С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Классификация. Все гиперповерхности второго порядка, канонические уравнения которых не содержат хотя бы одной переменной (т. е. либо 6+ 1 < пи либо 6 + 1 = и, но 6 = О), называются ц линдрами. Если же каноническое уравнение гиперповерхности второго порядка содержит все переменные, то возможны 3 случая. , г 1. Если 6 = О, с ~ О, то уравнение принимает вид 2,' а,(хг) ю=1 = 1. Гиперповерхности, уравнение которых имеет такой вид, называю гся зллипсоидами и гиперболоидами.
и 2. Если Ь = с = О, то уравнение принимает вид 2 аг (х') = О. 1=1 Гиперповерхности, описываемые уравнениями такого вида, называются конусами. 3. Наконец, если Ь р': О, то, полагая х"т1 = хи — с/(26), приведем и — 1 и каноническое уравнение к виду 2,' аг (х') = хи. Гиперповерхности, опит.=1 сываемые такими уравнениями, называются параболвидами. Замечание. Нетрудно убедиться в том, что в 11-мерном пространстве имеется и + Зп — 1 различных типов гиперповерхностей второго 2 порядка, и из которых — мнимые, т.е.
их уравнения описывают пустое множество. При этом цилиндров — пз + п — 3 (п — 1 из них мнимые), эллипсоидов и гиперболоидов — и + 1 (1 — мнимый), конусов — и/2+ 1 при четном и и (11 + 1)/2 — при нечетном, а параболоидов — и) 2 при четном п и (и+ 1)/2 — при нечетном. 4. Инварианты. Вернемся к общему уравнению гиперповерхности второго порядка; а,ухгхг + 26,х1+ с = О. ГОВОрят, Чта фуНКцИя Г (ам, ..., аии, 61, ..., Ьи, С) яВЛяЕтСя ииВариантвм этого уравнения, если при переходе к любой другой системе координат ее значение не изменяется; ~ (а„, ..., аии, 61,...,Ьи, с) = Г(а11, ...,а „,Ь1,...,Ьи, с) . 1 иперповерхности второго порядка 137 Рассмотрим две матрицы: и В= Теорема.
Все коэф4ициенты характеристического уравнения дяя матрицы А и е1е1В являются инвариантами уравнения гиперповерх~ости второго порлдка. Доказательство. Переход от одной системы координат к другой это последовательное выполнение ортогонального преобразования и параллельного переноса. При параллельном переносе матрица А вообще не изменяется, поэтому не изменяются и коэффициенты указанного характеристического уравнения. При ортогональном преобразовании коэффициенты матрицы А изменяются, но не меняются собственные значения самосопряженного оператора А, а значит и коэффициенты указанного характеристического уравнения, поскольку последние через них выражаю гся: (ам — Л) а1г ...
а1„ аг1 (агг — Л) ... аг„ = (Л, — Л)(Л вЂ” Л)(˄— Л). а г ... (а„ вЂ” Л) а 1 Осталось доказать инвариантность с1е1В. Заметим, прежде всего, что гиперповерхность, описываемая данным уравнением, может рассматриваться как сечение конуса В(х,х) = О в (и + 1)-мериом пространстве гиперплоскостью хпэ~ = 1, т. е. как направляющая этого конуса.
В самом деле, В(х х)~„ем г = ~ ~а, х хг + 2~~ ЬЛх'. 1+ с 1 . пг=1 '=1 Далее, переходу к новой системе координат в и-мерном пространстве по формулам х' = ег'„хе+ о' соответствует преобразование в (п ~ 1)-мерном а,...о„о пространстве с матрицей се = ''„'''''';;''„' , поскольку о", ... а" о" О ... О 1 Следовательно,при переходе к новой системе координат матрица В пре- образуется так: В = сг"Все, откуда с1е1 В = (с1еФ о) с1е1 В = (с1еФ сг';: е1е1 В = с1еФ В, так как матрица о — ортогональная.
Теорема доказана. Глава 5 НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ В 1. 'Унитарное пространство 1. Основные свойства. Унитарное пространство — это прямое обобщение евклидова пространства на случай линейного пространства над полем С. Поэтому иногда его называют комтиексн м евклидовым пространством; тт-мерное унитарное пространство обозначают так: 11ч. Весконсчномерное унитарное пространство играет фундаментальную роль в квантовой механике.
Определение. Линейное пространство над полем С называется унитарным, если длл любой упорядоченной пары его векторов х и у определена операция скалярттого умттоэкетт я, ставящал ей в соответствие комплексное число (х, у). При этом: 1' длл любых х, у имеет место равенстлво (х,у) = (у,х) (черта означает комплексное сопряжение); 2' для любых х у г имеет место равенство (х+у я) = (х и) + (у я); 3' длл любых х, у и любого числа Л имеет место равенство (Лх, у) = = Л(х, у); 4' для любого х имеет, место неравенство (х, х) > О, причем (х, х) = = О тогда и только тогда, когда, х = о. Замечание 1. Знак г>» в утверждении 4' может вызвать недоумение не ясно, как его понимать применительно к комплексным числам.
В действительности речь здесь и не идет о комплексных числах. В самом деле, согласно 1', (х, х) = (х, х), поэтому число (х, х) — вещественное. Замечание 2. Определенное указанным способом скалярное произведение уже нс является билинейной формой. Действительно, (х, у+ я) = = (у+ в,х) = (у,х) + (в,х) = (х,у) + (х,я), однако (х, Лу) = (Лу,х) = = Л (у,х) = Л(х, у) ф Л(х,у) (вообще говоря). Теорема. Длл любых ее»тавров х, у имеет место неравенство ~(х,у)~~ < (х,х)(у,у) (неравенство Катни-Буняковского). Доказательство.
Согласно 4' для любых векторов х, у и любого числа Л имеет место неравенство (Лх — у, Лх — у) > О. В соответствии с замечанием 2, преобразуем это неравенство так: (Лх — у, Лх — у) = Л(х, Лх — у) — (у, Лх — у) = = ЛЛ(х, х) — Л(х, у) — Л(у, х) + (у, у) = = !Л~~(х,х) — Л(х,у) — Л (х,у) + (у,у) > О.
139 Упитарное пространство Полагая Л = ' 1 (нри (х, у) = О справедливость неравенства (х, у) / (х,у) ! Коши-Буняковского не вызывает сомнения), где 1 — произвольное вещественное число, получаем: (х, х)1з — 2)(х, у))1+ (у, у) > О. Из произвольности 1 следует, что дискримннант левой части неноложителен; ~(х,у)! 2 — (х, х) (у, у) < О, что и требовалось доказать. 3 а м е ч а н и е. В унитарном пространстве можно ввести понятия длины вектора (~х~ =;/(х,х)), ортонормированного базиса в 15" и ортогонального дополнения надпространства 1 пространства ГЗ".
Правда, доказательство существования ортонормированного базиса здесь выглядит иначе — ведь скалярное произведение в этом пространстве уже не является билинейной формой. Это, впрочем, не мешает провести доказательство, применяя к произвольному базису процесс ортогонализации (гь 2 9 2 гл. 4). Не составляет труда перенести на случай унитарно1 о пространства и результаты, полученные в пн. 3 и 4 3 2 гл.4. Прн этом следует иметь в виду, ьчто в роли матрицы Ае" здесь выступает матрица А . Так, например, альтернатива Фредгольма для системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами формулируется следующим образом: либо система линейных уравнений Ах = Ь имеет решение при любит Ь, либо система — и А х = о имеегп нетривиальное решение. 2. Нормальный оператор. Как и прежде, будем говорить, что оператор А' называется сопряженны ао отношению к оператору А, если для любых векторов х, у имеет место равенство (Ах, у) = (х, А'у).
Нетрудно доказать, что оператор А* является сопряженным по отношению к оператору А тогда и только тогда, когда в ортонормированном базисе мат— е1 раца А* равна А — это утверждение доказывается точно твк же, как для евклидова пространства (н. 1 93 гл.4). Из этого, в частности, следует, что для любого оператора А существует единственный оператор А", причем (А')* = А. Введем теперь новое понятие. Определение. Оператор А называется нормальнылс если АА" = = А*А.
Теорема 1. Если оператор А — нормальный и Ах = Лх, то А'х = = Лх. Доказательство. Равенство Ах = Лх можно переписать так: (А— — ЛЕ)х = о или ((А — ЛЕ)х, (А — ЛЕ)х)) = О. Но ((А — ЛЕ)х,(А — ЛЕ)х)) = ((А' — ЛЕ)(А-.ЛЕ)х,х) = = ((А — ЛЕ)(А" — ЛЕ)х, х) = ((А' — ЛЕ)х, (А' — ЛЕ)х)). Следовагельно, А" х = Лх. Теорема доказана. '1'еорема 2. Для любого нормального оператора существует ортонормированный базис из его собственных векторов. Доказательство. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о собственных векторах самосопряженного оператора !'л 5. 140 Некоторые обобщения в Ж".
Прежде всего заметим, что если х -- собственный вектор нормального оператора А, у 1х, то Ау1х. В самолз деле, (х, Ау) = (А'х,у) = = (Лх, у) = Л(х, у) = О. Таким образом, ортогональное дополнение к л.(х) является инвариантным подвространсгвом оператора А. Дальнейшие рассуждения дословно совпадают с соответствующей частью доказательства теоремы о собственных векгорах самосопряженного оператора в Ж" (т. 2 и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
