В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии (1113130), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

’¥­§®° ²¨¯ (p; q ) | ½²®¯®«¨«¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ®² p ¢¥ª²®°®¢ ¨§ V ¨ ®² q «¨­¥©­»µ ´³­ª¶¨© ¨§ V 0. ’¥­§®°®¬ ²¨¯ (0; 0)­ §»¢ ¾² ±ª «¿°».°¨¬¥°»:1) ±ª «¿°» | ½²® ²¥­§®°» ²¨¯ (0; 0) ¯® ¯®°¥¤¥«¥­¨¾;2) ¢¥ª²®°» | ½²® ²¥­§®°» ²¨¯ (0; 1), ².ª. «¾¡®© ¢¥ª²®° § ¤ ¥² «¨­¥©­³¾ ´³­ª¶¨¾ ­ V 0¯¥°¥¢®¤¿¹³¾ ½«¥¬¥­² f 2 V 0 ¢ f (v ) 2 K;623) «¨­¥©­»¥ ´³­ª¶¨¨ | ½²® ²¥­§®°» ²¨¯ (1; 0), ².ª. ®­¨ § ¤ ¾² ®²®¡° ¦¥­¨¥ f : V ! K,¯¥°¥¢®¤¿ ¢¥ª²®° v 2 V ¢ ½«¥¬¥­² f (v ) 2 K;4) ¡¨«¨­¥©­»¥ ´³­ª¶¨¨ | ½²® ²¥­§®°» ²¨¯ (2; 0), ².ª. ®­¨ § ¤ ¾² ®²®¡° ¦¥­¨¥ V V ! K.5) «¨­¥©­»¥ ®¯¥° ²®°» | ½²® ²¥­§®°» ²¨¯ (1; 1), ½²®² ¯°¨¬¥° ¬» ®¡±³¤¨¬ ¯®§¦¥.Ž²¬¥²¨¬, ·²® ¢ ±¨«³ ª ­®­¨·¥±ª®£® ¨§®¬®°´¨§¬ V = V 00 °®«¼ ¢¥ª²®°­®£® ¯°®±²° ­±²¢ V0¨ ¥£® ¤¢®©±²¢¥­­®£® ¯°®±²° ­±²¢ V ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ²¥­§®° ±¨¬¬¥²°¨·­».Œ­®¦¥±²¢® ²¥­§®°®¢ ²¨¯ (p; q ) ¬» ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ qp .

 ½²®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ ¬®¦­® ¢¢¥±²¨±²°³ª²³°³ «¨­¥©­®£® ¯°®±²° ­±²¢ , ¤«¿ ½²®£® ­³¦­®®¯°¥¤¥«¨²¼ ®¯¥° ¶¨¨ ±«®¦¥­¨¿ ¤¢³µ ²¥­q§®°®¢ ¨ ¨µ ³¬­®¦¥­¨¿ ­ ±ª «¿°». ³±²¼ T; S 2 p , ²®£¤ :(T + S )(v1; : : : ; vp; f 1; : : : ; f q ) := T (v1 ; : : : ; vp; f 1; : : : ; f q ) ++ S (v1; : : : ; vp; f 1; : : : ; f q );(T )(v1; : : : ; vp; f 1; : : : ; f q ) := T (v1; : : : ; vp; f 1; : : : ; f q ):‹¥£ª®¯°®¢¥°¨²¼ ¢»¯®«­¥­¨¥ ¢±¥µ ª±¨®¬ «¨­¥©­®£® ¯°®±²° ­±²¢ ¨ ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ¬­®¦¥±²¢®qp ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¡³¤¥² «¨­¥©­»¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬.Œ®¦­® ² ª¦¥ ®¯°¥¤¥«¨²¼ ®¯¥° ¶¨¾ ³¬­®¦¥­¨¿ ²¥­§®°®¢ (° §­»µ ²¨¯®¢) ¤°³£ ­ ¤°³£ . ³±²¼T 2 qp , S 2 tr , ²®£¤ ­®¢»© ²¥­§®° T S 2 qp++tr ®¯°¥«¿¥²±¿ ¯® ´®°¬³«¥(T S )(v1; : : : ; vp; vp+1; : : : ; vp+r ; f 1; : : : ; f q ; f q+1; : : : ; f q+t) :=:= T (v1; : : : ; vp; f 1; : : : ; f q ) S (vp+1; : : : ; vp+r ; f q+1; : : : ; f q+t):’ ª ®¯°¥¤¥«¥­­®¥ ³¬­®¦¥­¨¥ ²¥­§®°®¢ ¤¨±²°¨¡³²¨¢­® (².¥.

(T + S ) R = T R + S R), ±±®¶¨ ²¨¢­® (².¥. (T S ) R = T (S R)), ­® ­¥ ª®¬¬³² ²¨¢­®.°¨¬¥°»:1) ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢¥ª²®° v 2 V ¨ «¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨ f 2 V 0 | ²¥­§®° v f 2 11 . ®±¬®²°¨¬,ª ª ½²®² ²¥­§®° ¤¥©±²¢³¥² ­ ±¢®¨µ °£³¬¥­² µ. ‚®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­»© ¢¥ª²®° a 2 V ¨ ´³­ª¶¨¾h 2 V 0 , ¯®«³·¨¬, ·²® (v f )(a; h) = h(v ) f (a).2) ¢®§¼¬¥¬ ¤¢¥ «¨­¥©­»¥ ´³­ª¶¨¨ g; h 2 V 0 , ²®£¤ g h ¡³¤¥² ²¥­§®°®¬ ²¨¯ (2; 0) (².¥.¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¥©), (g h)(v1 ; v2) = g (v1) h(v2 ).6.2Š®®°¤¨­ ²­®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ²¥­§®°®¢¥°¥©¤¥¬ ²¥¯¥°¼ ª ª®®°¤¨­ ²­®¬³ ®¯¨± ­¨¾ ²¥­§®°®¢.

‡ ´¨ª±¨°³¥¬ ¡ §¨± e1; : : : ; en ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ V , ¥¬³ ¡³¤¥² ±®®²¢¥²±²¢®¢ ²¼ ¤¢®©±²¢¥­­»© ¡ §¨± "1 ; : : : ; "n ¢ ¤¢®©±²¢¥­­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥V 0. ’.ª. ²¥­§®° | ½²® ¯®«¨«¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿, ²® ¥¥ §­ ·¥­¨¥ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ §­ ·¥­¨¿¬¨ ­ ¡ §¨±­»µ ¢¥ª²®° µ, ².¥.T (v1; : : : ; vp; f 1; : : : ; f q) = T (v1i ei ; : : : ; vpip eip ; fj1 "j ; : : : ; fjqq "jq ) == v1i : : : vpip fj1 : : : fjqq T (ei ; : : : ; eip ; "j ; : : : ; "jq );11111111£¤¥ vkik | ª®®°¤¨­ ²» ¢¥ª²®° vk , fjlj | ª®®°¤¨­ ²» «¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨ f l .;::: ;jq 2 K . ®½²®¬³, § ´¨ª±¨°®¢ ¢ ¡ §¨±, ¬» ¬®¦¥¬Ž¡®§­ ·¨¬ T (ei ; : : : ; eip ; "j ; : : : ; "jq ) = Tij ;:::;ip;::: ;jq | ¥£® §­ ·¥­¨¿ ­ ¡ §¨±­»µ ¢¥ª²®° µ.¯®±² ¢¨²¼ ²¥­§®°³ T ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ­ ¡®° ·¨±¥« Tij ;:::;ip…±²¥±²¢¥­­®, ½²®² ­ ¡®° ·¨±¥« ¡³¤¥² § ¢¨±¥²¼ ®² ¢»¡®° ¡ §¨± . ®±¬®²°¨¬, ª ª ¨§¬¥­¿¾²±¿½²¨ ·¨±« ¯°¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ®² ®¤­®£® ¡ §¨± ª ¤°³£®¬³.

³±²¼ ¬» ¯¥°¥¸«¨ ®² ¡ §¨± ei ª ¡ §¨±³ ei ,¨ C = (cki ) | ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ , ².¥. ei = cki ek . ’®£¤ ¤¢®©±²¢¥­­»© ¡ §¨± "i ²®¦¥ ±¬¥­¨²±¿ ­ "ei, ¯°¨·¥¬ ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ D = (dik) = C 1, djk cki = ij , ².¥. "ei = dik "k . ’®£¤ 111111qllqTekl ;:::;l;:::;kp = T (ek ; : : : ; ekp ; "e ; : : : ; "e ) == T (cik ei ; : : : ; cikpp eip ; dlj "j ; : : : ; dljqq "jq ) == T (ei ; : : : ; eip ; "j ; : : : ; "jq ) cik : : : cikpp dlj : : : dljqq =ip llqq i= Tij ;:::;:::;j;ip ck : : : ckp dj : : : djq :111111111111111111111163°¨¬¥°»:1) ¥±«¨ x | ¢¥ª²®°, ²® xek = dki xi . ’ ª®© § ª®­ ¨§¬¥­¥­¨¿ ª®®°¤¨­ ² ­ §»¢ ¥²±¿ ¢¥ª²®°­»¬§ ª®­®¬.2) ¥±«¨ f | «¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿, ²® fek = cik fi . ’ ª®© § ª®­ ¨§¬¥­¥­¨¿ ª®®°¤¨­ ² ­ §»¢ ¥²±¿ª®¢¥ª²®°­»¬ § ª®­®¬.

€ ¢¥«¨·¨­», ¨§¬¥­¿¾¹¨¥±¿ ¯® ª®¢¥ª²®°­®¬³ § ª®­³ ­ §»¢ ¾²±¿ ª®¢¥ª²®° ¬¨. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, «¨­¥©­»¥ ´³­ª¶¨¨ (½«¥¬¥­²» ¯°®±²° ­±²¢ V 0 ) | ½²® ª®¢¥ª²®°».Œ» ¯®«³·¨«¨ ²¥­§®°­»© § ª®­ ¨§¬¥­¥­¨¿ ª®®°¤¨­ ²:j ;:::;jq iip llqqTekl ;:::;l;:::;kp = Ti ;:::;ip ck : : : ckp dj : : : djq :11111111’¥¯¥°¼ ¬» ¬®¦¥¬ ¤ ²¼ ¤°³£®¥ (ª®®°¤¨­ ²­®¥) ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ²¥­§®°³: ²¥­§®° - ½²® ­ ¡®° ·¨±¥«;:::;jq , ª®²®°»© ¯°¨ § ¬¥­¥ ª®®°¤¨­ ² ¯°¥®¡° §³¥²±¿ ¯® ²¥­§®°­®¬³ § ª®­³.Tij ;:::;ip²® ¨ ¯°¥¤»¤³¹¥¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ²¥­§®° ½ª¢¨¢ «¥­²­», ² ª ª ª ¯® ² ª®¬³ ­ ¡®°³ ·¨±¥«, ¯®«¼§³¿±¼ «¨­¥©­®±²¼¾, ¬®¦­® ¢®±±² ­®¢¨²¼ ¯®«¨«¨­¥©­³¾ ´³­ª¶¨¾ T , ¤«¿ ª®²®°®©T (ei ; : : : ; eip ; "j ; : : : ; "jq ) = Tij ;:::;:::;j;ipq . ±±¬®²°¨¬ ¥¹¥ ®¤¨­ ¯°¨¬¥° | ¯°¨¬¥° ²¥­§®°®¢ ²¨¯ (0; 2).

³±²¼ (aij ) | ¬ ²°¨¶ ­¥ª®²®°®©¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨, ¨«¨, ·²® ²® ¦¥ ± ¬®¥, ²¥­§®° ²¨¯ (2; 0). °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¬ ²°¨¶ (aij )®¡° ²¨¬ ¨ ®¡®§­ ·¨¬ ½«¥¬¥­²» ®¡° ²­®© ¬ ²°¨¶» ·¥°¥§ aij , ².¥. aij ajk = ki .11111‹¥¬¬ 6.2.11aij¿¢«¿¥²±¿ ²¥­§®°®¬ ²¨¯ ij¤°³£®¬³ ¡ §¨±³ ¨§¬¥­¿¥²±¿ ¯® ´®°¬³«¥ klea=a(0; 2),dki dlj .².¥. ½²®² ­ ¡®° ·¨±¥« ¯°¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ª‚ ­®¢®¬ ¡ §¨±¥ ¢»¯®«­¥­® ° ¢¥­±²¢® eakl ealm = mk . ®¤±² ¢¨¬ ±¾¤ jiealm = ajicl cm, £¤¥ C = (cim) | ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ , ²®£¤ eakl ajicjl cim = mk .

“¬­®¦¨¬ ®¡¥· ±²¨ ½²®£® ° ¢¥­±²¢ ­ ½«¥¬¥­²» ®¡° ²­®© ¬ ²°¨¶» ª ¬ ²°¨¶¥ ¯¥°¥µ®¤ (­ ¯®¬­¨¬, ·²®cki djk = ij ): eakl aji cjl cimdpjdqi = mk dpj dqi, ¨«¨ eakl aji = dki dll. ‚®±¯®«¼§³¥¬±¿ ²¥¯¥°¼ ®¡° ²¨¬®±²¼¾¬ ²°¨¶» (aij ), ².¥. ²¥¬, ·²® aji air = jr . “¬­®¦¨¢ ®¡¥ · ±²¨ ¯°¥¤¯®±«¥¤­¥£® ° ¢¥­±²¢ ­ air , ¯®«³·¨¬ eakl aji air = air dki dlj . °¨ ±³¬¬¨°®¢ ­¨¨ ¯® i ¯®«³·¨¬, ·²® eakl jr = air dki dlj , ¨«¨ eakl = aij dki dlj .„®ª § ²¥«¼±²¢®.6.3 §¨± ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ²¥­§®°®¢®±²°®¨¬ ¡ §¨± ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ²¥­§®°®¢ qp .

‚¥ª²®°» ¨ ª®¢¥ª²®°» | ½²® ²¥­§®°» ²¨¯ (0; 1)¨ (1; 0) ±®®²¢¥²±²¢¥­­®.  ±±¬®²°¨¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ "i : : : "ip ej : : : ejq , ®­® ±®±²®¨² ¨§²¥­§®°®¢ ²¨¯ (0; 1) ¨ ²¥­§®°®¢ ²¨¯ (1; 0), ±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ± ¬® ¿¢«¿¥²±¿ ²¥­§®°®¬ ²¨¯ (p; q ).‚±¥£® ² ª¨µ ° §«¨·­»µ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨© ¯®«³·¨²±¿ np+q , ².ª. ¨§ n ª®¢¥ª²®°®¢ ­ ¤® ¢»¡° ²¼ p ¨ ¨§n ¢¥ª²®°®¢­ ¤® ¢»¡° ²¼ q . „®ª ¦¥¬, ·²® ½²¨ ½«¥¬¥­²» (¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ² ª®£® ¢¨¤ ) ®¡° §³¾²¡ §¨± ¢ qp . °¥¦¤¥, ·¥¬ ¤®ª §»¢ ²¼ ½²®, ¢»·¨±«¨¬ §­ ·¥­¨¥ ² ª®£® ²¥­§®° (¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿) ­ ­ ¡®° µ °£³¬¥­²®¢ ¨§ ¡ §¨±­»µ ¢¥ª²®°®¢:11"i : : : "ip ej : : : ejq (ek ; : : : ; ekp ; "l ; : : : ; "lq ) == "i (ek ) : : : "ip (ekp ) "l (ej ) : : : "l (ejq ) == ki : : : kipp jl : : : jlqq = 1; ¥±«¨ i = k ; : : : ; i = k ; j = l ; : : : ; j = l ;11pp 1 1q q= 0; ¢ ®±² «¼­»µ±«³· ¿µ:1111111‹¥¬¬ ¢qp .1111116.3.1 Œ­®¦¥±²¢® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨© ¢¨¤ "i : : : "ip ej : : : ejq11¿¢«¿¥²±¿ ¡ §¨±®¬„®ª § ²¥«¼±²¢®.

‘­ · « ¤®ª ¦¥¬ «¨­¥©­³¾ ­¥§ ¢¨±¨¬®±²¼ ½²¨µ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨©. ³±²¼ ±³;:::;jq , ·²® «¨­¥©­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿ j ;::: ;jq "i : : : "ip e : : : e .¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥ ·¨±« ji ;:::;ijjqi ;:::;ipp11116411°¨¬¥­¨¬ ½²®² ²¥­§®°, ª ª ¯®«¨«¨­¥©­³¾ ´³­ª¶¨¾, ª °£³¬¥­² ¬ ek ; : : : ; ekp ; "l ; : : : ; "lq ¨ ¯®«³·¨¬11;:::;jq "i : : : "ip e : : : e (e ; : : : ; e ; "l ; : : : ; "lq ) = 0ji ;:::;ijjq kkpp1|11{z1(7)}11®¤·¥°ª­³²®¥ ¢»° ¦¥­¨¥ ° ¢­® 1, ¥±«¨ i1 = k1; : : : ; ip = kp; j1 = l1; : : : ; jq = lq ¨ 0 ¢ ®±² «¼­»µ±«³· ¿µ, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ° ¢¥­±²¢® (7) ¬®¦¥² ¡»²¼ § ¯¨± ­® ¢ ¢¨¤¥;:::;jq "i : : : "ip e : : : e (e ; : : : ; e ; "l ; : : : ; "lq ) = l ;:::;lq = 0:ji ;:::;ijjq kkpk ;:::;kpp11111111®, ².ª. ½²® ° ¢¥­±²¢® ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¤«¿ «¾¡®£® ­ ¡®° ¨­¤¥ª±®¢ k1 ; : : : ; kp; l1; : : : ; lq, ²® ¢±¥qkl ;:::;l;:::;kp ° ¢­» ­³«¾.

‹¨­¥©­ ¿ ­¥§ ¢¨±¨¬®±²¼ ¤®ª § ­ .“¤®±²®¢¥°¨¬±¿ ²¥¯¥°¼, ·²® «¾¡®© ²¥­§®° ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¢¨¤¥ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ ¶¨¨½²¨µ ¡ §¨±­»µ ²¥­§®°®¢. „«¿ ½²®£® ¤®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼ ° ¢¥­±²¢®11;:::;jq "i : : : "ip e : : : e :T = Tij ;:::;ijjqp11(8)11€ ¨§-§ ¯®«¨«¨­¥©­®±²¨ ½²® ° ¢¥­±²¢® ¤®±² ²®·­® ¯°®¢¥°¿²¼ ­ ¡ §¨±­»µ °£³¬¥­² µ ¢¨¤ ;:::;jq , ¯° ¢ ¿ · ±²¼, ª ªek ; : : : ; ekp ; "l ; : : : ; "lq . ‹¥¢ ¿ · ±²¼ ° ¢¥­±²¢ ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ° ¢­ Tij ;:::;ip;:::;jq "i : : : "ip e : : : e (e ; : : : ; e ; "l ; : : : ; "lq ) =¬» ³¦¥ ¢¨¤¥«¨ ° ­¼¸¥, ² ª¦¥ ° ¢­ Tij ;:::;ijjq kkppj;:::;jqTi ;:::;ip . ˆ² ª, ° ¢¥­±²¢® ¯°®¢¥°¥­®, ².¥.

¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®£® ²¥­§®° T ¬» ­ ¸«¨ ¥£® ° §«®¦¥;:::;jq ¿¢«¿¾²±¿ ª®®°¤¨­ ² ¬¨ ½²®£® ²¥­§®° ¢­¨¥ ¢ «¨­¥©­³¾ ª®¬¡¨­ ¶¨¾ (8), ¯°¨·¥¬ ·¨±« Tij ;:::;ip³ª § ­­®¬ ¡ §¨±¥.111111111111116.4‹¨­¥©­»¥ ®¯¥° ²®°» ª ª ²¥­§®°»¥°¥©¤¥¬ ²¥¯¥°¼ ª ®¡¥¹ ­­®¬³ ®²®¦¤¥±²¢«¥­¨¾ «¨­¥©­»µ ®¯¥° ²®°®¢ ¨ ²¥­§®°®¢ ²¨¯ (1; 1).“²¢¥°¦¤¥­¨¥6.4.1 ˆ¬¥¥² ¬¥±²® ª ­®­¨·¥±ª¨© ¨§®¬®°´¨§¬11 = L(V ).„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¤ ­ «¨­¥©­»© ®¯¥° ²®° f : V ! V , ­ ¬ ­ ¤® ¯® ­¥¬³ ¯®±²°®¨²¼ ¡¨«¨­¥©­³¾ ´³­ª¶¨¾ Tf = Tf (v; ') ± ®¤­¨¬ ¢¥ª²®°­»¬ (v 2 V ) ¨ ®¤­¨¬ ª®¢¥ª²®°­»¬(' 2 V 0 ) °£³¬¥­² ¬¨.

Характеристики

Список файлов лекций