В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии (1113130), страница 16

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³±²¼ ¤«¿ ­¥ª®²®°»µ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ irXi=1ig(a; ei) = g(a;rXi=1iei) = g (a; b) = 0P(§¤¥±¼ b = ri=1 iei 2 V ). …±«¨ ° ­£ ±¨±²¥¬» ³° ¢­¥­¨© ¬¥­¼¸¥ r, ².¥. ¥±«¨ ±²°®ª¨ «¨­¥©­®§ ¢¨±¨¬», ²® ½²® ° ¢­®±¨«¼­® ²®¬³, ·²® ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® b 2 V , b 6= 0, ° ¢¥­±²¢® g (a; b) = 0¢»¯®«­¥­® ¤«¿ ¢±¥µ a 2 W (².¥. ®²®¡° ¦¥­¨¥ a 7! g (a; b) ²®¦¤¥±²¢¥­­® ° ¢­® ­³«¾).

® ½²®§­ ·¨², ·²® b 2 Ker g , ¨«¨, ¤°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, V \ Ker g 6= f0g. ® ²®£¤ «¨­¥©­ ¿ ­¥§ ¢¨±¨¬®±²¼,­ ®¡®°®², ®§­ · ¥², ·²® V \ Ker g = f0g.V \ V ? = Ker gV , £¤¥ gVg ­ V .„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­»© ¢¥ª²®° a 2 V \ V ? , ²®£¤ a 2 V ¨ g (a; b) = 0 ¤«¿«¾¡®£® b 2 V , ¯®½²®¬³, ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾, a 2 Ker gV .‚®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­»© ¢¥ª²®° c 2 Ker gV , ²®£¤ c 2 V (².ª. gV ®¯°¥¤¥«¥­ ²®«¼ª® ­ V ) ¨g (c; b) = 0 ¤«¿ «¾¡®£® b 2 V , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, c 2 V ?, ¯®½²®¬³ c 2 V \ V ? .‹¥¬¬ 5.4.3| ®£° ­¨·¥­¨¥‘«¥¤±²¢¨¥V V ?.5.4.4 …±«¨Ker gV = f0g(².¥. ®£° ­¨·¥­¨¥g­ V­¥ ¢»°®¦¤¥­®), ²®W =’.ª. V \ V ? = f0g, ²® V + V ? = V V ? W (².¥.

±³¬¬ | ¯°¿¬ ¿),?¯°¨·¥¬ dim(V V ) = dim V + dim V ? > dim V + (dim W dim V ) = dim W , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®,V V ? = W.„®ª § ²¥«¼±²¢®.52g ­ V ¨ ­ V ? ­¥¢»°®¦¤¥­», ²® (V ?)? = V .„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚«®¦¥­¨¥ V (V ? )? ¨¬¥¥² ¬¥±²® ­¥§ ¢¨±¨¬® ®² ³±«®¢¨© ­ g . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ a 2 V , ²® g (a; b) = 0 ¤«¿ «¾¡®£® b 2 V ? .„®ª ¦¥¬ ±®¢¯ ¤¥­¨¥ V ¨ (V ? )? . ®±ª®«¼ª³ ®£° ­¨·¥­¨¿ g ­ V ¨ V ? ­ ¢»°®¦¤¥­», ¨¬¥¾²¬¥±²® ° §«®¦¥­¨¿ W = V V ? = V ? (V ? )? .

®½²®¬³ dim V = dim(V ? )? , ¨ ¨§ ±®¢¯ ¤¥­¨¿° §¬¥°­®±²¥© ¯°®±²° ­±²¢ (V ? )? ¨ ¥£® ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ V ±«¥¤³¥² ¨µ ±®¢¯ ¤¥­¨¥.‹¥¬¬ 5.4.5 …±«¨ ®£° ­¨·¥­¨¿W = V V ?, e1; : : : ; er | ¡ §¨± ¢ V , er+1; : : : ; en| ¡ §¨± ¢ V ? . ’®£¤ ? 0 .¢ ¡ §¨±¥ e1 ; : : : ; en ¬ ²°¨¶ ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨ ¨¬¥¥² ¢¨¤ G =0 ?‹¥¬¬ 5.4.6 ³±²¼„®ª § ²¥«¼±²¢®. ®±ª®«¼ª³ ¯°¨ i 6 r, j > r (¨ ­ ®¡®°®², ¯°¨ i > r, j 6 r) g (ei ; ej ) = 0, ² ªª ª ¢¥ª²®°» ei ; ej ¯°¨­ ¤«¥¦ ² ° §«¨·­»¬ ¯°¿¬»¬ ±« £ ¥¬»¬, ²® ¢ «¥¢®¬ ­¨¦­¥¬ ¨ ¯° ¢®¬¢¥°µ­¥¬ ³£« µ ¬ ²°¨¶» ¡³¤³² ­³«¨.5.5®°¬ «¼­»© ¢¨¤ ¬ ²°¨¶» (ª®±®)±¨¬¬¥²°¨·¥±ª®© ¨«¨ ½°¬¨²®¢®© ´³­ª¶¨¨®±¬®²°¨¬ ¯®¤°®¡­¥¥, ª ª ³±²°®¥­» «¨­¥©­»¥ ¯°®±²° ­±²¢ ± § ¤ ­­»¬¨ ­ ­¨µ(ª®±®)±¨¬¬¥²°¨·­»¬¨ ¡¨«¨­¥©­»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨. ·­¥¬ ± ®¤­®¬¥°­®£® ±«³· ¿.I. ‘¨¬¬¥²°¨·­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¢ ®¤­®¬¥°­®¬ ¢¥¹¥±²¢¥­­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥.

³±²¼ e 2 V | ¡ §¨±¢ V , a = e ¨ b = b, ²®£¤ g (a; b) = g (e; e). …±«¨ g (e; e) = 0, ²® ² ª ¿ ´³­ª¶¨¿ ¢»°®¦¤¥­ ­ V . …±«¨ g (e; e) > 0, ²®, ¨§¬¥­¨¢ ¤«¨­³ ¡ §¨±­®£® ¢¥ª²®° , ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ² ª®© ¢¥ª²®° e0 ,·²® g (e0; e0) = 1. …±«¨ g (e; e) < 0, ²® ² ª¨¬ ¦¥ ±¯®±®¡®¬ ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ g (e0; e0) = 1. ’ ª¨¬®¡° §®¬, ±³¹¥±²¢³¥² ¡ §¨±, ¢ ª®²®°®¬ ¬ ²°¨¶ (®¤­®¬¥°­ ¿) ½²®© ´³­ª¶¨¨ ¨¬¥¥² ®¤¨­ ¨§ ²°¥µ¢¨¤®¢, ¨¬¥­­® (0), (1) ¨«¨ ( 1).II. ‘¨¬¬¥²°¨·­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¢ ®¤­®¬¥°­®¬ ª®¬¯«¥ª±­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥.

²®² ±«³· © ­ «®£¨·¥­¯°¥¤»¤³¹¥¬³. …±«¨ g (e; e) = 2 C , ²®, ³¬­®¦¥­¨¥¬ e ­ 1=2 ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ² ª®© ¢¥ª²®° e0 ,·²® g (e0; e0) = 1. ˆ² ª, ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ±³¹¥±²¢³¥² ¡ §¨±, ¢ ª®²®°®¬ ´³­ª¶¨¿ ¨¬¥¥² ®¤¨­ ¨§ ¤¢³µ¢¨¤®¢ | (0) ¨«¨ (1).III. °¬¨²®¢ ´³­ª¶¨¿ ¢ ®¤­®¬¥°­®¬ ª®¬¯«¥ª±­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥. ®±ª®«¼ª³ g (a; a) = g (a; a),²® g (a; a) ¢¥¹¥±²¢¥­­ ¤«¿ «¾¡®£® a. …±«¨ e0 = e, ²® g (e0; e0) = j jg (e; e), ².¥.

g (e0; e0) ¨¬¥¥² ²®²¦¥ §­ ª, ·²® ¨ g (e; e). ®½²®¬³ ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¬ ²°¨¶ ´³­ª¶¨¨ ®¯¿²¼ ¨¬¥¥² ®¤¨­ ¨§ ²°¥µ ¢¨¤®¢| (0), (1) ¨«¨ ( 1).IV. Š®±®±¨¬¬¥²°¨·­ ¿ ´³­ª¶¨¿. ’.ª. g (e; e) = g (e; e), ²® «¾¡ ¿ ª®±®±¨¬¬¥²°¨·­ ¿ ´³­ª¶¨¿­ ®¤­®¬¥°­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ²®¦¤¥±²¢¥­­® ° ¢­ ­³«¾.

‚ ¤¢³¬¥°­®¬ ±«³· ¥, ¥±«¨ g ­¥ ²®¦¤¥±²¢¥­­® ° ¢­ ­³«¾, ²® ­ ©¤³²±¿ ² ª¨¥ ¢¥ª²®°» a; b, ·²® g (a; b) = 6= 0. °¨½²®¬ ½²¨ ¤¢ ¢¥ª²®° ®¡¿§ ­» ¡»²¼ «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬»¬¨, (¥±«¨ b = a, ²® g (a; b) = g (a; a) = 0) ±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ®­¨ ®¡° §³¾²¢ ¤¢³¬¥°­®¬‚ ½²®¬ ¡ §¨±¥ ¬ ²°¨¶ ´³­ª¶¨¨ g g(a; a)¡ §¨± 0 ¯°®±²° ­±²¢¥.g(a;b)¨¬¥¥² ¢¨¤ G = g (b; a) g (b; b) =. ‚§¿¢ ¡ §¨± e1 = a, e2 = 1 b, ¯®«³·¨¬ ¢ ­¥¬0 0 1¬ ²°¨¶³ G =1 0 . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ³ «¾¡®© ª®±®±¨¬¬¥²°¨·¥±ª®© ´³­ª¶¨¨ ­ ¤¢³¬¥°­®¬01¯°®±²° ­±²¢¥ ±³¹¥±²¢³¥² ¡ §¨±, ¢ ª®²®°®¬ ¥¥ ¬ ²°¨¶ ¨¬¥¥² ®¤¨­ ¨§ ¤¢³µ ¢¨¤®¢ |1 00 0¨«¨ 0 0 .’¥®°¥¬ 5.5.1 1) ³ «¾¡®© ±¨¬¬¥²°¨·­®© ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨ ­ ¢¥¹¥±²¢¥­­®¬ ¢¥ª²®°­®¬¯°®±²° ­±²¢¥ ±³¹¥±²¢³¥² ¡ §¨±, ¢ ª®²®°®¬ ¥¥ ¬ ²°¨¶ ¨¬¥¥² ¤¨ £®­ «¼­»© ¢¨¤ ± ·¨±« ¬¨,­ ¤¨ £®­ «¨.0 1532) ³ «¾¡®© ±¨¬¬¥²°¨·­®© ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨ ­ ª®¬¯«¥ª±­®¬ ¢¥ª²®°­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥±³¹¥±²¢³¥² ¡ §¨±, ¢ ª®²®°®¬ ¥¥ ¬ ²°¨¶ ¨¬¥¥² ¤¨ £®­ «¼­»© ¢¨¤ ± ·¨±« ¬¨ , ­ ¤¨ £®­ «¨.3) ³ «¾¡®© ½°¬¨²®¢®© ¯®«³²®° «¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨ ­ ª®¬¯«¥ª±­®¬ ¢¥ª²®°­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥±³¹¥±²¢³¥² ¡ §¨±, ¢ ª®²®°®¬ ¥¥ ¬ ²°¨¶ ¨¬¥¥² ¤¨ £®­ «¼­»© ¢¨¤ ± ·¨±« ¬¨ ,­ ¤¨ £®­ «¨.4) ³ «¾¡®© ª®±®±¨¬¬¥²°¨·­®© ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨ ­ ¢¥¹¥±²¢¥­­®¬ ¨«¨ ª®¬¯«¥ª±­®¬ ¢¥ª²®°­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ±³¹¥±²¢³¥² ¡ §¨±, ¢ ª®²®°®¬ ¥£® ¬ ²°¨¶ ¨¬¥¥² ¡«®·­®-¤¨ £®­ «¼­»©0 10 1¢¨¤ ± ¡«®ª ¬¨0 11 0„®ª § ²¥«¼±²¢®.‹¥¬¬ ¨(0) ­ ¤¨ £®­ «¨.³­ª²» 1)-3).g 6= 0, £¤¥ ga, ·²® g (a; a) 6= 0.5.5.2 …±«¨² ª®© ¢¥ª²®°| ´³­ª¶¨¿ ¨§ ¯³­ª²®¢ 1)-3) ²¥®°¥¬», ²® ±³¹¥±²¢³¥²„®ª § ²¥«¼±²¢®.

°¥¤¯®«®¦¨¬ ¯°®²¨¢­®¥. ³±²¼ g (a; a) = 0 ¤«¿ «¾¡®£® ¢¥ª²®° a. ’®£¤ ,².ª. g (a + b; a + b) g (a; a) g (b; b) = g (a; b) + g (b; a), ²® g (a; b) + g (b; a) = 0 ¤«¿ «¾¡»µ ¢¥ª²®°®¢a; b. …±«¨ g | ±¨¬¬¥²°¨·­ ¿, ²® ±° §³ ¯®«³· ¥¬ g(a; b) = 0. …±«¨ g | ½°¬¨²®¢ , ²® ¨¬¥¥¬g (a; b) + g (a; b) = 2 Re(g (a; b)) = 0. ‚§¿¢ ¢¬¥±²® ¢¥ª²®° b ¢¥ª²®° ib, ¯®«³·¨¬ Re(g(a; ib)) =Im(g (a; b)) = 0 ¤«¿ «¾¡»µ ¢¥ª²®°®¢ a; b. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­® ­ ¸ ´³­ª¶¨¿ g ²®¦¤¥±²¢¥­­® ­³«¥¢ ¿,·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾.„ «¥¥ ¡³¤¥¬ ¤¥©±²¢®¢ ²¼ ¯® ¨­¤³ª¶¨¨ (¡ § ¨­¤³ª¶¨¨ dim W = 1 ³¦¥ ¯°®¢¥°¥­ ). ³±²¼³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²¥®°¥¬» ¢¥°­® ¤«¿ dim V < n, ¤®ª ¦¥¬ ¥£® ¤«¿ dim W = n.

…±«¨ g = 0, ²® ¥¥¬ ²°¨¶ ­³«¥¢ ¿ ¨ ¢±¥ ®·¥¢¨¤­®. …±«¨ ¦¥ g 6= 0, ²® ¢®§¼¬¥¬ ² ª®© ¢¥ª²®° a 2 W , ·²® g (a; a) 6=0 (¯® «¥¬¬¥ ®­ ±³¹¥±²¢³¥²). ‚®§¼¬¥¬ V = hai W . ’.ª. ®£° ­¨·¥­¨¥ gV ´³­ª¶¨¨ g ­ V­¥¢»°®¦¤¥­®, ²® W = V V ? ¨ dim V ? = n 1. ® ¨­¤³ª¶¨¨ ¢ V ? ³¦¥ ±³¹¥±²¢³¥² ­³¦­»©¡ §¨±, ¤®¡ ¢¨¢ ª ­¥¬³ ¢¥ª²®° (²®·­¥¥, ­¥ª®²®°®¥ ¥£® ª° ²­®¥ e = a, ² ª®¥ ·²® g (e; e) = 1),¯®«³·¨¬ ¨±ª®¬»© ¡ §¨±.4) …±«¨ g 6= 0, ²® ­ ©¤³²±¿ ² ª¨¥ «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬»¥ ¢¥ª²®°» a; b 2 W , ·²® g (a; b) 6= 0.

¥§®£° ­¨·¥­¨¿ ®¡¹­®±²¨ ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® g (a; b) = 1. ‚®§¼¬¥¬ V = ha; bi W . Ž£° ­¨·¥­¨¥gV ´³­ª¶¨¨ g ­ V ­¥¢»°®¦¤¥­®, ².ª. ¬ ²°¨¶ ´³­ª¶¨¨ gV ° ¢­ 01 10 , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®,W = V V ? , ¨ dim V ? = n 2. ‚ V ? ¯® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾ ¨­¤³ª¶¨¨ ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ­³¦­»©¡ §¨±. „®¡ ¢¨¢ ª ­¥¬³ ¢¥ª²®°» a ¨ b, ¯®«³·¨¬ ¨±ª®¬»© ¡ §¨±.“ª § ­­»© ¢¨¤ ¬ ²°¨¶» ­ §»¢ ¥²±¿ ­®°¬ «¼­»¬.

„«¿ ¯°¨¢¥¤¥­¨¿ ¬ ²°¨¶» ±¨¬¬¥²°¨·­®©¡¨«¨­¥©­®© ¨«¨ ½°¬¨²®¢®© ´³­ª¶¨¨ ª ­®°¬ «¼­®¬³ ¢¨¤³ ³¤®¡­® ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¬¥²®¤ ‹ £° ­¦ ¢»¤¥«¥­¨¿ ¯®«­»µ ª¢ ¤° ²®¢. „ ¤¨¬ ¥£® ª° ²ª®¥ ®¯¨± ­¨¥.0 1 0 1x1‹¾¡ ¿ ¡¨«¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¨¬¥¥² ¢¨¤ g (x; y ) = gij xi y j , £¤¥ x = @ ...xnA, y = @y1...ynA. ‡ ¬¥­¨¢y ­ x, ¯®«³·¨¬ ª¢ ¤° ²¨·­³¾ ´³­ª¶¨¾ g(x; x) = gij xi xj .‚®§¬®¦­» ¤¢ ±«³· ¿: ) …±«¨ ¢±¥ ª®½´´¨¶¨¥­²» ¯°¨ (xi )2 ° ¢­» ­³«¾,¬®¦­® ¨±¯° ¢¨²¼: ­ ©¤¥¬ ­¥­³«¥¢®¥ x½²®k = xek + xelkl±« £ ¥¬®¥ ¢¨¤ gkl x x ¨ ±¤¥« ¥¬ § ¬¥­³ ª®®°¤¨­ ² xl = xek xel , ²®£¤ xk xl = (xek )2 (xel )2.¡) …±«¨ ¨¬¥¥²±¿ ­¥­³«¥¢®¥ ±« £ ¥¬®¥ ¢¨¤ gii (xi )2 (¡¥§ ®£° ­¨·¥­¨¿ ®¡¹­®±²¨ ¬®¦­® ±·¨² ²¼,·²® i = 1), ²®£¤ ¢»¤¥«¨¬ ¯®«­»© ª¢ ¤° ², ±®¤¥°¦ ¹¨© (x1 )2:g (x; x) = g11 (x1)2 + 2gg12 x1x2 + : : : + 2gg1n x1xn + ±« £ ¥¬»¥; ­¥ ±®¤¥°¦ ¹¨¥ x1 =11 1 g12 1122g1n= g11 x + g x + : : : + g xn + ±« £ ¥¬»¥; ­¥ ±®¤¥°¦ ¹¨¥ x1 :111154p‘¤¥« ¢ § ¬¥­³ ª®®°¤¨­ ² xe1 = jg11j x1 + gg x2 + : : : + gg n xn , ¯®«³·¨¬ g (x; x) = (xe1)2 +: : : .

‘ ®±² ¢¸¨¬¨±¿ ±« £ ¥¬»¬¨, ­¥ ±®¤¥°¦ ¹¨¬¨ x1 , ¬®¦­® ¯°®¤¥« ²¼ ²® ¦¥ ± ¬®¥, ¢ ¨²®£¥¯®«³·¨¬, ·²® g (x; x) = (xe1 )2 (xe2)2 : : : (xek )2, ².¥. ¢ ­®¢®¬ ¡ §¨±¥ ¬ ²°¨¶ ´³­ª¶¨¨ g ¡³¤¥²¤¨ £®­ «¼­®©.ˆ² ª, ¬» §­ ¥¬, ·²® ¤«¿ «¾¡®© ¡¨«¨­¥©­®© ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ±¨¬¬¥²°¨·¥±ª®© ´³­ª¶¨¨ ¢ ¢¥ª²®°­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ W ±³¹¥±²¢³¥² ¡ §¨±, ¢ ª®²®°®¬ ®­ ¨¬¥¥² ­®°¬ «¼­»© ¢¨¤ g (x; y ) =x1 y1 + : : : + xp yp xp+1yp+1 : : : xp+q y p+q .€­ «®£¨·­®, ª®¬¯«¥ª±­ ¿ ¡¨«¨­¥©­ ¿ ±¨¬¬¥²°¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿ ¨¬¥¥² ­®°¬ «¼­»© ¢¨¤g(x; y ) = x1 y1 + : : : + xk yk .®°¬ «¼­»© ¢¨¤ ½°¬¨²®¢®© ´³­ª¶¨¨ | g (x; y ) = x1 y 1 + : : : + xp y p xp+1 y p+1 : : : xp+q y p+q .€ ª®±®±¨¬¬¥²°¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿ ¨¬¥¥² ­®°¬ «¼­»© ¢¨¤ g (x; y ) = x1 y 2 x2y 1 + x3 y 4 x4 y 3 +: : : + x2i 1y 2i x2iy2i 1 .5.61211111…¤¨­±²¢¥­­®±²¼ ­®°¬ «¼­®£® ¢¨¤ ’¥¯¥°¼ ®¡±³¤¨¬ ¢®¯°®± ® ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨ ­®°¬ «¼­®£® ¢¨¤ .

„«¿ ª®¬¯«¥ª±­®© ¡¨«¨­¥©­®© ±¨¬¬¥²°¨·­®© ´³­ª¶¨¨ (±®®²¢. ¤«¿ ª®±®±¨¬¬¥²°¨·­®© ´³­ª¶¨¨) ­®°¬ «¼­»© ¢¨¤ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ·¨±«®¬ | k (±®®²¢. 2i), ª®²®°®¥ ° ¢­® ° ­£³ ´³­ª¶¨¨, ¯®½²®¬³ ­¥ § ¢¨±¨² ®² ±¯®±®¡ ¯°¨¢¥¤¥­¨¿ ª ­®°¬ «¼­®¬³ ¢¨¤³. Ž±² ¢¸¨¥±¿ ¤¢ ±«³· ¿ ¯®µ®¦¨ ¤°³£ ­ ¤°³£ , ¯®½²®¬³ ®¡±³¤¨¬ ®¤¨­ ¨§ ­¨µ | ±«³· © ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ±¨¬¬¥²°¨·­®© ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨. ®°¬ «¼­»© ¢¨¤¥¥ ¬ ²°¨¶»101...CCB0BCCB1BCCB1BCC :B...G=BCCBB1CCBB0B... CA@ 00‚¢¥¤¥¬ ¢ ° ±±¬®²°¥­¨¥ ²°¨ ·¨±« : p | ª®«¨·¥±²¢® ¥¤¨­¨¶ q | ª®«¨·¥±²¢® ¬¨­³± ¥¤¨­¨¶, s |ª®«¨·¥±²¢® ­³«¥©.

‚¨¤­®, ·²® p + q = rk g , s = dim W rk g ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, p + q ¨ s ­¥ § ¢¨±¿²®² ¢»¡®° ¡ §¨± .Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.6.1  ¡®° ·¨±¥« (p; q; s) ­ §»¢ ¥²±¿ ±¨£­ ²³°®© ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ±¨¬¬¥²°¨·­®© ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨ (¨«¨ ª¢ ¤° ²¨·­®© ´³­ª¶¨¨).…±«¨ ´³­ª¶¨¿ g ­¥¢»°®¦¤¥­ , ²® s = 0, ¨ ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ p ¨ q ¤®±² ²®·­® §­ ²¼ µ®²¿ ¡» ®¤­®¨§ ­¨µ ¨«¨ ¨µ ° §­®±²¼. ®½²®¬³ ¢ ±«³· ¥ ­¥¢»°®¦¤¥­­®© ´³­ª¶¨¨ ±¨£­ ²³°®© · ±²® ­ §»¢ ¾²·¨±«® p q .’¥®°¥¬ ±²° ­±²¢¥¨ ²¥ ¦¥.5.6.2 (¨­¥°¶¨¨) …±«¨ ¢¥¹¥±²¢¥­­ ¿ ±¨¬¬¥²°¨·­ ¿ ¡¨«¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¢ ¯°®-W¯°¨¢¥¤¥­ ª ­®°¬ «¼­®¬³ ¢¨¤³ ¤¢³¬¿ ° §­»¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨, ²® ·¨±« p, q ¨ s ®¤­¨„®ª § ²¥«¼±²¢®.³±²¼ ´³­ª¶¨¿ g ¨¬¥¥² ­®°¬ «¼­»© ¢¨¤ ¢ ¤¢³µ ¡ §¨± µ:e1 ; : : : ; ep; ep+1; : : : ; ep+q ; ep+q+1; : : : ; ep+q+s ¨ e1 ; : : : ; ep0 ; ep0+1 ; : : : ; ep0+q0 ; ep0+q0 +1 ; : : : ; ep0 +q0+s0 ,¯°¨·¥¬, ª ª ¬» ³¦¥ §­ ¥¬, s0 = s ¨ p0 + q 0 = p + q .

 ±±¬®²°¨¬ ¢ W ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ V+ = he1; : : : ; epi; V = hep+1; : : : ; ep+qi; V0 = hep+q+1; : : : ; ep+q+si¨Ve+ = he1; : : : ; ep0 i; Ve = hep0+1 ; : : : ; ep0+q0 i; Ve0 = hep0+q0+1 ; : : : ; ep0+q0 +si:…±«¨ x 2 V+ ¨ x 6= 0, ²® g (x; x) > 0 (­¥° ¢¥­±²¢® ±²°®£®¥, ² ª ª ª ®£° ­¨·¥­¨¥ ´³­ª¶¨¨g ­ V+ ­¥¢»°®¦¤¥­®). „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ x = x1 e1 + : : : + xpep, ²® g(x; x) = (x1)2 + : : : +55(xp)2 > 0. €­ «®£¨·­®, ¥±«¨ x 2 V V0, ²® g (x; x) 6 0.

’ ª ¿ ¦¥ ±¨²³ ¶¨¿ ¨¬¥¥² ¬¥±²® ±¯®¤¯°®±²° ­±²¢ ¬¨ Ve+ , Ve ¨ Ve0.³±²¼ p > p0 , ²®£¤ dim V+ = p, dim(Ve Ve0) = dim Ve + dim Ve0 = q 0 + s = dim W p0.‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®,dim V+ + dim(Ve Ve0) = p + dim W p0 > dim W;§­ ·¨², ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ½²¨µ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ ­¥²°¨¢¨ «¼­®, V+ \ (Ve Ve0 ) 6= f0g. ‚®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­»© ­¥­³«¥¢®© ¢¥ª²®° ¨µ ½²®£® ¯¥°¥±¥·¥­¨¿, x 2 V+ \ (Ve Ve0). ’.ª. x 2 V+ , x 6= 0, ²®g (x; x) > 0, ­®,± ¤°³£®© ±²®°®­», ².ª. x 2 Ve Ve0, ²® g (x; x) 6 0. ®«³·¨«¨ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥.0‘«³· © p < p ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ ­ «®£¨·­®.5.7’¥®°¥¬ Ÿª®¡¨. Š°¨²¥°¨© ‘¨«¼¢¥±²° ‘¨£­ ²³° ¨ ­®°¬ «¼­»© ¢¨¤ ±¨¬¬¥²°¨·­®© ¡¨«¨­¥©­®© (¨«¨ ª¢ ¤° ²¨·­®©) ´³­ª¶¨¨ ¬®£³²¡»²¼ ®¯°¥¤¥«¥­» ¨ ¡¥§ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ¢ ¿¢­®¬ ¢¨¤¥ § ¬¥­» ª®®°¤¨­ ². ¯®¬­¨¬, ·²® ³£«®¢»¬ ¬¨­®°®¬ ¯®°¿¤ª k ª¢ ¤° ²­®© ¬ ²°¨¶» ­ §»¢ ¥²±¿ ¬¨­®°, ±®±² ¢«¥­­»© ¨§ ¯¥°¢»µ k ±²°®ª ¨ k ±²®«¡¶®¢.Ggr = rk Gg ¨¬¥¥² ¢¨¤ g (x; y ) = jG1 jx1y1 + jjGG jj x2y2 + : : : + jBjBr r j j xr y r ,’¥®°¥¬ 5.7.1 (Ÿª®¡¨) ³±²¼| ¬ ²°¨¶ ±¨¬¬¥²°¨·­®© ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨¢ ­¥ª®²®°®¬ ¡ §¨±¥.

³±²¼ ¢±¥ ³£«®¢»¥ ¬¨­®°» ¤® ¯®°¿¤ª ®²«¨·­» ®² 0. ’®£¤ ±³¹¥±²¢³¥² ¡ §¨±, ¢ ª®²®°®¬ ´³­ª¶¨¿£¤¥jBij | i-© ³£«®¢®© ¬¨­®°.„®ª § ²¥«¼±²¢®.211³¤¥¬ ¨±ª ²¼ ­®¢»© ¡ §¨± ¢ ¢¨¤¥e01 = e1;e02 = e2 + c12e01;e03 = e3 + c13e01 + c23e02 ;:::: : :: : :: : :0en = en + c1ne01 + : : : + cnn 1 e0n 1 ;£¤¥ e1 ; : : : ; en | ²®² ¡ §¨±, ¢ ª®²®°®¬ ­ ¬ ¤ ­ ¬ ²°¨¶ ´³­ª¶¨¨ g . ’ ª®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥³¤®¡­® ²¥¬, ·²® (² ª¦¥ ª ª ¢ ®¡»·­®¬ ¯°®¶¥±±¥ ®°²®£®­ «¨§ ¶¨¨) ¤«¿ «¾¡®£® ­®¬¥° k «¨­¥©­»¥ ®¡®«®·ª¨ ¢¥ª²®°®¢ e1 ; : : : ; ek ¨ ¢¥ª²®°®¢ e01; : : : ; e0k ±®¢¯ ¤ ¾².Œ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ ¯°¨ ² ª®¬01?1¯°¥®¡° §®¢ ­¨¨ ¢¥°µ­¥²°¥³£®«¼­ , ².¥.

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