оценку членов ряда (4.3)ty1 − y0 =∫ f (τ , y (τ ))dτ0≤ M t − t0 ≤ Mh ,t0ty2 − y1 =∫ ( f (τ , y (τ )) − f (τ , y (τ )) ) dτ10≤(используя условия Липшица)t02t − t0h2≤ N ∫ y1 − y0 dτ ≤ NM ∫ (τ − t0 )dτ ≤ NM≤ NM22t0t0ttи т.д., получим по методу математической индукцииym − ym−1 ≤ MN∞m −1hm.m!hmсходится по признаку ДаламбераМажорантный ряд ∑ MNm!m =1UNhlim m+1 = lim= 0 < 1.m→∞ Um→∞ m + 1mm −110Следовательно,функциональный∞∑(yрядm =1m− ym−1 )сходитсяабсолютноравномерно по признаку Вейерштрасса при t − t0 ≤ h , и мы имеем пределY (t ) = lim yn (t ) ,и(4.4)n →∞причем Y (t ) – непрерывная функция.

Покажем теперь, чтоttlim ∫ f (τ , yn−1 )dτ = ∫ f (τ , Y (τ ))dτ .n →∞Таккакf (τ , yn−1 )t0такое, что при n − 1 > n0t0удовлетворяетf (t , y′) − f (t , y′′) < ε , если | y′ − y′′ |< δ =(4.5)условиям1),2)теоремы3.1,тоε(N – коэффициент Липшица). Тогда ∃ n0Nимеем из условия lim yn (t ) = Y (t ) , что yn−1 − Y ( t ) < δ . Тогдаn →∞f (t , yn−1 ) − f (t , Y ) ≤ ε (δ ) при n − 1 > n0 , причем ε (δ ) → 0 при δ → 0 .Следовательно,ttt0t0lim ∫ f (τ , yn−1 )dτ = ∫ f (τ , Y )dτ .n →∞Отсюда следует, что при n → ∞ изtyn (t ) = y0 + ∫ f (τ , yn−1 (τ )dτt0имеемtY (t ) = y0 + ∫ f (τ , Y (τ ))dτ .t0Продифференцировав, получимdY= f (t , Y (t ))dt∃Y (t ) .теорема доказана.n.5 Дифференциальное уравнение I-порядка,неразрешенное относительно производной.Теорема существования и единственности решения.УравнениеF (t , y, y′) = 0 {t , y, y′} ∈ D3 ∈ R3 .(5.1)Т е о р е м а 5.1.

Если в некотором замкнутом трехмерном параллелепипедеD3 : {t0 − h < t < t0 + h, y0 − b < y < y0 + b, y0′ − c < y′ < y0′ + c}с центром в точке (t0 , y0 , y0′ ) , где y0′ – действительный корень уравненияF (t0 , y0 , y0′ ) = 0 , выполнены условия11а) F (t , y, y′) непрерывна по совокупности аргументов вместе с частными∂ F∂ Fи;производными∂ y∂ y′б)∂ F≠ 0,∂ y′ t , y , y′000то в окрестности точки t = t0 существует единственное решение y = y ( x) уравнения(5.1), удовлетваряющее начальным условиям y (t0 ) = y0 , y′(t0 ) = y0′ .Д о к а з а т е л ь с т в о.Условия а), б) дают, что в точке (t0 , y0 , y0′ ) выполнены условия ∃ и ! неявной функции y′(t ) = f (t , y ),′yf(t,y)=00 0∂ f∂ F ∂ y=−также непрерывна (это сильнее, чемпричем f – непрерывна по t , y , а∂ y∂ F ∂ y′условие Липшица по y.)Следовательно, решение ∃ и ! .Метод введения параметра.Пусть уравнение разрешено относительно y (t ) т.е.F (t , y, y′) = y (t ) − f (t , y′) = 0 ;∂ f≠ 0.∂ y′(5.2)Обозначим y′ = p (t ) (это введение параметра).

Тогда предполагая ∃ y (t ) решенияуравнения (5.2), получимdyd∂ f (t , p) ∂ f dp.= p (t ) = ( f (t , p ) ) =+dtdt∂ t∂ p dtОкончательно получаем уравнение для p (t )dp= f1 (t , p ) =dtp (t ) −∂ f (t , p)∂ t .∂ f (t , p)∂ p(5.3)Это уравнение разрешено относительно производной. Найдем его общее решениеp = p (t , c) .Тогда(5.4)y (t ) = f (t , p (t , c)) .Решение найдено. С – определено из начальных данных.Общий случай введения параметра.Уравнение (5.1).

Введем y′(t ) = p (t ) ⇒ имеем(5.5)F (t , y, p ) = 0 .(5.5) определяет поверхность в пространстве (t , y, p ) . Зададим эту поверхностьпараметрически12t = T (u , v) ; y = Y (u , v) ⇒ F (T (u , v), Y (u , v), Ρ(u , v) = 0 ⇒ v = V (u ); p = Ρ(u , v).Найдем уравнение для v от u .Так как dy = pdt , то, подставив∂ Y∂ Y∂ T ∂ Tdy =du +dv; pdt = Ρ(u, v) du +dv ,∂ u∂ v∂ v ∂ uполучим∂ Y∂ Y∂ T ∂ Tdu +dv = Ρ(u , v) du +dv .∂ u∂ v∂ v ∂ uОткуда∂ T ∂ YΡ(u , v)−dvu∂∂ u.= Φ (u , v) =∂Y∂Tdu− Ρ(u , v)∂v∂vПолучили уравнение в (u , v) , которое разрешено относительно производной(5.6)dv.dun.6 Особые решения уравнения I-го порядка,неразрешенного относительно производной.Особым называется такое решение, во всех точках которого нарушаетсяединственность решения задачи Коши.Рассмотрим вначале уравнение разрешенное относительно производной y′ = f (t , y ) .Нарушение единственности будет там, где нарушаются условия теоремы ∃ и !.

Если ∂ fнеограничено, то условие Липшица не выполнено и единственность нарушена.∂ yНапример :dy=ydtРешение уравнения23;∂(y∂ y23) = 32 y−1 3= ∞ ( y = 0) .(t + c)3y=.27Функция y (t ) = 0 является особым решением.Рассмотрим общий случайF (t , y, y′) = 0 .Если бы разрешили это уравнение, то для соответствующей ветви мы могли бы∂ y′. В соответствии с правилом дифференцирования неявной функции имеемвычислить∂ y13∂ y′∂ F ∂ y=−.∂ y∂ F ∂ y′(6.1)Если ∂ F ∂ y – ограничено, то условием нарушения единственности ∂ y′ ∂ f ∂ y = ∂ y = ∞  будет∂ F=0∂ y′(6.2)Таким образом, условием (необходимым) существования особого решения есть F (t , y, y′) = 0 F (t , y, p ) = 0(6.3)или  ∂ F (t , y, p )∂ F00== ∂ y′∂ pИсключив из системы (6.3) p, получим p-дискриминантную кривую y = y (t ) , котораябудет особым решением, если y = y (t ) является решением F (t , y, y′) = 0 .П р и м е р 1.( y′ )3− y 2 = 0 ; F ( y, p ) = p 3 − y 2 ;∂ F= 3 p2∂ pСистема p3 − y 2 = 0  y = 0⇒⇒ y = 0 – особое решение. 2p = 03 p = 0П р и м е р 2.( y′ )2− ty′ + y = 0 ; F ( y, p ) = p 2 − tp + y;∂ F= 2p −t.∂ pСистема y = t2 p − tp + y = 04 ⇒ y = t2⇒ – особое420ptt−= p = 2удовлетваряет уравнению t2 t F  t, ,  = 0 . 4 22решение,таккаконоМетод получения особых решений при известном общем решении.Пусть известен общий интеграл уравнения Φ (t , y, c) = 0 .

Это семейство решений.Особое решение есть огибающая этого семейства, т.е. Φ (t , y, c) = 0 ;∂ Φ ∂ c = 0.14Исключая с, получим с-дискриминантную кривую ϕ (t , y ) = 0 . Это особое решение, т.к.функция ϕ (t , y ) = 0 является решением дифференциального уравнения и в каждой точкенарушается единственность решения.Для того, чтобы разрешить Φ (t , y, c) = 0 относительно y = y (t , c) (или t = t ( y, c)) ,∂ Φ∂ Φнеобходимо, чтобы одновременно не обращались в нольи, т.е. должно быть∂ t∂ yвыполнено условие22∂ Φ ∂ Φ + ≠ 0. ∂ t   ∂ y Однако точкиdΦ =∂ Φ ∂ Φ== 0 могут входить в огибающую, т.к.∂ t∂ y∂ Φ∂ Φ∂ Φdt +dy +dc = 0 ⇒ при∂ t∂ y∂ c∂ Φ∂ Φ∂ Φ=0 и=0 ⇒= 0.∂ t∂ y∂ cЧтобы исключить эти точки, мы должны записать условия ∃ особого решенияΦ (t , y, c) = 0 ;∂ Φ=0 ;c∂ ∂ Φ 2  ∂ Φ 2 + ≠ 0. ∂ t   ∂ y П р и м е р:( y′) 2 − ty′ + y = 0 .Общий интегралΦ (t , y, c) = y − ct + c 2 = 0 (т.к.

y = c(t − c) ) ;особое решение находим из системы y − ct + c 2 = 0 −t + 2 c = 01 + c 2 ≠ 0Откуда c =∂ Φ= −t + 2c∂ c∂ Φ∂ Φ= −c;=1∂ t∂ ytt2 t2t2t– особое решение., а c – дискретная кривая y = t − = , y =224 4415(6.4)n.7. Общий интеграл уравнения I-го порядка.Интегральный множитель.MN ≠ 0 всегда можно представить в видеNM (t , y )dt + N (t , y )dy = 0, N ≠ 0Уравнение y′(t ) = f (t , y ) = −Если M =(7.1)∂VdV, то (7.1) уравнение в полных дифференциалах и мы имеем,а N=∂ t∂ y∂V∂VMdt + Ndy =dt +dy = dV = 0 .(7.2)∂ t∂ yСледовательно, имеем(7.3)V (t , y ) = C .Представление (7.3) — общий интеграл уравнения (7.1). Неявно представленоdVоднопараметрическое семейство решений. Оно разрешимо, т.к.

N =≠ 0,∂ yследовательно,(7.4)y = y (t , C ) .Если мы для уравнения (7.1) имеем задачу Коши y (t = t0 ) = y0 , то C = V (t0 , y0 ) иобщее решение(7.5)V (t , y ) = V (t0 , y0 ) .Это другое определение общего решения через задачу Коши для произвольного y0 .Чтобы найти явное выражение решения (7.3) необходимо, чтобы N ≠ 0 . Если внекоторой точке N = 0 , а M ≠ 0 , то можно определить(7.6)t = t ( y, C ) .Если в некоторой точке одновременно N = 0 и M = 0 , то это особая точка.Т е о р е м а 7.1. Необходимым и достаточным условием представления∂M ∂N(еслиуравнения (7.1) в полных дифференциалах является условие=∂y∂tрешение ∃ ).1) Д о к а з а т е л ь с т в о н е о б х о д и м о с т и.∂V∂V∂ M ∂ N ∂ 2VM=; N=⇒==.∂ t∂ y∂ y ∂ t ∂ t∂ y2) Д о к а з а т е л ь с т в о д о с т а т о ч н о с т и.Пустьt∂V⇒ V (t , y ) = ∫ M (t , y )dt + ϕ ( y ) ⇒M=∂ tt016t∂V t ∂ M∂N⇒=∫dt + ϕ ′( y ) = ∫dt + ϕ ′( y ) ⇒∂ y t ∂ y∂tt00∂V= N (t , y ) − N (t0 , y ) + ϕ ′( y ).∂ yyВозьмем ϕ ( y ) = ∫ N (t0 , y )dy , тогда ϕ ′ ( y ) = N (t0 , y ) ⇒y0(это мы получим из∂V= N (t , y )∂ y∂V∂ M ∂ N=M и).=∂ t∂ y∂ tТеорема доказана.Общее решение можно записать в виде:tyV (t , y ) = ∫ M (t , y )dt + ∫ N (t0 , y )dy = C ,если∂ M ∂ N.=∂ y∂ tПредположим, чтоt0(7.7)y0∂ M ∂ N.

Характеристики

Список файлов лекций