В.М. Мануйлов - Курс лекций по линейной алгебре и геометрии (1113130), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

€­ «®£¨·­®¯°®¢¥°¿¥²±¿, ·²® f (a) = f (a): (f (a) f (a); b) = (f (a); b) (f (a); b) = (a; gb) (a; gb) = 0.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.3.2 …±«¨ ¤«¿ ®¯¥° ²®° f : V ! V ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ®¯¥° ²®° g , ·²® ¤«¿«¾¡»µ ¢¥ª²®°®¢ a; b 2 V ¢»¯®«­¿¥²±¿ ° ¢¥­±²¢® (fa; b) = (a; gb), ²® g ­ §»¢ ¥²±¿ ±®¯°¿¦¥­­»¬®¯¥° ²®°®¬ ¤«¿ f .„®ª ¦¥¬ ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¼ ±®¯°¿¦¥­­®£® ®¯¥° ²®° . „®¯³±²¨¬, ·²® g1 ¨ g2 | ¤¢ ±®¯°¿¦¥­­»µ®¯¥° ²®° ¤«¿ f .

’®£¤ (fa; b) = (a; g1b) = (a; g2b), ².¥. (a; g1b g2b) = 0 ¤«¿ «¾¡®£® ¢¥ª²®° a,±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ¯°¨ «¾¡®¬ b ¨¬¥¥¬ g1b g2 b = 0, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, g1 = g2.‘®¯°¿¦¥­­»© ®¯¥° ²®° ®¡®§­ · ¥²±¿ g = f .‹¥¬¬ ®¯¥° ²®°4.3.3 …±«¨ ®¯¥° ²®°»g = f1 f2f1 ¨ f2f1 ¨ f2g = f2f1.¨¬¥¾² ±®¯°¿¦¥­­»¥² ª¦¥ ¨¬¥¥² ±®¯°¿¦¥­­»© , ¯°¨·¥¬ „®ª § ²¥«¼±²¢®.g(f1 f2 a; b) = (f2a; f1b) = (a; f2f1 b).±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ²®fA‹¥¬¬ 4.3.4 …±«¨ ¢ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®¬ ¡ §¨±¥ ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° ° ¢­ ¨ ±³¹¥±²¢³¥² ±®¯°¿¦¥­­»© ®¯¥° ²®° , ²® ¬ ²°¨¶ ½²®£® ®¯¥° ²®° ¢ ²®¬ ¦¥ ¡ §¨±¥ ° ¢­ tf(¥±«¨ ¯°®±²° ­±²¢® ¥¢ª«¨¤®¢®) ¨«¨tAA(¥±«¨ ¯°®±²° ­±²¢® ³­¨² °­®).0 a1 : : : a1n 1 ³±²¼ ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° f ¢ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®¬ ¡ §¨±¥0 be11; : :: :: :; enb1n¥±²¼111A = @ ... .

. . ... A, ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° f (¢ ²®¬ ¦¥ ¡ §¨±¥) ¥±²¼ B = @ ... . . . ... A.„®ª § ²¥«¼±²¢®.an1 : : : annbn1 : : : bnn’®£¤ aji = (ej ; aki ek ) = (ej ; fei ) = (f ej ; ei) = (blj el ; ei ) = bij , ®²ª³¤ ¯®«³· ¥¬ A = B t , ¨«¨ B = At .Ž²¬¥²¨¬, ·²® ³±«®¢¨¥ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®±²¨ ¡ §¨± ¢ «¥¬¬¥ ¿¢«¿¥²±¿ ±³¹¥±²¢¥­­»¬.f | ®¯¥° ²®°, ±®¯°¿¦¥­­»© ª f , ²® (f ) = f .‹¥¬¬ 4.3.6 „«¿ «¾¡®£® ®¯¥° ²®° f ±³¹¥±²¢³¥² ¥¬³ ±®¯°¿¦¥­­»© f .„®ª § ²¥«¼±²¢®.

‚»¡¥°¥¬ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨± e1 ; : : : ; en , ¨ ¯³±²¼ Af | ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° f ¢ ½²®¬ ¡ §¨±¥. ’®£¤ ¬ ²°¨¶ Atf ¡³¤¥² (¢ ½²®¬ ¦¥ ¡ §¨±¥) ¬ ²°¨¶¥© ­¥ª®²®°®£®0 c11 : : : c1n 1®¯¥° ²®° g . ³±²¼ Af = @ ... . . . ... A. ‚®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ¢¥ª²®°» a = ai ei , b = bi ei .cn1 : : : cnn‘«¥¤±²¢¨¥’®£¤ 4.3.5 …±«¨0 c11 : : : c1n 1 0 b1 1fb = @ ... . .

. ... A @ ... A ;¨ «¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²®cn1 : : : cnn0 c11 : : : c1n 1ga = (a1 : : : an) @ ... . . . ... A ;bncn1 : : : cnn0 c11 : : : c1n 1 0 b1 1(a; fb) = (a1 : : : an ) @ ... . . . ... A @ ... A = (b; ga) = (ga; b);².¥. g = f .cn1 : : : cnnbn42“²¢¥°¦¤¥­¨¥4.3.7 …±«¨V| ¨­¢ °¨ ­²­®¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® ®²­®±¨²¥«¼­®| ¨­¢ °¨ ­²­®¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® ®²­®±¨²¥«¼­® .ff , ²® V ?‚®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­»© ¢¥ª²®° v 2 V ? , ²®£¤ 8u 2 V ¨¬¥¥¬ (f v; u) =(v; fu) = 0, ².ª. v 2 V ? , fu 2 V .

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, f v 2 V ? ¤«¿ «¾¡®£® v 2 V ? .„®ª § ²¥«¼±²¢®.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.3.8 Ž¯¥° ²®° f ­ §»¢ ¥²±¿ ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»¬ (¨«¨ ±¨¬¬¥²°¨·¥±ª¨¬), ¥±«¨f = f . Ž¯¥° ²®° f ­ §»¢ ¥²±¿ª®±®±¨¬¬¥²°¨·¥±ª¨¬, ¥±«¨ f = f . Ž¯¥° ²®° f ­ §»¢ ¥²±¿­®°¬ «¼­»¬, ¥±«¨ f f = ff .Š°®¬¥ ²®£®, ¢ ²¥°¬¨­ µ ±®¯°¿¦¥­­®£® ®¯¥° ²®° ¬®¦­® ¤ ²¼ ¤°³£®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ®°²®£®­ «¼­®£® (³­¨² °­®£®) ®¯¥° ²®° : ®¯¥° ²®° f ­ §»¢ ¥²±¿ ®°²®£®­ «¼­»¬ (¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥) ¨«¨ ³­¨² °­»¬ (¢ ³­¨² °­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥), ¥±«¨ f = f 1 (¨«¨, ·²® ²® ¦¥ ± ¬®¥,f f = id).‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¤«¿ ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®°®¢ ¡³¤³² ¢»¯®«­¥­» ½²¨ ¦¥ ±¢®©±²¢ , ·²® ¨ ¤«¿ ®¯¥° ²®°®¢,².¥.

¬ ²°¨¶ ±¨¬¬¥²°¨·¥±ª®£® ®¯¥° ²®° ¿¢«¿¥²±¿ ±¨¬¬¥²°¨·¥±ª®© (¢ ¢¥¹¥±²¢¥­­®¬ ±«³· ¥),¬ ²°¨¶ ª®±®±¨¬¬¥²°¨·¥±ª®£® ®¯¥° ²®° ¿¢«¿¥²±¿ ª®±®±¨¬¬¥²°¨·¥±ª®© ¨ ².¤.‹¥£ª® ¯®ª § ²¼, ·²® ¢±¥ ®°²®£®­ «¼­»¥, ³­¨² °­»¥, ±¨¬¬¥²°¨·¥±ª¨¥, ª®±®±¨¬¬¥²°¨·¥±ª¨¥®¯¥° ²®°» ¿¢«¿¾²±¿ ­®°¬ «¼­»¬¨ ®¯¥° ²®° ¬¨ (².¥. ±¢®©±²¢® ff f = ff , ®·¥¢¨¤­®, ¡³¤¥²¢»¯®«­¥­®).f:W !W‹¥¬¬ 4.3.9 ³±²¼| ®¯¥° ²®° ¯°®¥ª²¨°®¢ ­¨¿. Ž­ ¿¢«¿¥²±¿ ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»¬ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ ¯°®¥ª²¨°®¢ ­¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ®°²®£®­ «¼­»¬.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ W = V1 V2, f | ®¯¥° ²®° ¯°®¥ª²¨°®¢ ­¨¿ ­ V1 ¢¤®«¼ V2, ²®£¤ V1 = Im f , V2 = Ker f .

“±«®¢¨¥ ®°²®£®­ «¼­®±²¨ ¯°®¥ª²¨°®¢ ­¨¿ ° ¢­®±¨«¼­® ³±«®¢¨¾ V1 ? V2 .³±²¼ ®¯¥° ²®° f ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»©. ‚®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ¢¥ª²®°» a 2 Ker f ¨ b 2 Im f(²®£¤ b = fc ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® c 2 W ), ²®£¤ (a; b) = (a; fc) = (fa; c) = (0; c) = 0, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®a ? b, ®²ª³¤ ¯®«³· ¥¬ Ker f ? Im f .°¥¤¯®«®¦¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® Ker f ? Im f .

‚®§¼¬¥¬ ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ¢¥ª²®°» u; v 2 W ¨ ¯°¥¤±² ¢¨¬¨µ ¢ ¢¨¤¥ u = u1 + u2, v = v1 + v2 , £¤¥ u1 ; v1 2 Im f , u2 ; v2 2 Ker f . ’®£¤ (fu; v ) = (|{z}fu1 ; v ) + (|{z}fu2 ; v) = (u1; v1 + v2 ) = (u1; v1) + (|u1{z; v2}) = (u1 ; v1):=u1=0=0€­ «®£¨·­® ¯®«³· ¥¬, ·²® (u; fv ) = (u1; v1). ®½²®¬³ (fu; v ) = (u; fv ) ¤«¿ «¾¡»µ ¢¥ª²®°®¢u; v 2 W , §­ ·¨², ®¯¥° ²®° f ± ¬®±®¯°¿¦¥­.4.4Š ­®­¨·¥±ª¨© ¢¨¤ ¬ ²°¨¶» ± ¬®±®¯°¿¦¥­­®£® ®¯¥° ²®° f :W !W’¥®°¥¬ 4.4.1 „«¿ «¾¡®£® ± ¬®±®¯°¿¦¥­­®£® ®¯¥° ²®° ±³¹¥±²¢³¥² ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨±, ¢ ª®²®°®¬ ¥£® ¬ ²°¨¶ ¨¬¥¥² ¤¨ £®­ «¼­»© ¢¨¤ ± ¢¥¹¥±²¢¥­­»¬¨·¨±« ¬¨ ­ ¤¨ £®­ «¨.

“ª § ­­»© ª ­®­¨·¥±ª¨© ¢¨¤ ¬ ²°¨¶» ± ¬®±®¯°¿¦¥­­®£® ®¯¥° ²®° ¥¤¨­±²¢¥­¥­ ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ¯¥°¥±² ­®¢ª¨ ¤¨ £®­ «¼­»µ ½«¥¬¥­²®¢.„®ª § ²¥«¼±²¢®.1) Š®°®²ª®¥ ¨ ­¥¯° ¢¨«¼­®¥: ¯°¨¢¥¤¥¬ ¬ ²°¨¶³ ª ¦®°¤ ­®¢®© ´®°¬¥, ¯®¤ ¤¨ £®­ «¼¾ ¡³¤³²­³«¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ².ª. At = A, ­ ¤ ¤¨ £®­ «¼¾ ²®¦¥ ¡³¤³² ­³«¨. Ž¸¨¡ª ¢ ²®¬, ·²® ¦®°¤ ­®¢¡ §¨± ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ ­¥ ¡³¤¥² ®°²®£®­ «¼­»¬.2) ° ¢¨«¼­®¥. °¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ¬» ¡³¤¥¬ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ±«¥¤³¾¹³¾ «¥¬¬³.‹¥¬¬ ®¯¥° ²®° 4.4.2 …±«¨ V | ¨­¢ °¨ ­²­®¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® ®²­®±¨²¥«¼­® ± ¬®±®¯°¿¦¥­­®£®f , ²® V ? ² ª¦¥ ¡³¤¥² ¨­¢ °¨ ­²­® ®²­®±¨²¥«¼­® f .43Ž·¥¢¨¤­®, ².ª. V ? ¨­¢ °¨ ­²­® ®²­®±¨²¥«¼­® f = f .„®ª § ²¥«¼±²¢®.°®¢¥¤¥¬ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» ¯® ¨­¤³ª¶¨¨.1) ³±²¼ dim W = 1.

Ž·¥¢¨¤­®, Af = (a) | ¤¨ £®­ «¼­ ¿ ¬ ²°¨¶ . ‚ ±«³· ¥ ¯®«¿ ª®¬¯«¥ª±­»µ·¨±¥«, a ¡³¤¥² ¢¥¹¥±²¢¥­­»¬ ·¨±«®¬, ².ª. a = a.2) „®¯³±²¨¬, ·²® ²¥®°¥¬ ¤®ª § ­ ¤«¿ dim W 6 n, ¤®ª ¦¥¬ ¥¥ ¤«¿ dim W = n + 1.‘­ · « ° §¡¥°¥¬ ±«³· © ¯®«¿ ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥«. ³±²¼ v | ±®¡±²¢¥­­»© ¢¥ª²®° ®¯¥° ²®° f , V = hv i, ²®£¤ W = V V ?,¯°¨·¥¬ V¨ V ? ®¡ ¨­¢ °¨ ­²­» ®²­®±¨²¥«¼­® f , ²®£¤ ¬ ²°¨¶ ®¯¥° ²®° f ¨¬¥¥² ¢¨¤ Af = 0a A0 0 , £¤¥ ®£° ­¨·¥­¨¥ f 0 ®¯¥° ²®° f ­ V ? ²®¦¥ ± ¬®±®f¯°¿¦¥­®, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¯® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾ ¨­¤³ª¶¨¨, ¥£® ¬®¦­® ¯°¨¢¥±²¨ ª ¨±ª®¬®¬³ ¢¨¤³. ‚¨²®£¥ ¬ ²°¨¶ Af ¡³¤¥² ¤¨ £®­ «¼­®©, ¯°¨·¥¬, ².ª.

a = a, ­ ¤¨ £®­ «¨ ¡³¤³² ¢¥¹¥±²¢¥­­»¥·¨±« .’¥¯¥°¼ ¯¥°¥©¤¥¬ ª ±«³· ¾ ¯®«¿ ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥«. Œ» §­ ¥¬, ·²® ³ «¾¡®£® ®¯¥° ²®° ­ ¤ ¯®«¥¬ ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥« ±³¹¥±²¢³¥² «¨¡® ®¤­®¬¥°­®¥, «¨¡® ¤¢³¬¥°­®¥ ¨­¢ °¨ ­²­®¥¯®¤¯°®±²° ­±²¢®. …±«¨ ³ ½²®£® ®¯¥° ²®° ¥±²¼ µ®²¿ ¡» ®¤­® ®¤­®¬¥°­®¥ ¨­¢ °¨ ­²­®¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢®, ²® ¬®¦­® ¤¥©±²¢®¢ ²¼ ­ «®£¨·­® ¯°¥¤»¤³¹¥¬³ ±«³· ¾. …±«¨ ¦¥ ³ ½²®£® ®¯¥° ²®° 0¨¬¥¾²±¿ «¨¸¼ ¤¢³¬¥°­»¥¨­¢ °¨ ­²­»¥ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ , ²® ¥£® ¬ ²°¨¶ ¨¬¥¥² ¢¨¤1a11 a12Af = @ a21 a220Af 00A.

® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾ ¨­¤³ª¶¨¨ ¬ ²°¨¶ ®£° ­¨·¥­¨¿ f 0 ­ ®°²®£®-­ «¼­®¥ ¤®¯®«­¥­¨¥ ª ¨­¢ °¨ ­²­®¬³¯®¤¯°®±²° ­±²¢³¨¬¥¥² ¨±ª®¬»© ¢¨¤. Ž±² «®±¼ «¨¸¼ ° a12 . ’.ª. At = A, ²® a21 = a12 . „«¿ ¤ «¼­¥©¸¥£®§®¡° ²¼±¿ ± ¤¢³¬¥°­®© ª«¥²ª®© A = aa1121 a22¤®ª § ²¥«¼±²¢ ­ ¬ ¯®²°¥¡³¥²±¿‹¥¬¬ 4.4.3 “ ¤¢³¬¥°­®© ±¨¬¬¥²°¨·­®© ¬ ²°¨¶» µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¬­®£®·«¥­ ¨¬¥¥²¢¥¹¥±²¢¥­­»¥ ª®°­¨.„®ª § ²¥«¼±²¢®.deta11a21ta12a22 t= t2 (a11 + a22 )t + a11 a22 a212:„¨±ª°¨¬¨­ ­² ½²®£® ¬­®£®·«¥­ ° ¢¥­ D = (a11 + a22 )2 4(a11a22 a212) = (a11 a22 )2 +4a212 > 0.³±²¼ 1; 2 | ±®¡±²¢¥­­»¥ ·¨±« ¬ ²°¨¶» A.

’®£¤ ¢ ¡ §¨±¥, ±®±² ¢«¥­­»¬ ¨§ ±®¡±²¢¥­­»µ01¢¥ª²®°®¢, ®­ ¨¬¥¥² ¢¨¤ A = 0 2 . …±«¨ 1 = 2 , ²® ¬» ¢±¥£¤ ¬®¦¥¬ ¢»¡° ²¼ ¤¢ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»µ ±®¡±²¢¥­­»µ ¢¥ª²®° ¢ ª ·¥±²¢¥ ¡ §¨± ¤¢³¬¥°­®£® ¯°®±²° ­±²¢ . …±«¨ ¦¥1 6= 2, ²® ¯°¨¬¥­¨¬ ±«¥¤³¾¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥.‹¥¬¬ 4.4.4 ‘®¡±²¢¥­­»¥ ¢¥ª²®° , ®²¢¥· ¾¹¨¥ ° §«¨·­»¬ ±®¡±²¢¥­­»¬ §­ ·¥­¨¿¬ ± ¬®±®¯°¿¦¥­­®£® ®¯¥° ²®° ¢§ ¨¬­® ®°²®£®­ «¼­».„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ fv1 = v1, fv2 = 2 v2, ²®£¤ (fv1 ; v2) = (1v1 ; v2) = 1(v1 ; v2).®, ± ¤°³£®© ±²®°®­», (fv1 ; v2) = (v1; fv2) = (v1 ; 2v2 ) = 2(v1; v2). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, 1(v1; v2) =2(v1 ; v2), ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, (v1; v2) = 0, ².ª.

1 6= 2.„®ª § ²¥«¼±²¢® ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ª ­®­¨·¥±ª®£® ¢¨¤ § ª®­·¥­®. …¤¨­±²¢¥­­®±²¼ ±«¥¤³¥² ¨§²®£®, ·²® ­ ¤¨ £®­ «¨ ² ¬ ±²®¿² ª®°­¨ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬­®£®·«¥­ ± ³·¥²®¬ ¨µ ª° ²­®±²¨.444.5Š ­®­¨·¥±ª¨© ¢¨¤ ¬ ²°¨¶» ª®±®±¨¬¬¥²°¨·¥±ª®£® ®¯¥° ²®° f :W !W’¥®°¥¬ 4.5.1 “ «¾¡®£® ª®±®±¨¬¬¥²°¨·¥±ª®£® ®¯¥° ²®° ­ ¤ ¯®«¥¬ ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥« ±³¹¥±²¢³¥² ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨±, ¢ ª®²®°®¬ ¥£® ¬ ²°¨¶ f ¨¬¥¥² ¤¨ £®­ «¼­»© ¢¨¤ ± ·¨±²® ¬­¨¬»¬¨ ·¨±« ¬¨ ­ ¤¨ £®­ «¨.AŒ» §­ ¥¬, ·²® ¥±«¨ V W ¨­¢ °¨ ­²­® ®²­®±¨²¥«¼­® f , ²® ¨ V ? ¡³¤¥² ¨­¢ °¨ ­²­® ®²­®±¨²¥«¼­® f . ’.ª. f = f , ²® f (V ? ) = f (V ? ) = f (V ? ) V ? , ².¥.V ? ¡³¤¥² ¨­¢ °¨ ­²­® ®²­®±¨²¥«¼­® f . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­® ¬ ²°¨¶³ ®¯¥° ²®° f ¬®¦­® ¯°¨¢¥±²¨ ª¤¨ £®­ «¼­®¬³ ¢¨¤³ (² ª¨¬ ¦¥ ±¯®±®¡®¬, ª ª¨¬ ¬»0¤¥« «¨ ½²® ° ­¥¥1 | ¯® ¨­¤³ª¶¨¨, ±®®²¢¥²„®ª § ²¥«¼±²¢®.±²¢³¾¹¨© ¡ §¨± ¡³¤¥² ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»¬), Af = @10...0nA. ’.ª.

Характеристики

Список файлов лекций