В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии (1113130), страница 15

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”³­ª¶¨¿ f : V ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®«³²®° «¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¥©, ¥±«¨ ®­ «¨­¥©­ ¯® ¢²®°®¬³ °£³¬¥­²³ ¨ ­²¨«¨­¥©­ ¯® ¯¥°¢®¬³, ².¥.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥V !Cg(a1 + a2 ; b) = g(a1; b) + g(a2; b)g (a; b) = g (a; b)g(a; b1 + b2) = g(a; b1) + g(a; b2)g (a; b) = g(a; b)8a1; a2; b 2 V ;8a; b 2 V; 2 C ;8a; b1; b2 2 V ;8a; b 2 V; 2 C :ˆ ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¬®¦­®, ­ «®£¨·­»¬ ®¡° §®¬, ¢¢¥±²¨ ¯®­¿²¨¥ ¬ ²°¨¶» ¯®«³²®° «¨­¥©­®©´³­ª¶¨¨, ­® ¯°¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ª ­®¢®¬³ ¡ §¨±³ ¬ ²°¨¶ ¯®«³²®° «¨­¥©­®© ´®°¬» ¡³¤¥² ¨§¬¥­¿²¼±¿¯® ´®°¬³«¥ G0 = C t GC .Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.1.3  ­£®¬ ¡¨«¨­¥©­®© (¯®«³²°® «¨­¥©­®©) ´³­ª¶¨¨ ­ §»¢ ¥²±¿ ° ­£ ¥¥¬ ²°¨¶» ¢ ¯°®¨§¢®«¼­®¬ ¡ §¨±¥, rk g = rk G.”®°¬³«» ¯¥°¥µ®¤ ª ¤°³£®¬³ ¡ §¨±³ ¯®ª §»¢ ¾², ·²® ½²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ª®°°¥ª²­®.

„¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯®±ª®«¼ª³ ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ C ®¡° ²¨¬ , rk C tGC = rk C tGC = rk G.0 ). ¥¢»°®¦¤¥­­®±²¼³±²¼ L(V; V 0) | ¯°®±²° ­±²¢® ¢±¥µ «¨­¥©­»µ ®²®¡° ¦¥­¨© f : V ! V 0, £¤¥ V 0 | ¤¢®©±²¢¥­­®¥¯°®±²° ­±²¢® ª V . ³±²¼ ­ ¬ ¤ ­® ² ª®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ f : V ! V 0 , ¨ e1 ; : : : ; en | ¡ §¨± ¢ V .05.2Š ­®­¨·¥±ª¨© ¨§®¬®°´¨§¬B (V)=L(V ; V‚®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­»© ¢¥ª²®° x 2 V , ¥¬³ ®²¢¥· ¥² «¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿ f (x) 2 V , f (x) : V ! K.‚®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­»© ¢¥ª²®° y 2 V , ²®£¤ ´³­ª¶¨®­ « f (x) ¬®¦­® ¯°¨¬¥­¨²¼ ª ¢¥ª²®°³ y :f (x)y = f (xiei)y j ej = xif (ei)ej yj = xifij y j ;£¤¥ fij = f (ei )ej .

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ½«¥¬¥­²³ f 2 L(V; V 0 ) ±² ¢¨²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬ ²°¨¶ F =(fij ). Ž¡° ²­®, ª ¦¤ ¿ ¬ ²°¨¶ F = (fij ) § ¤ ¥² (¥±«¨ § ´¨ª±¨°®¢ ­ ¡ §¨±) ®²®¡° ¦¥­¨¥ f : V !V 0 ¯® ´®°¬³«¥f (x)y = xi fij yj . „°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, ´¨ª± ¶¨¿ ¡ §¨± ³±² ­ ¢«¨¢ ¥² ¨§®¬®°´¨§¬0L(V; V ) = Mat(n n).‹¥¬¬ 5.2.1 °®±²° ­±²¢ B (V ) ¨ L(V; V 0 ) ª ­®­¨·¥±ª¨ ¨§®¬®°´­».49„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¡¨«¨­¥©­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ g 2 B (V ) ¨ § ´¨ª±¨°³¥¬ ¥£® ¯¥°¢»© °£³¬¥­², ²®£¤ ¯®«³·¨²±¿ «¨­¥©­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ V ! K, § ¤ ­­®¥ ´®°¬³«®©x 7! g (a; x), ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, g(a; x) 2 V 0 ¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ a. ’¥¯¥°¼ ¬» ¬®¦¥¬ ¯®±²°®¨²¼®²®¡° ¦¥­¨¥ B (V ) ! L(V; V 0 ) ¯® ±«¥¤³¾¹¥¬³ ¯° ¢¨«³: ¡¨«¨­¥©­®¬³ ®²®¡° ¦¥­¨¾ g 2 B (V )±² ¢¨¬ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ eg : V ! V 0 , ®¯°¥¤¥«¥­­®¥ ° ¢¥­±²¢®¬ ge(a) = g (a; x). Ÿ±­®,·²® eg 2 L(V; V 0 ). Œ®¦­® ¯®±²°®¨²¼ ² ª¦¥ ¨ ®¡° ²­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥: ¯³±²¼ f : V ! V 0 | «¨­¥©­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥, ²®£¤ f (a) 2 V 0 ¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ a 2 V , ².¥.

f (a)b 2 K ¨ fe(x; y ) = f (x)y |¡¨«¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿, ².¥. fe 2 B (V ). ²¨ ¤¢ ®²®¡° ¦¥­¨¿ | g 7! ge, f 7! fe | ¢§ ¨¬­® ®¡° ²­»,±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ®­¨ ®±³¹¥±²¢«¿¾² ¨§®¬®°´¨§¬ B (V ) = L(V; V 0 ). ’.ª. ½²®² ¨§®¬®°´¨§¬ ­¥ § ¢¨±¨²®² ¢»¡®° ¡ §¨± , ²® ½²® ª ­®­¨·¥±ª¨© ¨§®¬®°´¨§¬.0„®ª ¦¥¬ ª ­®­¨·¥±ª¨© ¨§®¬®°´¨§¬ B (V ) = L(V; V ) ¥¹¥ ®¤­¨¬ ±¯®±®¡®¬ (± ¯®¬®¹¼¾ ¬ ²°¨¶). ‚»¡¥°¥¬ ¡ §¨± e1 ; : : : ; en ¢ V , ¢®§¼¬¥¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥ g 2 B (V ), ¯³±²¼ G = (gij ) | ¥£® ¬ ²°¨¶ , ².¥. gij = g (ei; ej ). ‚®§¼¬¥¬ ¤¢®©±²¢¥­­»© ¡ §¨± "1 ; : : : ; "n ¢ V 0 ¨ ®²®¡° ¦¥­¨¥ eg : V ! V 0(²® ¦¥, ·²® ¨ ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥¬ ¡§ ¶¥). ³±²¼ Ge = (egij ) | ¥£® ¬ ²°¨¶ , ².¥.

ge(ei ) = egij "j . ®±¬®²°¨¬, ª ª ±¢¿§ ­» ¬¥¦¤³ ±®¡®© ¬ ²°¨¶» G ¨ Ge . ‘ ®¤­®© ±²®°®­», eg(ei )ek = (egij "j )ek = egik , ±¤°³£®© ±²®°®­», eg(ei )ek = g (ei; ek ) = gik , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¬ ²°¨¶» G ¨ Ge ±®¢¯ ¤ ¾² ¢ ¯°®¨§¢®«¼­®¬ (­® ®¤­®¬ ¨ ²®¬ ¦¥) ¡ §¨±¥, ®²ª³¤ ¨ ±«¥¤³¥² ª ­®­¨·¥±ª¨© ¨§®¬®°´¨§¬ B (V ) = L(V; V 0 ).Š ª ¬» ³¦¥ §­ ¥¬, ¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ ¯¥°¢®¬ °£³¬¥­²¥ ¡¨«¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿ x 7! g (a; x) =¿¢«¿¥²±¿ «¨­¥©­»¬ ´³­ª¶¨®­ «®¬. €­ «®£¨·­®, ¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ ¯° ¢®¬ °£³¬¥­²¥¨¬¥¥¬ «¨­¥©­»© ´³­ª¶¨®­ « x 7! g (x; a) = ga(x). ”¨ª± ¶¨¿ ¯¥°¢®£® (±®®²¢.

¢²®°®£®) °£³¬¥­² ®¯°¥¤¥«¿¥² ®²®¡° ¦¥­¨¥ Lg : V ! V 0 ° ¢¥­±²¢®¬ a 7! a g (±®®²¢. ®²®¡° ¦¥­¨¥ Rg : V ! V 0° ¢¥­±²¢®¬ a 7! ga ).Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.2.2 ‹¥¢»¬ ¿¤°®¬ ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨ g 2 B (V ) ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢®GL = fa 2 V : g (a; b) = 0 8b 2 V g. ° ¢»¬ ¿¤°®¬ ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨ ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢®GR = fa 2 V : g(b; a) = 0 8b 2 V g.Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¬­®¦¥±²¢ GL ¨ GR ¿¢«¿¾²±¿ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ ¬¨ ¢ V .‹¥¬¬ 5.2.3  §¬¥°­®±²¨ «¥¢®£® ¨ ¯° ¢®£® ¿¤¥° ±®¢¯ ¤ ¾² ¨ ° ¢­» dim GL = dim GR =dim V rk g .„®ª § ²¥«¼±²¢®. ’.ª. ¬ ²°¨¶ G ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨ g : V V ! K ¨ ¬ ²°¨¶ ALg®²®¡° ¦¥­¨¿ Lg : V ! V 0 (±¬.

¯°¥¤»¤³¹³¾ «¥¬¬³) ±®¢¯ ¤ ¾², ²® rk G = rk ALg . ®«¥¥ ²®£®,a 2 GL ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ a 2 Ker Lg , ².¥. GL = Ker Lg . ’.ª. dim V 0 = dim V , ²®dim GL = dim Ker Lg = dim V 0 rk ALg = dim V rk g . €­ «®£¨·­® (§ ¬¥­¿¿ ¯¥°¢»© °£³¬¥­² ­ ¢²®°®©), «¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ¬ ²°¨¶ Gt ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¬ ²°¨¶¥© ARg ®²®¡° ¦¥­¨¿ Rg : V ! V 0 ¨dim GR = dim V 0 rk Gt = dim V rk g .a g (x)Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.2.4 ¨«¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿ g ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥¢»°®¦¤¥­­®©, ¥±«¨ dim GL =dim GR = 0 (½²® ³±«®¢¨¥ ° ¢­®±¨«¼­® ²®¬³, ·²® det G 6= 0 ¨«¨ rk g = dim V ).°¨¬¥°»:b1 = a1 b2.1) ¯³±²¼ G = 00 10 .

 ©¤¥¬ «¥¢®¥ ¨ ¯° ¢®¥ ¿¤°®: g (a; b) = (a1 a2) 00 10b2‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, GL = he2 i ¨ GR = he1 i, £¤¥ e1 ; e2 | ¡ §¨±.2) ¡¨«¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¬®¦¥² ¡»²¼ ­¥¢»°®¦¤¥­ ¯°®±²° ­±²¢¥, ­® ¡»²¼ ¢»°®¦¤¥­ ­ 1 ¢±¥¬10­®© ­ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢¥!  ¯°¨¬¥°, ¯³±²¼ G = 0 1 , ° ±±¬®²°¨¬ ¢¥ª²®° a = 1 ¨¯®¤¯°®±²° ­±²¢® V = hai. ’.ª. g (a; a) = 0, ²® ¤«¿ «¾¡»µ ¤¢³µ ¢¥ª²®°®¢ b; c 2 V (².¥. ª®««¨­¥ °­»µ ¢¥ª²®°³ a) g (a; b) = 0, ².¥. ®£° ­¨·¥­¨¥ ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨ g ­ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® V¢»°®¦¤¥­®, ¢ ²® ¢°¥¬¿ ª ª ± ¬ ´³­ª¶¨¿ g ­¥¢»°®¦¤¥­ , ².ª. det G 6= 0. Ž²¬¥²¨¬, ·²® ¢ ½²®¬¯°¨¬¥°¥ «¥¢®¥ ¨ ¯° ¢®¥ ¿¤°® ±®¢¯ «¨, ¯®²®¬³ (ª ª ¬» ³¢¨¤¨¬ ¤ «¥¥) ·²® ´³­ª¶¨¿ ±¨¬¬¥²°¨·­ .505.3‘¨¬¬¥²°¨·­»¥, ª®±®±¨¬¬¥²°¨·­»¥ ¨ ½°¬¨²®¢» ´³­ª¶¨¨…±«¨ g : V V ! K | ¡¨«¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿, ²® ´³­ª¶¨¿ (a; b) 7! g (b; a), ¯®«³·¥­­ ¿ ¨§ ´³­ª¶¨¨g § ¬¥­®© ¯¥°¢®£®¨ ¢²®°®£® °£³¬¥­²®¢, ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¥©. Œ» ¡³¤¥¬ ¥¥®¡®§­ · ²¼ g t, g t(a; b) = g (b; a).

²® ¦¥ ®¡®§­ ·¥­¨¥ ¬» ¡³¤¥¬ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¨ ¤«¿ ¯®«³²®° «¨­¥©­»µ ´³­ª¶¨© ­ ¤ ¯®«¥¬ ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥«.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.3.1 ¨«¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿ g ­ §»¢ ¥²±¿ ±¨¬¬¥²°¨·­®©, ¥±«¨ g t = g , ².¥.¥±«¨ g (b; a) = g (a; b); ª®±®±¨¬¬¥²°¨·­®©, ¥±«¨ g t = g , ².¥. ¥±«¨ g (b; a) = g (a; b).  ¤ ¯®«¥¬ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥« ¯®«³²®° «¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿ g ­ §»¢ ¥²±¿ ½°¬¨²®¢®©, ¥±«¨ g t = g , ².¥. ¥±«¨g(b; a) = g (a; b).”®°¬ «¼­® ¬®¦­® ² ª¦¥ ¢¢¥±²¨ ¯®­¿²¨¥ ª®±®½°¬¨²®¢®© ¯®«³²®° «¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¥© ³±«®¢¨¾ g (b; a) = g (a; b), ®¤­ ª® ¬» ±¥©· ± ³¡¥¤¨¬±¿, ·²® ½²® ¯®­¿²¨¥ ±¢®¤¨²±¿ ª¯®­¿²¨¾ ½°¬¨²®¢®© ´³­ª¶¨¨.g | ª®±®½°¬¨²®¢ ´³­ª¶¨¿, ²® ig | ½°¬¨²®¢ .„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ¬ ¤ ­®, ·²® g t = g .

“¬­®¦¨¬ ®¡¥ · ±²¨ ½²®£® ° ¢¥­±²¢ ­ ¬­¨¬³¾¥¤¨­¨¶³, ig t = ig = ig.‹¥¬¬ 5.3.2 …±«¨“²¢¥°¦¤¥­¨¥ 5.3.3 …±«¨ ¡¨«¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ±¨¬¬¥²°¨·­ (¨«¨ ª®±®±¨¬¬¥²°¨·­ ), ²®¥¥ «¥¢®¥ ¨ ¯° ¢®¥ ¿¤° ±®¢¯ ¤ ¾².„®ª § ²¥«¼±²¢®.Ž·¥¢¨¤­® (±¬. ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ «¥¢®£® ¨ ¯° ¢®£® ¿¤¥°).‚ ±«³· ¥ (ª®±®)±¨¬¬¥²°¨·­®© ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨ g ª®°°¥ª²­® ®¯°¥¤¥«¥­® ¥¥ ¿¤°® Ker g =Gl = GR.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.3.4 ”³­ª¶¨¿ f : V ! K ­ §»¢ ¥²±¿ ª¢ ¤° ²¨·­®© ´³­ª¶¨¥© (´®°¬®©),¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ¡¨«¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿ g , ·²® f (a) = g (a; a) ¤«¿ «¾¡®£® a 2 V .‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ f | ª¢ ¤° ²¨·­ ¿ ´³­ª¶¨¿, ²®f (a + b) = g(a + b; a + b) = g (a; a) + g (a; b) + g(b; a) + g(b; b);±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, g (b; a) + g (a; b) = f (a + b) f (a) f (b).

…±«¨ ¯®«¥ K ­¥ µ ° ª²¥°¨±²¨ª¨ 2(¯®«¿ µ ° ª²¥°¨±²¨ª¨ 2 ¬» ¢®®¡¹¥ ¤ «¥¥ ­¥ ¡³¤¥¬ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼, ¯®±ª®«¼ª³ ­ ¬ · ±²® ¯°¨¤¥²±¿ ¨±¯®«§®¢ ²¼ ¤¥«¥­¨¥ ¯®¯®« ¬), ²® ®¯°¥¤¥«¨¬ ¡¨«¨­¥©­³¾ ´³­ª¶¨¾ h ° ¢¥­±²¢®¬ h(a; b) =1 (g (a; b) + g (b; a)). ² ´³­ª¶¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ ±¨¬¬¥²°¨·­®© ¨ h(a; a) = g (a; a) = f (a), ².¥. ¥¥ ¬®¦­®2¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¢¬¥±²® ¯°®¨§¢®«¼­®© ´³­ª¶¨¨ g ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ª¢ ¤° ²¨·­®© ´³­ª¶¨¨.’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ª¢ ¤° ²¨·­®© ´³­ª¶¨¨ ¬®¦­® ±¤¥« ²¼ ¡®«¥¥ ¦¥±²ª¨¬, ¨¬¥­­®¯®²°¥¡®¢ ²¼ ±¨¬¬¥²°¨·­®±²¼ ´³­ª¶¨¨ g .Œ» ¯®«³·¨«¨, ·²® «¾¡ ¿ ±¨¬¬¥²°¨·­ ¿ ¡¨«¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿ g § ¤ ¥² ª¢ ¤° ²¨·­³¾ ´³­ª¶¨¾f ° ¢¥­±²¢®¬ f (a) = g(a; a), ¨ ­ ®¡®°®², ¯® ´®°¬³«¥ g(a; b) = 12 (f (a + b) f (a) f (b)) «¾¡ ¿ª¢ ¤° ²¨·­ ¿ ´³­ª¶¨¿ § ¤ ¥² ±¨¬¬¥²°¨·­³¾ ¡¨«¨­¥©­³¾ ´³­ª¶¨¾.

Ÿ±­®, ·²® ½²® ±®®²¢¥²±²¢¨¥¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ·­®, ª®£¤ µ ° ª²¥°¨±²¨ª ¯®«¿ K ®²«¨·­ ®² 2.“²¢¥°¦¤¥­¨¥ 5.3.5 ‹¾¡ ¿ ¡¨«¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¤®¯³±ª ¥² ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ° §«®¦¥­¨¥ ¢±³¬¬³ ±¨¬¬¥²°¨·­®© ¨ ª®±®±¨¬¬¥²°¨·­®© ¡¨«¨­¥©­»µ ´³­ª¶¨©.„®ª § ²¥«¼±²¢®.‘³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ³ª § ­­®£® ° §«®¦¥­¨¿ ®·¥¢¨¤­®, ².ª. g = 12 (g + g t) + 12 (g g t).…¤¨­±²¢¥­­®±²¼. ‘­ · « ³¡¥¤¨¬±¿, ·²® ¥±«¨ ¡¨«¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ±¨¬¬¥²°¨·­ ¨ ª®±®±¨¬¬¥²°¨·­ , ²® ®­ ­³«¥¢ ¿. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ g (a; b) = g (b; a) = g (b; a), ²® 2g (b; a) =0, ¯®½²®¬³ (µ ° ª²¥°¨±²¨ª ¯®«¿ ­¥ ° ¢­ 2) g (b; a) = 0 ¤«¿ ¢±¥µ a; b.³±²¼ ²¥¯¥°¼ ´³­ª¶¨¿ g ®¡« ¤ ¥² ¤¢³¬¿ ° §«®¦¥­¨¿¬¨ ³ª § ­­®£® ¢¨¤ , g = g1 + g2 = h1 + h2 ,£¤¥ g1; h1 ±¨¬¬¥²°¨·­», g2; h2 ª®±®±¨¬¬¥²°¨·­».

’®£¤ 0 = (g1 h1 )+(g2 h2 ), ®²ª³¤ ±«¥¤³¥²,·²® ª ª ´³­ª¶¨¿ g2 h2 , ² ª ¨ ´³­ª¶¨¿ g1 h1 , ¤®«¦­ ¡»²¼ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ±¨¬¬¥²°¨·­®© ¨ª®±®±¨¬¬¥²°¨·­®©, ¯®½²®¬³ ®¡¥ ½²¨ ´³­ª¶¨¨ ° ¢­» ­³«¾.515.4Ž°²®£®­ «¼­®¥ ¤®¯®«­¥­¨¥Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.4.1 ³±²¼ V W , ­ W § ¤ ­ (ª®±®)±¨¬¬¥²°¨·­ ¿ ¡¨«¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿g , ²®£¤ V ? = fa 2 W : g(a; b) = 0 8b 2 V g.°¨¬¥°.³±²¼ G = 01 01 ¢ ¡ §¨±¥ e1 ; e2 ¨ ¯³±²¼ a = e1 + e2 . Ž¡®§­ ·¨¬ V1 = he1i, V2 = he2 i,V3 = hai. ’®£¤ V1? = V2, V3? = V3. ‚¨¤­®, ·²® ®°²®£®­ «¼­®¥ ¤®¯®«­¥­¨¥ ¢ ±«³· ¥ ¯°®¨§¢®«¼­®©¡¨«¨­¥©­®© ±¨¬¬¥²°¨·­®© ´³­ª¶¨¨ ­¥ ®·¥­¼ ¯®µ®¦¥ ­ ®¡»·­®¥ ®°²®£®­ «¼­®¥ ¤®¯®«­¥­¨¥.‘«³· © ª®±®±¨¬¬¥²°¨·­®© ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¨ ¡³¤¥² ¢»£«¿¤¥²¼ ¥¹¥ ¡®«¥¥ ½ª§®²¨·­»¬.dim V ? > dim W²®£¤ , ª®£¤ Ker g \ V = f0g.‹¥¬¬ 5.4.2dim V ,¯°¨·¥¬ ° ¢¥­±²¢® ¤®±²¨£ ¥²±¿ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª®„®ª § ²¥«¼±²¢®.

‚»¡¥°¥¬ ¡ §¨± e1 ; : : : ; er ¢ V . ’®£¤ «¾¡®© ¢¥ª²®° b 2 V ¬®¦­® § ¯¨± ²¼¢ ¢¨¤¥ b = bi ei , 1 6 i 6 r. ’®£¤ ³±«®¢¨¥ a 2 V ? ½ª¢¨¢ «¥­²­® ° ¢¥­±²¢ ¬ g (a; ei) = 0 ¤«¿ ¢±¥µi = 1; : : : ; r. „®¯®«­¨¬ ¢»¡° ­­»© ¡ §¨± ¤® ¡ §¨± ¢±¥£® ¯°®±²° ­±²¢ . ’®£¤ ­ n ª®®°¤¨­ ²¢¥ª²®° a ¬» ¡³¤¥¬ ¨¬¥²¼ ±¨±²¥¬³ ¨§ r «¨­¥©­»µ ³° ¢­¥­¨©( g(a; e1) = 0: : :: : ::::g(a; er) = 0: §¬¥°­®±²¼ ¯°®±²° ­±²¢ °¥¸¥­¨© ½²®© ±¨±²¥¬» (².¥. ¯°®±²° ­±²¢ V ? ) ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ­¥° ¢¥­±²¢³ dim V ? > n r = dim W dim V (§¤¥±¼ ±²®¨² ­¥° ¢¥­±²¢®, ¯®²®¬³ ·²® ­¥ª®²®°»¥³° ¢­¥­¨¿ ±¨±²¥¬» ¬®£³² ¡»²¼ «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬»¬¨). ¢¥­±²¢® ¡³¤¥² ¤®±²¨£ ²¼±¿ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ° ­£ ½²®© ±¨±²¥¬» ° ¢¥­ ¢ ²®·­®±²¨r, ².¥. ¢±¥ ±²°®ª¨ «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬».

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