С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

При такой трактовке установленное нами свойство 1 уже не будет иметь места. Например, в множестве с операцией аЬ = а любой элемент можно принять за е, а значит и за а . И хотя формально эта операция удовлетворяет всем свойствам 1' — 3', группой в общепринягом смысле такое множество не является.

Свойство 2. Имеем: а 1а = а ае = а аа' 1(а ) = а 'е(а ') ' = а' '(а ') ' = е, т.е. а 'а = е. Свойство 3. Имеем: еа = аа 'а = ае = а, т е. еа = а. Свойство 4. Элемент а ', обладающий свойством 3', определяет- сл единственным образом. В самом деле, допустим, что есть два таких элемента: а1 и аз . Имеем: а~ ааг = а1 е = а1 .

С другой стороны, — 1 — 1 — 1 †» — 1 — 1 — 1 — 1 — 1 — 1 — 1 — 1 а1 ааз = еаэ = аз . Следовательно, а» = аз Свойство 5. Для любых а, Ь е С существует единственное ре- шение х уравнения ах = Ь и единственное решение у уравнения уа = = Ь. В самом деле, рассмотрим, например, первое уравнение (для второго доказательство аналогичное). Если решение х существует, то, «умножая» обе чапги уравнения слева на а ', получим: х = а» Ь, т, е, х определяется единственным образом. С другой стороны, х = а 1Ь действительно явля- ется решением, поскольку ах = аа 'Ь = еЬ = Ь, т.е.

решение существует. Замечание. В абелевой группе х = а 'Ь = Ьа ' = у, что дает возможность говорить о наличии в ней операции «деления»: х = у = Ь/а. О и ре де лен не 2. Подмножество С' группы С называется подгруп- пой, если С' — группа с той же операцией, чгао и в С.

Теорема. Подмножество С' группы С является подгруппой тогда и только тогда, когда оно обладает двумя свойства и: 1' для любых двух элементов а и Ь множества С' элемент аЬ принадлежит С', 2' длл любого а с С' элемент а ' принадлежит С'.

145 Группы и поля Доказательство. Если множество С' является подгруппой, то оно обладает свойствами 1' и 2' — это следует из определения группы. Допустим, что для некоторого подмножества С' группы С выполнены требования 1' и 2'. Тогда для любых элементов а, Ь множестна С'определена операция, стввяп!вя им н соответствие элемент аЬ е С' и обладающая свойством Г группы. Кроме того, для любого элемента а множества С' элемент а ', а значит и элемент е = аа, принадлежат С', поэтому множество С' обладает и свойствами 2', 3' группы.

Теорема доказана. 2. Примеры. П ример 1. Линейное пространство является абелевой грушюй, поскольку операция сложения в нем обладает следующими свойствами: Г для любых векторов а и Ь а + Ь = Ь + а; 2' для любых векторов а, Ь и с а + (Ь + с) = (а+ Ь) + с; 3' существует такой вектор о, что для любого нектора а а + о = а; 4' для любого вектора а существует вектор ( — а) такой, что а+ ( — а) = = о. Если отказаться от свойства Г, а свойство 4' трактовать так,как его трактуют в определении группы (см. замечание предыдущего пункта),то и в этом случае линейное пространство останется группой. Более того, оно останется абелевой грушюй, т.е. свойством 1' оно по-прежнему будет обладать. В самом деле, имеем: (1+ 1) (а+ Ь) = 1(а+ Ь) + 1(а+ Ь) = а+ + Ь + а 4- Ь. С другой стороны, (1 + 1) (а+ Ь) = (1 + 1)а+ (1 + ЦЬ = а+ +а+ Ь+Ь.

Итак, а+ Ь+а+Ь = а+а+ Ь+Ь. Прибавляя к обеим частям этого равенства справа ( — Ь), а слева -- ( — а), получим: Ь + а = а + Ь. Таким образом, при наиболее естественной трактовке аксиомы 4', аксиома 1' оказывается лишней. П р и м е р 2.

Комплексные (и х п)-матрицы с отличным от нуля определителем образуют группу относительно операции умножения. Эту группу называют полной линейной группой (яепега! !!пеаг йгопр) и обозначают так: Сь(п). Полная линейная группа имеет разнообразные подгруппы. Рассмотрим некоторые из них. П ример 3. Комплексные (и х и)-матрицы с определителем, равным 1, образуют, очевидно, подгругшу группы С! (и). Эту группу называют унимоду ярной группой и обозначают так: ЯЬ(п).

Пример 4. Ортогональные (п х п)-матрицы также образуют подгруппу группы Сь(п). В самом деле, с помощью ортогонвльных матриц в евклидоном пространстве осуществляется переход от одного ортонормированного базиса к другому. Поз гому если матрицы А и  — ортогональные, то матрицы АВ и А ~ также ортогонвльные. Эту группу называют ортогональной группой и обозначают так: 0(п). П р и м е р ы 5, 6. По аналогичной причине подгруппами группы СЬ(п) являются множество унитарных матриц и множество матриц, с помощью которых осуществляются преобразования Лоренца в пространстве Е„"л.

Первую группу называют унитарной группой (Цп)), а вторую — псевдоортогонвльиой группой или группой Лоренца (0(р, д)). 10 С Б Кллоыяев Гл 5. 146 Некоторые обобщения П р и м е р ы 7, 8, 9. Мы получим еще три примера подгрупп группы С1.(п), если в каждой из трех последних групп выделим лишь те матрицы, определители которых равны 1. Полученные таким образом группы обозначаются соответственно 80(п), 811(п) и 80(р, 4). 3. Поле.

Определение. Мпожестео К иазыеаетсл полем, если длл любой упорядоченной поры его элементов а и Ь определены две операции, называемые сложением и умножением, ставящие ей в соответствие элементы а + Ь й К и аЬ б Л. При этом: 1' мноэкеспгео К лоллетсл абелееой группой отпосиглельно операции сложен л; 2' множество всех элементов К, отличных от о, лвллетсл абелевой группой относительно операции умножепил; 3' для любых а, Ь,с й К имеет место равенство а(Ь+ с) = аЬ+ас; 4' множество К содержит не менее двух элементов. Рассмотрим несколько свойств поля. Свойство 1. Длл любых а, Ь й К сущестоует едипстпеенный элемент х й Л его пазыешот разностью Ь вЂ” а, являющийся решением уравнения а + х = х + а = Ь. Свойство 2. Имеем: а(Ь вЂ” с) + ас = а(Ь вЂ” с+ с) = аЬ, откуда а(Ь вЂ” с) = аЬ вЂ” ас.

Свойство 3. Имеем: ао = а(а — а) = аа — аа = о, т. е, ао = оа = о. Свойство 4. Длл любых а, Ь й К при а ~ о существует единствеяный элемент х й К вЂ” его яозывают отношением Ь/а, являющийся решением уравнения ах = ха = Ь. В самом деле, при Ь ~ о это следует из определения поля и свойств абелевой группы; при Ь = о рассматриваемое уравнение эквивалентно уравнению х = а 'о, т.е. уравнению х = о.

Следствие. Роеенство аЬ = о возможно гполько в тех случаях, когда либо а = о, либо Ь = о (поскольку если а ф о, то Ь = о, и наоборот). Обычно это утверждение формулируют так: е поле отсутствуют делители нул.к. Приведем теперь несколько примеров полей. П р и мер 1. Множество С комплексных чисел. П р и м е р ы 2, 3. Множество К вещественных чисел и множество О рациональных чисел являются подполлми поля С.

Подпола поля С комплексных чисел называю г числовыми полями. Отметим, что числовое поле содержит 1, поэтому оно содержит все целые числа, а значит и все рациональные числа. Тем самым, любое числовое поле содержит в себе поле О. П римеры 4, 5. Существуют ли числовые поля, отличные от С, м и 12? Конечно! Приведем два примера. Первый пример — множество всех вещественных чисел вида а+ ЬлГ2, где числа а и Ь вЂ” рациональные, г(ругой пример множество всех комплексных чисел вида а + гЬ, где числа а и Ь вЂ” также рациональные. П р и м е р Ь. Поскольку любое числовое поле содержит в себе поле 12, то каждое из них содержит бесконечное количество элементов. А существуют ли поля, состоящие из конечного числа элементов? Оказывается, существуют.

Приведем пример. 147 Группы и поля Условимся под формулой Ь = а(тпот1р) понимать следующее: Ь вЂ” а = = Ьр, где 1с — целое чишю, Например, в этих обозначениях формула гйп т = =р = 1 эквиввленгна формуле я = — (шот12п). 2 Пусть р — натуральное число большее 1. Рассмотрим множество Е, чисел; ао = О, ат = 1, ..., ар т = р — 1. Ясно, что для любого целого числа Ь существует единственное число а Е Е„, для которого а = Ь(тпос1 р). Определим на множестве Ер две операции: ат=т6 = (а+ Ь)(птот1р) и аЗЬ = = (аЬ)(тпос1р) так, чтобы а пт Ь Е Еп и а З Ь Е Е„.

Тогда окажется, что: множество Е„представляет собой абелеву группу относительно операции т1т (роль о играет ао, а роль ( — а,) — число ар т); аЗ(Ь63с) =аЗЬ9аЗс; аЗЬ=ЬЗа; аЗ(ЬЗс) = (аЗЬ) Зс; для любого а Е Ер а З ат = а (поскольку ат = 1), г.е.

роль е играег ат =1. Тем не менее, множество Ер может и не быть полем. В самом деле, если число р — составное, т.е. р = тп, то о, З ап = о, в то время как в поле делители нуля отсутствуют. Если же число р — простое, то множество Ер — поле (оно называется полем сравнений по модулю р). Действительно, нам осталось доказать, что для любого а Е Е (а ~ о) существует такой элемент а ', что а За = е = 1. Докажем это. Рассмотрим числа а, 2 З а, ..., (р — 1) З о.. Все эти числа отличны ог о, поскольку произведение двух нагурвльных чисел меньших простого числа р не может быть кратно р.

Характеристики

Список файлов книги