С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Но и ее определитель больше нуля — в каноническом базисе он 124 Преобразование базисов и координат равен 1 (так как йэ —— и + 1), а знак определителя матрицы билинейной, а значит н квадратичной, формы не зависит от выбора базиса. Допустим теперь, что все угловые миноры матрицы квадратичной формы положительны, и докажем, что эта квадратичная форма является положительно определенной. Вновь воспользуемся методом математической индукции. В одномерном пространстве справедливость утверждения очевидна.
Предположим, что оно справедливо в и-мерном просгранстве, и докажем ого справедливость в (и + 1)-мерном пространстве. По предположению индукции данная квадратичная форма положительно определена для векторов подпространства 1 (еы ...,е„) и, следовательно, ее положительный индекс инерции не меньте п. Но если он равен п, го в каноническом базисе определитель ее матрицы неположительный, а знак определителя матрицы квадратичной формы нс зависит от выбора базиса.
Поэтому он равен и + 1, что и требовалось доказать. Следствие. Квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда угловые миноры ее матрицы четного порядка положительпы, а нече7пного отрицательны. В самом деле, квадратичная форма а,, хиез является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда квадратичная форма ( — а, )хилз положительно определена. Глава 4 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО й 1. Длины и углы 1.
Определение евклидова пространства. Определение.. Линейное пространство над полем К называется евклидоаым, если а нем зафиксироаана пекогаорая симметричная положительно определенна билинейная форма С(х, у),. называемая ска рным произведением (х,у). Билинейную форму (х, у) = дл х'уэ иногда называют также метрическим тензором; п-мерное евклидова пространство обозначаечся так: Е". 3 а м е ч а н и е. Определение евклидова пространства в развернутом виде можно сформулировать чак: линейное пространство над полем 11 называется езклидозым, если для любой упорядоченной пары его векторов х и у определена операция скалярного умножения ставящая ей в соответствие вещественное число (х, у). При этом: 1' длл любых х, у имеет место равенство (х, у) = (у, х); 2' для любых х, у, к имеет место равенство (х+у, к) = (х, к) + (у, к); 3' для любых х, у и любого числа Л иллеет место равенство (Лх, у) = = Л(х, у): 4' для любого х имеет место неравенство (х, х) > О, причем (х, х) = = О тогда лл только тогда, когда х = о.
11еречисленные утверждения составляют!П группу аксиом Бейля. Теперь отчетливо видно, что зти лаксиомыь в действительности таковыми не являются. Ясно также, что поскольку в линейном орос гранстве имеется бесконечное количество симметричных, положительно определенных билинейных форм (их столько же, сколько симме гричиых матриц, удовлетворяющих критерию Сильвестра), то каэкдое линейное пространство может быть сделано евклидовым, причем бесконечным числом способов.
2. Неравенство Коши-Буняковского. Теорема. Для любых двух элементов х, у ез аидова пространства имеет место неразентпео (х, у) г < (х, х) (у, у). Доказательство. Из определения скалярного произведения следует, что для любых векторов х, у и любого числа Л имеет место неравенство (Лх — у, Лх — у) > О, или Лч(х, х) — 2Л(х, у) + (у, у) > О. Из произвольности Л следует, что квадратное уравнение Лг(х,х) — 2Л(х, у) + (у, у) = = О имеет не более одного корня Л (иначе в интервале между корнями Лг(х,х) — 2Л(х, у) + (у, у) < О), т.е.
его дискримииант неположителен: (х, у) — (х,х)(у, у) < О, что и требовалось доказать. !'л 4. Евклидова пространство 126 3 а м е ч а н и е. Установленное нами неравенство в отечественной литературе называется неравенством Коши — Буг якооского, хотя, видимо, правильнее было бы называть его неравенством Коши — Буняковского — Шварца, поскольку в мировой литературе в указанном контексте можно встретить любые комбинации из этих трех фамилий.
3. Длина вектора. Определение. Длиной вектора х называется число )х! = хДх, х). Ясно, что число ~х~ — вещественное. 3 а м е ч а н и е. В новых обозначениях неравенство Коши — Буняковского можно записать так: ~(х, у)~ < ~хйу(. Те о р е ма. 1' Для любого х имеет место неравенство ~х~ > О, причем ~х = О пгогда и только тогда, когда х = о; 2' для любого вектора х и любого числа Л имеет место равенство (Лх( = >Л)(х~; 3' для любых х, у меепг место неравенство ,'х + у < (х) + (у( (неравенство треугольника).
Доказательство. 1'. Справедливость этого неравенства вытекает непосредственно из определения. 2'. Имеем: (Лх! = ° У(Лх, Лх) = хУЛг (х, т) = )Л~(х!. 3'.Имеем: /х+у г = (х+у,х+у) = /х/~->!у!~-г2(х,у) (/х!~-~- у + + 2 (х у)/ < /хР + !у!г + 2!х/!у! = (/х/ + /у )г, откуда !х+ у~ ( /х~ + у . 3'еорема докззана. Замечание. Линейное пространство, каждому элементу х которого ставится в соответствие вещественное число ~х~ (или йх~~) так, что имеют место свойства 1' — 3', называется нормироеанн м просгпранстеом, а число ~х~ (или ~хО) — нормой х.
Поэтому можно сказатгч что евклидова пространство является нормированным пространством с нормой ~х = Лу(х, х). 4. Угол между векторами. Определение 1. Углом между ненулевыми векторами х и у называется величина р (О < р < и), опредсляемая из уравнения сов р =, (х, у) ,'х (у) Из неравенства Коши — Буняковского следует, что угол определен для любых двух ненулевых векторов. Определение 2. Веюпоры х и у н зываются ортогон льными (х.~ у), если (х, у) = О. Сделаем несколько очевидных замечаний.
Замечание 1. х4 х тогда и только тогда., когда х = о. Замечание 2. Если вектор ортогонален нескольким вектора, то он ортогонален и любой их линейной комбинации. Замечание 3. Если хну, то )х 1 у(а = (х+ у х + у) = ~х~ .+ ~у~ (теорема Пифагора).
3 а м е ч ан не 4. Ненулевые попарно ортогопальпые векторы линейно независимы. Ортонормированный базис 127 В самом деле, пусть хы ...,ха — ненулевые попарно ортогональные векторы. Допустим, что Л'хь = о. Умножая это равенства скалярно на х, (1 = 1, ..., й), получим Л' = О, что н требовалось доказать. й 2. Ортонормированный базис 1. Существование ортонормироввиного базиса.
Из последнего за- мечания предыдущего пункта следует, что упорядоченная совокупность и попарно ортогонвльных единичных векторов в Ж" (если, конечно, она су- ществует) образует базис. Он называется ортопормированным базисом. Теорема.
В Кн существует орта~армированный базис. Д о к аз а тел ь с т во. Пусть в некотором базисе скалярное произведение выражается формулой (х, у) = д, х'уэ. Этой симметричной билинейной форме соотвегствует положительно определенная квадратичная форма (х, х), матрица которой в каноническом базисе единичная. Следовательно, в этом базисе матрица билинейной формы (х, у) также единичная: д,э =(е„е) = О (1 при 1=у', Теорема доказана.
( О при 1ч з. 3 а м е ч а н и е 1. Поскольку в ортонормированном базисе до (1 при 1=э, то (х,у) = х~у + ... + х"у". В частности, (О при 1фз, ~х 2 — (х1)2 + ь (х )2 Замечание 2. Разложение вектора по ортонормированному базису выглядит твк: х = (х, ег)ег +... + (х, е„)е„(чтобы убедиться в спра- ведливости этого равенства, достаточно скалярно умножить обе его части наем полагая 1 = 1, ..., и). Определение.
Пусть 1 — линейное надпространство простран- ства Е", еы .,.,еь — арто армированный базис в этом пространстве. Вектор у = (х, ег)ег +... + (х, еь)еь пазываегасл проекцией вектора х на подврострапство Ь. Замечание. Ясно, что вектор я = х — у ортогонален каждому из векторов еы ...,еь, а значит н любой их линейной комбинации, т.е. ортогонален любому вектору подпросгранства Ь. 2. Ортогонвлизация. Рассмотрим такую задачу; как, знал какой-нибудь базис (е,) пространства ':Е", построить ортопврмироваяпый базис этпого пространства? Можно, конечно, поступить так: найти матрицу д; (е„е.), а затем построить канонический базис квадратичной формы А(х, х) = д;эх'ху — он и будет ортонормированным.
Па практике, однако, чаще поступают иначе. Положим ег = егДег,'. Затем, вычитая из вектора ез его проекцию на надпространство 1 (ег) и обозначая результат через из, положим ез = = иэДиэ~. Далее, вычитая из вектора ез его проекцию на надпространство Ь (ем ее) и обозначая результат через из, положим ез = йз!Мз~, и т д. Продолжая этот процесс, мы получим, в конце концов, ортонормированный базис (е;). Этот прием называется ортогонализацисй. !'л 4. Евклидова прострапствв 128 3. Ортогональное дополнение. Определение. Пусть 1 — линейное надпространство првстран- стваЖ".
Мнвзтсествв 1 х веет, веь..терев пространства К", вртвгвна ьных всем вектпврам надпространства Ь., называетгя ортогональным двпв 1нением надпространства 1. Т е о р е м а. Ортогональное двивлпение линейнвгв ивдарвстра истаа Ь~ ирвстрапства Е" явллетсл аннет!ным ивдпрвстранстввм размерности и — Й. Доказательство. Пусть еы ...,е„— вртонормирвванный базис пространства К", ны ...,нь — произвольный базис пространства Ь"з Разложим каждый из векторов и» по базису !те,): н» = у~е .. Столбцы матрицы С, будучи координатами линейно независимых векторов н„линейно независимы, поэтому гапп С = Е Ортогональное дополнение надпространства Ь представляет собой множество всех решений х однородной системы (Е, х) = гт дзх1 = 0 у=т (! = 1, ...,к).
4. Альтернатива Фредгольма. Как мы помним, линейное дополнение надпространства 1 линейного пространства Т" определяется неоднозначно. В линейном пространстве над падем Е с фиксированным базисом существует простой алгоритм построения одного из линейных дополнений надпространства Ь. Он состоит в том, что сначала вводят скалярное произведение, считая данный базис ортонормированным, а затем строят ортогональное дополнение Ьх надпространства Ь вЂ” оно и является искомым линейным дополнением.
Воспользуемся этой идеей для доказательства следующей теоремы. Теорема. Система та лияейных уравнений с и неизвестпными Ах = = Ь, коэффициенты которой ве1цгственны, имеет решение ири любых вещественных правых частях Ь тогда и только тогда, когда система А'"х = о имеет лишь тривиальное решение. Следовательно, оно является линейным подпространством размерности и — Е Теорема доказана. Следствие 1. Длл любого линейного ивдирвстрапства Ь пространства К" имеет место равенство Е" = Ь !3 Ь г (так как сонокупнесть ортонормированных базисов этих надпространств предсзввляет собой ортонормированную совокупность и векторов, т.е.