В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии (1113130), страница 17

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’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¬®¦¥¬ ­ ©²¨ ¢¥ª²®°» e01 ; : : : ; e0r ­®¢®£® ¡ §¨± . °¨ ½²®¬ ¬ ²°¨¶ ´³­ª¶¨¨ g ¯°¨¬¥² ¢¨¤0 g(e01; e01)1...B?CBC;@00g(er ; er) A??...1C0 C;A£¤¥ «¥¢»© ¢¥°µ­¨© ³£®« | ¤¨ £®­ «¼­ ¿ ¬ ²°¨¶ . Ž²¬¥²¨¬, ·²® ° ­£ ½²®© ¤¨ £®­ «¼­®© ¬ ²°¨¶» ° ¢¥­ r (° ­£ ³£«®¢®£® ¬¨­®° ­¥ ¬¥­¿¥²±¿), ¯®½²®¬³ ¢±¥ §­ ·¥­¨¿ g (e0i ; e0i) ®²«¨·­» ®²­³«¿ ¯°¨ 1 6 i 6 r.Ž±² ¢¸¨¥±¿ ¢¥ª²®°» e0r+1 ; : : : ; e0n ­ ©¤¥¬ ¨§ ³±«®¢¨¿ g (e0i ; e0j ) = 0, ¥±«¨ i 6 r j > r. „«¿ ½²®£®00­ ¤® ¢§¿²¼ e0j = ej gg((ee0j ;e;e0 )) e01 : : : gg((ee0rj ;e;er0r )) e0r . ’¥¯¥°¼ ¬ ²°¨¶ ´³­ª¶¨¨ g ¯°¨¬¥² ¢¨¤1110 g(e01; e01)BB@g(e0r; e0r)0? , ¯®±ª®«¼ª³ ° ­£ ½²®© ¬ ²°¨¶» ° ¢¥­ r, ².¥.

° ­£³ ³£«®¢®£® ¬¨­®° ¯®°¿¤ª r, ²® ¯° ¢»©­¨¦­¨© ³£®« ½²®© ¬ ²°¨¶» ° ¢¥­ ­³«¾. Žª®­· ²¥«¼­®, ¢ ¯®±²°®¥­­®¬ ¡ §¨±¥ ¬ ²°¨¶ ´³­ª¶¨¨g ¯°¨¬¥² ¢¨¤0 g(e0 ; e0 )11 1B...CCB0BCC0r ; e0r )g(eG0 = BBCC :0BB... C@A000®±ª®«¼ª³ jGk j = jGk j ¤«¿ ¢±¥µ k = 1; : : : ; n, ¨¬¥¥¬ ° ¢¥­±²¢ jG1j = jG01j = g(e01; e01);jG02j = jG2j = g(e01; e01)g(e02; e02) = jG1jg(e02; e02) ( g(e02; e02) = jjGG2jj ;1jGjG03j = jG3j = jG02jg(e03; e03) = jG2jg(e03; e03) ( g(e03; e03) = jG3jj ;3: : :: : :: : :: : :: : :: : :: : :: : :: : :jG0rj = jGr j = jG0r 1jg(e0r; e0r ) = jGr 1jg(e0r; e0r) ( g(e0r ; e0r) = jGjGrj j :r 1‚ ¯®±²°®¥­­®¬ ¡ §¨±¥ e01 ; : : : ; e0n ´³­ª¶¨¿ g ¨¬¥¥² ¢¨¤g(x; y) = g(e01; e01)x1y 1 + : : : + g (e0r ; e0r)xr y r =2j x2 y 2 + : : : + jGr j xr y r ;= jG1jx1y 1 + jjGGjjG j1·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼.r 1Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.7.2 ‘¨¬¬¥²°¨·­ ¿ ¡¨«¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿ g ¢ ¢¥¹¥±²¢¥­­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ V­ §»¢ ¥²±¿ ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¯°¥¤¥«¥­­®©, ¥±«¨ ¥¥ ±¨£­ ²³° ° ¢­ (dim V; 0; 0) (½ª¢¨¢ «¥­²­®¥®¯°¥¤¥«¥­¨¥ | ¥±«¨ g (x; x) > 0 ¤«¿ «¾¡®£® ­¥­³«¥¢®£® x 2 V ).57’¥®°¥¬ 5.7.3 (Š°¨²¥°¨© ‘¨«¼¢¥±²° ) ”³­ª¶¨¿²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ¢ ¥¥ ¬ ²°¨¶¥²¥«¼­».Gg¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¯°¥¤¥«¥­ ²®£¤ ¨(¢ ¯°®¨§¢®«¼­®¬ ¡ §¨±¥) ¢±¥ ³£«®¢»¥ ¬¨­®°» ¯®«®¦¨-„®ª § ²¥«¼±²¢®.

…±«¨ ¢±¥ ³£«®¢»¥ ¬¨­®°» ¯®«®¦¨²¥«¼­», ²® ¯® ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬¥´³­ª¶¨¿ g ¨¬¥¥² ¢¨¤ g (x; x) = 1(x1)2 + : : : + n (xn )2, £¤¥ n | ° §¬¥°­®±²¼ ¯°®±²° ­±²¢ , i > 0 ¯°¨ ¢±¥µ i = 1; : : : ; n, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, g ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¯°¥¤¥«¥­ .Ž¡° ²­®, ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ´³­ª¶¨¿ g ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¯°¥¤¥«¥­ . „®ª ¦¥¬ ±­ · « , ·²® ¢±¥³£«®¢»¥ ¬¨­®°» ¡³¤³² ­¥­³«¥¢»¬¨. Ž²¬¥²¨¬ ±° §³, ·²® jGj = jGn j 6= 0, ².ª. ´³­ª¶¨¿ g ­¥¢»°®¦¤¥­ ¨ ¥¥ ° ­£ ° ¢¥­ n.

®±ª®«¼ª³ ´³­ª¶¨¿ g ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¯°¥¤¥«¥­ , ²® ¨ ¥¥ ®£° ­¨·¥­¨¿­ «¾¡»¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ ² ª¦¥ ¡³¤³² ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¯°¥¤¥«¥­­»¬¨, , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¨ ­¥¢»°®¦¤¥­­»¬¨. ’.ª. Gk | ½²® ¬ ²°¨¶ ®£° ­¨·¥­¨¿ g ­ he1 ; : : : ; ek i, ²® jGk j 6= 0 ¤«¿ ¢±¥µ k.‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¢±¥ ³£«®¢»¥ ¬¨­®°» ­¥­³«¥¢»¥. ‚®±¯®«¼§³¥¬±¿ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬®©: ·²®¡»´³­ª¶¨¿ g (x; y ) = 1x1 y 1 + : : : + n xn y n ¡»« ­¥¢»°®¦¤¥­­®© (².¥. ·²®¡» ¢±¥ i ¡»«¨ ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬¨) ­¥®¡µ®¤¨¬®, ·²®¡» ¢±¥ jGij ¡»«¨ ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬¨.5.8°®±²° ­±²¢ ± ®¡®¡¹¥­­»¬ ±ª «¿°­»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬. ƒ°³¯¯» ®¯¥° ²®°®¢, ±®µ° ­¿¾¹¨µ ±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.8.1 ‚¥¹¥±²¢¥­­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® ± § ¤ ­­®© ­ ­¥¬ ­¥¢»°®¦¤¥­­®© ±¨¬¬¥²°¨·­®© ¡¨«¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¥© ­ §»¢ ¥²±¿ ¯±¥¢¤®¥¢ª«¨¤®¢»¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬.Š®¬¯«¥ª±­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® ± § ¤ ­­®© ­ ­¥¬ ­¥¢»°®¦¤¥­­®© ½°¬¨²®¢®© ¯®«³²®° «¨­¥©­®©´³­ª¶¨¥© ­ §»¢ ¥²±¿ ¯±¥¢¤®½°¬¨²®¢»¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬.‚¥¹¥±²¢¥­­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® ± § ¤ ­­®© ­ ­¥¬ ­¥¢»°®¦¤¥­­®© ª®±®±¨¬¬¥²°¨·­®© ¡¨«¨­¥©­®©´³­ª¶¨¥© ­ §»¢ ¥²±¿ ±¨¬¯«¥ª²¨·¥±ª¨¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬.¥°¢»¥ ¤¢ ±«³· ¿ ¿¢«¿¾²±¿ ¥±²¥±²¢¥­­»¬¨ ®¡®¡¹¥­¨¿¬¨ ¥¢ª«¨¤®¢®£® ¨ ½°¬¨²®¢®£® ¯°®±²° ­±²¢.

‘ª «¿°­®¥ (®¡®¡¹¥­­®¥) ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ § ¤ ¥²±¿ ±¨¬¬¥²°¨·­®© ¡¨«¨­¥©­®© ¨«¨ ½°¬¨²®¢®© ¯®«³²®° «¨­¥©­®© ´³­ª¶¨¥© g , (x; y ) = g (x; y ) = x1y 1 + : : : + xpy p xp+1 y p+1 : : : xn y n (¢¯±¥¢¤®½°¬¨²®¢®¬ ±«³· ¥ ¤®¡ ¢«¿¥²±¿ ª®¬¯«¥ª±­®¥ ±®¯°¿¦¥­¨¥). …±«¨ ¢ ­®°¬ «¼­®¬ ¢¨¤¥ ´³­ª¶¨¨ g ¢±¥ §­ ª¨ | ¯«¾±» (².¥. ¥±«¨ g ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¯°¥¤¥«¥­ ) ²® ¯±¥¢¤®¥¢ª«¨¤®¢® ¯°®±²° ­±²¢® ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®±²® ¥¢ª«¨¤®¢»¬, ¯±¥¢¤®½°¬¨²®¢® ¯°®±²° ­±²¢® | ½°¬¨²®¢»¬ (³­¨² °­»¬).Œ ²°¨¶ G ´³­ª¶¨¨ g ¿¢«¿¥²±¿ ®¡®¡¹¥­¨¥¬ ¬ ²°¨¶» ƒ° ¬ .‚ ¯±¥¢¤®¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¨ ¯±¥¢¤®½°¬¨²®¢®¬¡³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ¡ §¨± e1 ; : : : ; en ®° 0 ¯°¨ ±«³· ¥i=6j²®­®°¬¨°®¢ ­, ¥±«¨ g (ei; ej ) = 1 ¯°¨ i = j . ‚ ±¨¬¯«¥ª²¨·¥±ª®¬ ±«³· ¥ ² ª®¥ ­¥¢®§¬®¦­®, ².ª. g (x; x) =0 0 ¤«¿ «¾¡®£® ¢¥ª²®° 1x.

Ž¤­ ª® ­¥¢»°®¦¤¥­­ ¿ ª®±®±¨¬¬¥²°¨·­ ¿0 10BCC1 0B.BCC (².¥. ¡¥§ ª«¥²®ª ° §¬¥° 1, ².ª. ­ «¨·¨¥ ­³.´³­ª¶¨¿ ¨¬¥¥² ¢¨¤ B.@0 1 A01 0«¥¢®© ®¤­®¬¥°­®© ª«¥²ª¨ ¯°®²¨¢®°¥·¨² ­¥¢»°®¦¤¥­­®±²¨ ´³­ª¶¨¨ g ). ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ° §¬¥°­®±²¼ ·¥²­ . ³±²¼ ¬ ²°¨¶ ´³­ª¶¨¨ g ¨¬¥¥² ³ª § ­­»© ¢¨¤ ¢ ¡ §¨±¥ e1; : : : ; e2m.  ±±¬®²°¨¬¡ §¨± e1 ; e3; : : : ; e12m 1 ; e2; e4; : : : ; e2m , ¢ ½²®¬ ¡ §¨±¥ ¬ ²°¨¶ ´³­ª¶¨¨ g ¨¬¥¥² ¢¨¤01B... CCB0CB1CB.

’ ª®© ¡ §¨± ­ §»¢ ¥²±¿ £ ¬¨«¼²®­®¢»¬. ‚ ±¨¬¯«¥ª²¨·¥±ª®¬ ¯°®CB1CBCB...A@01±²° ­±²¢¥ §­ ·¥­¨¥ ´³­ª¶¨¨ g ­ ¯ °¥ ¢¥ª²®°®¢ ² ª¦¥ ­ §»¢ ¾² ¨µ ±ª «¿°­»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬(¥¹¥ ¡®«¥¥ ®¡®¡¹¥­­»¬, ·¥¬ ¯±¥¢¤®¥¢ª«¨¤®¢®¥ ¨«¨ ¯±¥¢¤®½°¬¨²®¢®).58 ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ®¯¥° ²®°», ¤¥©±²¢³¾¹¨¥ ¢ ¯±¥¢¤®¥¢ª«¨¤®¢®¬, ¯±¥¢¤®½°¬¨²®¢®¬ ¨«¨ ±¨¬¯«¥ª²¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ V .

³±²¼ ®¯¥° ²®° f : V ! V ±®µ° ­¿¥² ±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥,².¥. g (fx; fy ) = g (x; y ) ¤«¿ ¢±¥µ x; y 2 V .‹¥¬¬ 5.8.2 ‚±¥ ®¯¥° ²®°», ±®µ° ­¿¾¹¨¥ ±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥, ®¡° §³¾² £°³¯¯³.„®ª § ²¥«¼±²¢®. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¥±«¨ ®¯¥° ²®°» f1 ; f2 ±®µ° ­¿¾² ±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥, ²® ¨ ¨µ ª®¬¯®§¨¶¨¿ ² ª¦¥ ¥£® ±®µ° ­¿¥²: g (f1f2 x; f1f2 x) = g (f2x; f2y ) = g (x; y ). …±«¨®¡° ²­»© ®¯¥° ²®° ±³¹¥±²¢³¥², ²® ®­ ² ª¦¥ ±®µ° ­¿¥² ±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥: g (x; y ) =g (ff 1x; ff 1y ) = g(f 1x; f 1y). ¬ ®±² «®±¼ ¯®ª § ²¼, ¯®·¥¬³ ®¡° ²­»© ®¯¥° ²®° ±³¹¥±²¢³¥² ¤«¿ «¾¡®£® ®¯¥° ²®° f , ±®µ° ­¿¾¹¥£® ±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥. ‚®§¼¬¥¬ ª ª®©-­¨¡³¤¼ ¡ §¨± e1 ; : : : ; en, ¯³±²¼ A = (aij )| ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° f , G = gij | ¬ ²°¨¶ ´³­ª¶¨¨ g ¢ ¢»¡° ­­®¬ ¡ §¨±¥.

’®£¤ ³±«®¢¨¥±®µ° ­¥­¨¿ ±ª «¿°­®£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ¯°¨¬¥² ¢¨¤:g(x; y ) = gij xi yj = g (fx; fy ) = gklaki xialj y j = (At GA)ij xiyj ;².¥. G = At GA (¢ ¯±¥¢¤®½°¬¨²®¢®¬ ±«³· ¥ ­ ¤® ¥¹¥ ³·¥±²¼ ª®¬¯«¥ª±­®¥ ±®¯°¿¦¥­¨¥, G = At GA).’.ª. ¬ ²°¨¶ G ­¥¢»°®¦¤¥­ , ²® ¨ A ®¡¿§ ­ ¡»²¼ ­¥¢»°®¦¤¥­­®©, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ±³¹¥±²¢³¥²¨ A 1 , ª®²®°®© ±®®²¢¥²±²¢³¥² (¢ ²®¬ ¦¥ ¡ §¨±¥) ®¯¥° ²®° f 1 .…±«¨ G | ¥¤¨­¨·­ ¿ ¬ ²°¨¶ , ²® At A = E (¢ ¯±¥¢¤®½°¬¨²®¢®¬ ±«³· ¥ At A = E ), ¨ ½²¨ ³±«®¢¨¿¢»¤¥«¿¾² ®°²®£®­ «¼­»¥ (³­¨² °­»¥) ¬ ²°¨¶».‚¢¥¤¥¬ ¢ ° ±±¬®²°¥­¨¥ ±«¥¤³¾¹¨¥ £°³¯¯» ®¯¥° ²®°®¢:¯±¥¢¤®®°²®£®­ «¼­ ¿ £°³¯¯ O(p; q ) | £°³¯¯ ®¯¥° ²®°®¢, ±®µ° ­¿¾¹¨µ ¯±¥¢¤®¥¢ª«¨¤®¢®¥±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ± ±¨£­ ²³°®© (p; q; 0) (¥±«¨ q = 0, ²® £°³¯¯³ O(p; 0) ­ §»¢ ¾²®°²®£®­ «¼­®© ¨ ®¡®§­ · ¾² O(p)).

¯±¥¢¤®³­¨² °­ ¿ £°³¯¯ U (p; q) | £°³¯¯ ®¯¥° ²®°®¢, ±®µ° ­¿¾¹¨µ ¯±¥¢¤®½°¬¨²®¢®¥ ±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ± ±¨£­ ²³°®© (p; q; 0) (¥±«¨ q = 0, ²® £°³¯¯³ O(p; 0) ­ §»¢ ¾² ³­¨² °­®© ¨ ®¡®§­ · ¾² U (p)). ±¨¬¯«¥ª²¨·¥±ª ¿ £°³¯¯ Sp(2m) | £°³¯¯ ®¯¥° ²®°®¢, ±®µ° ­¿¾¹¨µ ±¨¬¯«¥ª²¨·¥±ª®¥±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ° §¬¥°­®±²¨ 2m.„ ¤¨¬ ®¯¨± ­¨¥ ½²¨µ £°³¯¯ ¢ ¬ «»µ ° §¬¥°­®±²¿µ.ƒ°³¯¯ O(2) | £°³¯¯ ®¯¥° ²®°®¢, ±®µ° ­¿¾¹¨µ ±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ­ ¯«®±ª®±²¨. ’ ª¨¥¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ¬®£³² ±®¡±²¢¥­­»¬¨ ¨«¨ ­¥±®¡±²¢¥­­»¬¨ (±®µ° ­¿²¼ ®°¨¥­² ¶¨¾ ¯«®±ª®±²¨¨«¨ ¬¥­¿²¼ ¥¥). …±«¨ ®¯¥° ²®° ±®µ° ­¿¥² ®°¨¥­² ¶¨¾,²® ½²® ¯°®±²® ¯®¢®°®² ­ ­¥ª®²®°»©cos'sin'³£®« ' ¨ ¥£® ¬ ²°¨¶ ¨¬¥¥² ¢¨¤ sin ' cos ' , ¥±«¨ ®¯¥° ²®° ¬¥­¿¥² ®°¨¥­² ¶¨¾, ²® ½²® cos ' sin ' ¥¹¥ ¨ ª®¬¯®§¨¶¨¿ ± ±¨¬¬¥²°¨¥©, ¨ ¬ ²°¨¶ ¨¬¥¥² ¢¨¤ sin ' cos ' .ƒ°³¯¯ O(1; 1). ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ § ¤ ­® ´®°¬³«®© g (x; y ) = x1 y 1 x2 y 2¨ ¢¥ª²®° ± ª®®°¤¨­ ² ¬¨ x; y ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ¤«¨­³ 1, ¥±«¨ x2 y 2 = 1, ².¥.

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