В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии (1113130), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

f = f , ²® At = A,±«¥¤®¢ ²¥«¼­® i = i , i = 1; : : : ; n, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ¢±¥ i | ·¨±²® ¬­¨¬»¥ ·¨±« .f:W !W’¥®°¥¬ 4.5.2 “ «¾¡®£® ª®±®±¨¬¬¥²°¨·¥±ª®£® ®¯¥° ²®° ­ ¤ ¯®«¥¬ ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥« ±³¹¥±²¢³¥² ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨±, ¢ ª®²®°®¬ ¬ ²°¨¶ f ¨¬¥¥² ¡«®·­®¤¨ £®­ «¼­»© ¢¨¤, ¯°¨·¥¬ ¢±¥ ¡«®ª¨ «¨¡® ®¤­®¬¥°­»¥ (° ¢­»¥ ­³«¾), «¨¡® ¤¢³¬¥°­»¥, ¨¬¥¾¹¨¥¢¨¤0 aa 0,Aa 2 R. §«®¦¨¢ ¯°®±²° ­±²¢® W ­ ¨­¢ °¨ ­²­»¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ (®¤­®¬¥°­»¥ ¨«¨ ¤¢³¬¥°­»¥) ®¯¥° ²®° f , ¯®«³·¨¬ ¨±ª®¬»© ¡«®·­®-¤¨ £®­ «¼­»© ¢¨¤. ’.ª. Atf = Af , ²®­ ¤¨ £®­ «¨ ½²®© ¬ ²°¨¶» ±²®¿² ­³«¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ¢±¥ ®¤­®¬¥°­»¥ ª«¥²ª¨ ­³«¥¢»¥, ¨ ¯® ¤¨ 0a£®­ «¨ ¤¢³¬¥°­»µ ª«¥²®ª ±²®¿² ­³«¨. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤¢³¬¥°­»¥ ª«¥²ª¨ ¨¬¥¾² ¢¨¤ b 0 ,,­® ¨§ ²®£® ¦¥ ±¢®©±²¢ ª®±®±¨¬¬¥²°¨·­®±²¨ ±«¥¤³¥², ·²® b = a.„®ª § ²¥«¼±²¢®.…¤¨­±²¢¥­­®±²¼ ª ­®­¨·¥±ª®£® ¢¨¤ ¬ ²°¨¶ ª®±®±¨¬¬¥²°¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ²®°®¢ ± ²®·­®±²¼¾ ¤®¯¥°¥±² ­®¢ª¨ ¡«®ª®¢ ² ª¦¥ ±«¥¤³¥² ¨§ ²®£®, ·²® ½²¨ ¡«®ª¨ ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨¬¬­®£®·«¥­®¬ ®¯¥° ²®° .4.6¥®²°¨¶ ²¥«¼­»¥ ¨ ¯®«®¦¨²¥«¼­»¥ ®¯¥° ²®°».

ˆ§¢«¥·¥­¨¥ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­®£® ª¢ ¤° ²­®£® ª®°­¿ ¨§ ®¯¥° ²®° Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.6.1 Ž¯¥° ²®° f : V ! V ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»¬, ¥±«¨1) f = f ,2) (fv; v ) > 0 ¤«¿ «¾¡®£® v 2 V“¯° ¦­¥­¨¥: ¢ ±«³· ¥ ¯®«¿ ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥« ¯¥°¢®¥ ³±«®¢¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ±«¥¤±²¢¨¥¬ ¢²®°®£®, ¢ ¢¥¹¥±²¢¥­­®¬ | ­¥².()f‹¥¬¬ 4.6.2 Ž¯¥° ²®° ¿¢«¿¥²±¿ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»¬¢ ­¥ª®²®°®¬ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®¬ ¡ §¨±¥ ¥£® ¬ ²°¨¶ ¤¨ £®­ «¼­ ± ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»¬¨ ½«¥¬¥­² ¬¨ ­ ¤¨ £®­ «¨.„®ª § ²¥«¼±²¢®.): ’.ª. f = f , ²® ±³¹¥±²¢³¥²¡ §¨± e1 ; : : : ; en, ¢ ª®²®°®¬ ¬ ²°¨¶ ®¯¥0 ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»©1° ²®° ¤¨ £®­ «¼­ , Af = @(: ®·¥¢¨¤­®.10...0nA, i 2 R.

’®£¤ (fei; ei) = i > 0 ¤«¿ ¢±¥µ i = 1; : : : ; n.45f‹¥¬¬ 4.6.3 (¨§¢«¥·¥­¨¥ ª¢ ¤° ²­®£® ª®°­¿) …±«¨| ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»© ®¯¥° ²®°,²® ±³¹¥±²¢³¥² (¨ ¯°¨²®¬ ¥¤¨­±²¢¥­­»©) ² ª®© ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»© ®¯¥° ²®° , ·²® 2.gg =f„®ª § ²¥«¼±²¢®.‘³¹¥±²¢®¢ ­¨¥. ’.ª. f |0 ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»©,1 ²® ¢ ­¥ª®²®°®¬ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®¬ ¡ §¨±¥ ¥£®10...A, ¯°¨·¥¬ ¢±¥ i > 0. ‚®§¼¬¥¬ ®¯¥° ²®° g ± ¬ ²°¨¶¥©¬ ²°¨¶ ¨¬¥¥² ¢¨¤ Af = @0n0 p101CB.2..Ag = @p A ¢ ½²®¬ ¦¥ ¡ §¨±¥, ²®£¤ g = f .n0…¤¨­±²¢¥­­®±²¼. ³±²¼ ­ °¿¤³ ± ®¯¥° ²®°®¬ g , ¯®±²°®¥­­»¬ ¢»¸¥, ±³¹¥±²¢³¥² ¥¹¥ ®¤¨­ ² ª®© ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»©0 p®¯¥° ²®° h, ·²®1h2 = f .

‚ ­¥ª®²®°®¬ ¡ §¨±¥ a1; : : : ; an ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° g ¨¬¥¥² ¢¨¤ Ag = B@1...0Cp A, ².ª. ®¯¥° ²®° h ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»©, ²® ¨ ¥£® ¬ ²°¨¶ ¢0 1­¥ª®²®°®¬ (¢®®¡¹¥ £®¢®°¿ ¤°³£®¬) ¡ §¨±¥ b1; : : : ; bn ¨¬¥¥² ¢¨¤ Ah = @0n02i...0n1A. ’.ª. ip¨ | ½²® ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿ ®¯¥° ²®° f (± ³·¥²®¬ ª° ²­®±²¨), ²® i ±®¢¯ ¤ ¾² ± i ±²®·­®±²¼¾ ¤® ¯¥°¥±² ­®¢ª¨. ¥§ ®£° ­¨·¥­¨¿ p®¡¹­®±²¨ ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® ®­¨ ³¦¥ ¯¥°¥±² ¢«¥­» ² ª, ·²®¡» i ¢ ²®·­®±²¨ ±®¢¯ ¤ «¨ ± i . ®±²°®¨¬ ¨§®¬¥²°¨¾ u, ¯¥°¥¢®¤¿¹³¾ ®¤¨­¡ §¨± ¢ ¤°³£®©, u(ai ) = bi, ²®£¤ pp(u hu)ai = (u h)bi = u i bi = i ubi = i ubi = i ai = gai ;±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, u hu = g ¨ h = ugu (².ª. ®¯¥° ²®° u ®¡° ²¨¬ ¨ u 1 = u ).

‚®§¢¥¤¿ ®¡¥ · ±²¨½²®£® ° ¢¥­±²¢ ¢ ª¢ ¤° ², ¯®«³·¨¬f = g2 = (uhu)2 = uhuu hu = uh2 u = ufu;§­ ·¨², uf = fu, ².¥. ®¯¥° ²®° u ¯¥°¥±² ­®¢®·¥­ ± f . …±«¨ ¡» u ¡»« ¯¥°¥±² ­®¢®·¥­ ¨ ± g , ².¥.¥±«¨ ¡» ¡»«® ¢¥°­® ° ¢¥­±²¢® ug = gu, ²® ²®£¤ ¯®«³·¨«®±¼ ¡», ·²® h = ugu = guu = g , ·²®­ ¬ ¨ ­³¦­® ¤®ª § ²¼.„®ª ¦¥¬u ± g. ³±²¼ ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° u ¢ ¡ §¨±¥ a1 ; : : : ; an ¨¬¥¥² ¢¨¤0 ¯¥°¥±² ­®¢®·­®±²¼1u11 : : : u1nAu = @ ... . . .

... A (¢ ½²®¬ ¡ §¨±¥ ¬ ²°¨¶» ®¯¥° ²®°®¢ f ¨ g ¨¬¥¾² ¤¨ £®­ «¼­»© ¢¨¤).un1 : : : unn’®£¤ 0 u11 : : : u1n 1 0 11 0 1u11 : : : nu1n 10...A = @ ... . . . ... A ;Auf = Au Af = @ ... . . . ... A @0nun1 : : : unn1un1 : : : nunn0 1u11 : : : 1u1n 1 ­ «®£¨·­®, Afu = @ ...

. . . ... A. ¥°¥±² ­®¢®·­®±²¼ u ± f ®§­ · ¥², ·²®nun1 : : : nunniuji = j uji 8i; j:(6)’®·­® ² ª ¦¥ ¯®«³· ¥¬, ·²®0p 11p1u1 : : : nu1nAug = B@ p ... . . . p ... CA ;1 un1 : : :0p 1p1u1 : : : 1u1nAgu = B@ p ... . . . p ...nunnnun1 : : :46nunn1CA :ppˆ§ ° ¢¥­±²¢ (6) ±«¥¤³¥², ·²® i uji = j uji ¤«¿ ¢±¥µ i; j , ².¥. ug = gu.…¤¨­±²¢¥­­»© ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»© ª¢ ¤° ²­»© ª®°¥­¼ ¨§ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­®£® ®¯¥° ²®° f ¬»¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ f 1=2 .‹¥¬¬ 4.6.4 Ž¯¥° ²®°²®°®£® ®¯¥° ²®° h.f­¥®²°¨¶ ²¥«¥­ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ f = hh ¤«¿ ­¥ª®-„®ª § ²¥«¼±²¢®.…±«¨ f ­¥®²°¨¶ ²¥«¥­, ²® ¢ ª ·¥±²¢¥ ®¯¥° ²®° h ¬®¦­® ¢§¿²¼ ª¢ ¤° ²­»© ª®°¥­¼ ¨§ f .…±«¨ f = h h, ²® f = (h h) = h (h) = h h = f , ².¥.

f | ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»©. „«¿ «¾¡®£®¢¥ª²®° a ¨¬¥¥¬ (fa; a) = (h ha; a) = (ha; ha) > 0, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, f | ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»©.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥4.6.5®¡° ²¨¬.Ž¯¥° ²®° f ­ §»¢ ¥²±¿¯®«®¦¨²¥«¼­»¬, ¥±«¨ ®­ ­¥®²°¨¶ ²¥«¥­ ¨„«¿ «¾¡®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ®¯¥° ²®° ±³¹¥±²¢³¥² ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨±, ¢ ª®²®°®¬ ¥£®¬ ²°¨¶ ¤¨ £®­ «¼­ , ¯°¨·¥¬ ­ ¤¨ £®­ «¨ ±²®¿² ¯®«®¦¨²¥«¼­»¥ ·¨±« .‹¥¬¬ 4.6.6 …±«¨ ®¯¥° ²®° f : V ! V ¯®«®¦¨²¥«¥­, ²® ´®°¬³« ha; bi := (fa; b), £¤¥ a; b 2V , § ¤ ¥² (­®¢®¥) ±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ h; i ¢ £¨«¼¡¥°²®¢®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ V ±® ±ª «¿°­»¬¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ (; ).°®¢¥°¨¬ ­¥®¡µ®¤¨¬»¥ ³±«®¢¨¿ ±ª «¿°­®£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿:1) «¨­¥©­®±²¼ ®·¥¢¨¤­ , ².ª.

®¯¥° ²®° f «¨­¥©­»© ¨ ±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ (; ) ² ª¦¥ «¨­¥©­®;2) ±¨¬¬¥²°¨·­®±²¼ ±«¥¤³¥² ¨§ ± ¬®±®¯°¿¦¥­­®±²¨ f ;3) ¯®«®¦¨²¥«¼­ ¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¼: ha; bi > 0, ².ª. ha; bi = (fa; a) = (g 2a; a) = (ga; ga) > 0,£¤¥ g | ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»© ª¢ ¤° ²­»© ª®°¥­¼ ¨§ f . °¨·¥¬ ®¯¥° ²®° g ¯®«®¦¨²¥«¥­, ¯®±ª®«¼ª³®¡° ²¨¬ (¨­ ·¥ f = g 2 ¡»« ¡» ­¥®¡° ²¨¬).  ¢¥­±²¢® ha; ai = 0 ½ª¢¨¢ «¥­²­® (ga; ga) = 0, ¨«¨ga = 0, ­® ¨§ ®¡° ²¨¬®±²¨ g ®²±¾¤ ¢»²¥ª ¥² a = 0.„®ª § ²¥«¼±²¢®.®«¿°­®¥ ° §«®¦¥­¨¥ ®¯¥° ²®°®¢ ¯°¨¬¥°¥ ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥« ¬» §­ ¥¬, ·²® ®­¨ ¤®¯³±ª ¾² ² ª ­ §»¢ ¥¬®¥ ¯®«¿°­®¥ ° §«®¦¥­¨¥ | ° §«®¦¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥ z = r ei', £¤¥ r > 0 | ¢¥¹¥±²¢¥­­®¥ ·¨±«®, ¨ jei' j = 1.

Žª §»¢ ¥²±¿,·²® ¯®¤®¡­»¬ ®¡° §®¬ ¬®¦­® ° ±ª« ¤»¢ ²¼ ¨ «¨­¥©­»¥ ®¯¥° ²®°».f : W ! W’¥®°¥¬ 4.6.7 (® ¯®«¿°­®¬ ° §«®¦¥­¨¨) „«¿ «¾¡®£® ®¯¥° ²®° ±³¹¥±²¢³¥² ° §«®¦¥­¨¥ ¢ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¤¢³µ ®¯¥° ²®°®¢, £¤¥| ³­¨² °­»© (¨«¨ ®°²®£®­ «¼­»©), | ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»©. °¨·¥¬ ®¯¥° ²®°®¯°¥¤¥«¥­ ®¤­®§­ ·­®, , ¥±«¨®¡° ²¨¬, ²® ¨®¯°¥¤¥«¥­ ®¤­®§­ ·­®.uf = uhhhufŒ» ¤®ª ¦¥¬ ½²³ ²¥®°¥¬³ ²®«¼ª® ¤«¿ ±«³· ¿, ª®£¤ ®¯¥° ²®° f ®¡° ²¨¬.‘³¹¥±²¢®¢ ­¨¥.

’.ª. f ®¡° ²¨¬, ²® ¨ f ®¡° ²¨¬, , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¨ f f ®¡° ²¨¬. ®«¥¥²®£®, f f | ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»©, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ®­ ¯®«®¦¨²¥«¼­»©. ³±²¼ h = (f f )1=2, ²®£¤ h| ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»© ¨ ®¡° ²¨¬»©, ².ª. h2 = f f , ².¥. ±³¹¥±²¢³¥² ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»© (¨ ¤ ¦¥¯®«®¦¨²¥«¼­»©) ®¯¥° ²®° h 1 .  ±±¬®²°¨¬ ®¯¥° ²®° u = fh 1 . ’®£¤ u = (h 1 ) f = h 1 f ¨u u = h 1 f fu = h 1 h2h 1 = id, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, u | ³­¨² °­»© (¨«¨ ®°²®£®­ «¼­»©) ®¯¥° ²®°.Œ» ¯®«³·¨«¨ ¨±ª®¬®¥ ° §«®¦¥­¨¥ f = uh.…¤¨­±²¢¥­­®±²¼. ³±²¼ f = uh = vk, £¤¥ u; v | ³­¨² °­»¥ (®°²®£®­ «¼­»¥), h; k | ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»¥ ®¯¥° ²®°».

’®£¤ ¨¬¥¥¬ h2 = f f = (vk)vk = k v vk = k k = k2 , ².¥. h ¨ k |½²® ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»¥ ª¢ ¤° ²­»¥ ª®°­¨ ¨§ f f , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, k = h (§¤¥±¼ ¬» ­¥ ¯®«¼§³¥¬±¿®¡° ²¨¬®±²¼¾ f ), ¨, §­ ·¨², u = v = fh 1 .„®ª § ²¥«¼±²¢®.474.7Š ­®­¨·¥±ª¨© ¢¨¤ ¬ ²°¨¶» ­®°¬ «¼­®£® ®¯¥° ²®° fW’¥®°¥¬ 4.7.1 Ž¯¥° ²®° , ¤¥©±²¢³¾¹¨© ¢ ³­¨² °­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥, ¿¢«¿¥²±¿ ­®° ) ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ¢ ­¥ª®²®°®¬ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®¬¬ «¼­»¬ (².¥. ¡ §¨±¥ ¥£® ¬ ²°¨¶ ¤¨ £®­ «¼­ .f f = ff0 1£®­ «¼­ , Af = @0 01¢¨¤ Af = B@ ...„®ª § ²¥«¼±²¢®.0…±«¨ ¢ ­¥ª®²®°®¬®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®¬ ¡ §¨±¥ ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° f ¤¨ 1...0n0A, ²® ¬ ²°¨¶ ±®¯°¿¦¥­­®£® ®¯¥° ²®° ¨¬¥¥² ¢ ²®¬ ¦¥ ¡ §¨±¥1 nCA.

’ ª ª ª Af Af = Af Af , ²® f f = ff .’¥¯¥°¼ ¯¥°¥©¤¥¬ ª ¤®ª § ²¥«¼±²¢³ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®£® ¡ §¨± , ¢ ª®²®°®¬¬ ²°¨¶ ­®°¬ «¼­®£® ®¯¥° ²®° ¤¨ £®­ «¼­ . ³±²¼ | ±®¡±²¢¥­­®¥ §­ ·¥­¨¥ ®¯¥° ²®° f ,V = fv 2 W : fv = vg W - ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® ±®¡±²¢¥­­»µ ¢¥ª²®°®¢, ®²¢¥· ¾¹¨µ . ®¤¯°®±²° ­±²¢® V , ®·¥¢¨¤­®, ¨­¢ °¨ ­²­®¥ ®²­®±¨²¥«¼­® f , ¡³¤¥² ¨­¢ °¨ ­²­® ² ª¦¥ ®²­®±¨²¥«¼­®f . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¢®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­»© v 2 V .

’®£¤ f fv = f v = f v, ­® ± ¤°³£®© ±²®°®­», f fv = ff v , ¯®½²®¬³ f (f v ) = f v , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¢¥ª²®° f v ¿¢«¿¥²±¿ ±®¡±²¢¥­­»¬,®²¢¥· ¾¹¨¬ ²®¬³ ¦¥ ±®¡±²¢¥­­®¬³ §­ ·¥­¨¾ , ¯®½²®¬³ f v 2 V , ·²® ¨ ¤®ª §»¢ ¥² ¨­¢ °¨ ­²­®±²¼ V ®²­®±¨²¥«¼­® f .Œ» §­ ¥¬, ·²®, ¥±«¨ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® ¨­¢ °¨ ­²­® ®²­®±¨²¥«¼­® f , ²® ®°²®£®­ «¼­®¥ ¤®¯®«­¥­¨¥ ¨­¢ °¨ ­²­® ®²­®±¨²¥«¼­® f . ’.ª. V ¨­¢ °¨ ­²­® ®²­®±¨²¥«¼­® ®¡®¨µ ®¯¥° ²®°®¢ f ¨f , ²® ¨ V ? ¡³¤¥² ¨­¢ °¨ ­²­® ®²­®±¨²¥«¼­® ®¡®¨µ ®¯¥° ²®°®¢.„®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» ¯°®¢¥¤¥¬ ¯® ¨­¤³ª¶¨¨ (¯® ° §¬¥°­®±²¨ ¯°®±²° ­±²¢ ) ²®·­® ² ª¦¥, ª ª ¨ ¢ ¯°¥¤»¤³¹¨µ ²¥®°¥¬ µ ® ¯°¨¢¥¤¥­¨¨ ª ¤¨ £®­ «¼­®¬³ ¢¨¤³.

‚®§¼¬¥¬ ¨­¢ °¨ ­²­®¥¯®¤¯°®±²° ­±²¢® ? 0 V, ²®£¤ ¢ ¯®¤µ®¤¿¹¥¬ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®¬ ¡ §¨±¥ ¥£® ¬ ²°¨¶ ¨¬¥¥² ¡«®·­»©¢¨¤ Af = 0 ? . Ž£° ­¨·¥­¨¿ ®¯¥° ²®° f ­ V ¨ V ? ²®¦¥ ­®°¬ «¼­», ±«¥¤®¢ ²¥«¼­® (¯®¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾ ¨­¤³ª¶¨¨) ½²¨ ¡«®ª¨ ¤¨ £®­ «¼­» ¢ ¯®¤µ®¤¿¹¨µ ¡ §¨± µ, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¨ ¢±¿¬ ²°¨¶ ¤¨ £®­ «¼­ .5¨«¨­¥©­»¥ ¨ ¯®«³²®° «¨­¥©­»¥ ´³­ª¶¨¨5.1K¨«¨­¥©­»¥ ´³­ª¶¨¨ (´®°¬»)5.1.1 ³±²¼ V | ¢¥ª²®°­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® ­ ¤ ¯®«¥¬ K . ”³­ª¶¨¿ g : V V !­ §»¢ ¥²±¿ ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¥©, ¥±«¨ ®­ «¨­¥©­ ¯® ª ¦¤®¬³ °£³¬¥­²³, ².¥.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥g (a1 + a2 ; b) = g(a1; b) + g(a2; b)g (a; b) = g (a; b)g(a; b1 + b2) = g (a; b1) + g(a; b2)g (a; b) = g (a; b)8a1; a2; b 2 V ;8a; b 2 V; 2 K;8a; b1; b2 2 V ;8a; b 2 V; 2 K:…±«¨ ¢»¡° ²¼ ¡ §¨± e1; : : : ; en ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ V , ²® ¡¨«¨­¥©­³¾ ´³­ª¶¨¾ ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¬ ²°¨¶¥© G = (gij ), £¤¥ gij = g (ei; ej ).

°¨·¥¬ (¥±«¨ ¡ §¨± § ´¨ª±¨°®¢ ­), ²® ±³¹¥±²¢³¥² ¢§ ¨¬­®®¤­®§­ ·­®¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ ª¢ ¤° ²­»¬¨ ¬ ²°¨¶ ¬¨ ¨ ¡¨«¨­¥©­»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨, ².¥. «¾¡ ¿ ¬ ²°¨¶ § ¤ ¥² ª ª³¾-²® ´³­ª¶¨¾ ¨ ° §­»¥ ¬ ²°¨¶» § ¤ ¾² ° §­»¥ ´³­ª¶¨¨.°¨¬¥°.…±«¨ g (a; b) = (a; b) | ®¡»·­®¥ ±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥, ²® g¡³¤¥² ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¥©, ¥¥ ¬ ²°¨¶ G ¡³¤¥² ¯°®±²® ¬ ²°¨¶¥© ƒ° ¬ . ®½²®¬³ ­ ¬ ²°¨¶³¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨ ¬®¦­® ±¬®²°¥²¼ ª ª ­ ®¡®¡¹¥­¨¥ ¬ ²°¨¶» ƒ° ¬ .48…±«¨ G | ¬ ²°¨¶ ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨ g , ²® §­ ·¥­¨¥ ½²®© ´³­ª¶¨¨ ­ ¤¢³µ «¾¡»µ ¢¥ª²®° µ¢®±±² ­ ¢«¨¢ ¥²±¿ ¯® ´®°¬³«¥ g (x; y ) = g (xiei ; y j ej ) = xi g (ei; ej )y j = xi gij y j ¨«¨, ¢ ¬ ²°¨·­®©´®°¬¥0 1g(x; y) = (x1 : : : xn)G @y1...ynA:°¨ § ¬¥­¥ ¡ §¨± e0k = cik ei , £¤¥ C = (cik ) | ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ , ¬ ²°¨¶ ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨¨§¬¥­¨²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:gkl0 = g(e0k ; e0l) = g(cikei ; cjl ej ) = cik g(ei; ej )cjl = cik gij cjl ;².¥.

G0 = C tGC , £¤¥ G0 | ¬ ²°¨¶ ²®© ¦¥ ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨ ¢ ­®¢®¬ ¡ §¨±¥. ¬­®¦¥±²¢¥ ¡¨«¨­¥©­»µ ´³­ª¶¨© ¬®¦­® ¥±²¥±²¢¥­­»¬ ®¡° §®¬ ®¯°¥¤¥«¨²¼ ±²°³ª²³°³ «¨­¥©­®£® ¯°®±²° ­±²¢ (­ ¤ ²¥¬ ¦¥ ¯®«¥¬ K), ¯°¨·¥¬ ° §¬¥°­®±²¼ ½²®£® ¯°®±²° ­±²¢ ¡³¤¥² n2 ,£¤¥ n = dim V . Ž¡®§­ · ¥²±¿ ®­® B (V ). Ž·¥¢¨¤­®, ·²® B (V ) = Mat(n n).‚ ±«³· ¥ ¯®«¿ ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥« ° ±±¬ ²°¨¢ ¾² ² ª¦¥ ¯®«³²®° «¨­¥©­»¥ ´³­ª¶¨¨.5.1.2 ³±²¼ V | ¢¥ª²®°­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® ­ ¤ ¯®«¥¬ C .

Характеристики

Список файлов лекций