С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054), страница 30
Текст из файла (страница 30)
4 3 3 гл. 4). Следствие. Для любого нормального оператора А существует такой артонормироеанный б зис, в котором его матрица диагоп льна, причем диагональными элементами являются его собственные значения. 3 а м е ч а н и е. Справедливо и обратное утверждение; если существует ортояормироааппый базис, е котором матрица оператора диагональзю, та этот оператор -- ~ормальныи поскольку в указанном базисе и АА", и А*А представляют собой диагональную матрицу с диагональными элементами ~оп~~. 3.
Унитарный оператор. Определение. Оператор А называется унитарным, если длл любых векторов х, у имеет место равенство (Ах, Ау) = (х, у). Замечание. Поскольку унитарный оператор не меняет скалярного произведения, то любой ортонормированный базис он переводит в ортонормированный базис. Опираясь на аналогию с ортогональным оператором, можно сказать, что это в каком-то смысле соответствует повороту и отражению относительно координатных плоскостей.
Точно так же, как для ортогонального оператора в:Е", доказывается, что оператор А лаллетсл унитарным тогда и только тогда, когда А" = = А . Из этого, в свою очередь, следуст,что: -1 1' любой унитарный оператор лвллетсл нормальным; 2' е ортонормироеатзом базисе матрица унитарного оператора удовлетворяет равенству А з = А — ь Отметим, что матрица, удовлетворяющая равенству А = А, называется унитарной. Нри помощи унитарн х матриц осуществллетсл переход от, одного ортонормироеанного ба,зиса к другому (доказательство эгого узверждения полностью аналогично доказательству соответствующего утверждения для ортогональных матриц в Кч ). Из этого, в частности, следует, чзо произведение двух унитарных матриц является унитарной матрицей. Теорема.
Все собственные эначен л унитарного оператора по модулю равны 1. Доказательство. Пусть А' = А г, Ах = Лх. Имеем: А" Ах = = Ех = х. С другой стороны, согласно теореме 1 п. 2, А'Ах = А*Лх = = ЛА'х = ЛЛх. '! ем самым, ЛЛ = )Л)~ = 1, что и требовалось доказать. С л с д с т в и е. В базисе иэ собстветзых еекторое матрица упи тарного оператора имеет еид 0 ечм ... 0 Псевдоевклидово пространство 141 поскольку любое комплексное число Л можно представить в виде Л = )Л)е*'. 4. Самосопряжеииый оператор.
Оператор А называется самосопрязхенным или зрмитовым, если А* = А. Ясно, что в ортонормированном базисе его матрица удовлетворяет равенству: А = А . Отметим, что матрица А, обладающая этим свойством, называется зрмитовой. Непосредственно из определения следует, что самосонр женный оператор является нормальным оператором. Теорема. Все собственные значения самосопряженного оператора вещественные.
/(оказательство. Пусть А' = А, Ах = Лх. Согласно теореме 1 п.2 А'х = Лх. Тем самым, Л = Л, что н требовалось доказать. й 2. Псевдоевклндово пространство 1. Определение. Снова вернемся к линейному пространству над полем К, но введем теперь скалярное произведение иначе — без требования положительной определенности. Определение 1. Линейное пространство Ь" над полем К называется псевдоевклидовым, если в нем фиксирована некоторал симметричнал билинейная форма (х, у) ранга и, называемая скалярным про введением. Определение 2. Пусть й — полохсительный индекс инерции квадратичной формы (х, х), и, следовательно, (и — й) — ее отрицательный индекс инерции. Пара чисел (й, и — й) называетсл сигнатурой псевдоевклидооа пространства.
Псевдоевклидово пространство с сигнатурой (й,п — й) обозначается так: Кь' „ ь. В частности, Р."„ о — это обычное евклидова пространство К". Для скалярного произведения, как и для всякой симметричной билинейной формы, существует канонический базис (е,) (канонический базис квадратичной формы (х, х)), в котором 1, 1 = з < й, (е„е.) = -1, 1=1 ) й, О, 1фгй а скалярное произведение имеет вид (х,у) = х у + ...
+ х у — х"т1уьтг —... — х"у". Такой базис называется галилееоым базисом. Вием,вчастности,(х,х) =(х ) +...+(х ) — (х ) — . (х ) . Нетрудно видеть, что величина (х, х) может быть как положительной, так и неположительной. Пусть О произвольная точка, ОМ = х.
Множество всех векторов х, для которых (х, х) = О, называется световым конусом (почему этот конус называется световым, станет ясно чуть позже). Гл 5. 142 Некоторые обобщения Пространство Ж"т~ называется пространством Минковского. Обычно галилеев базис пространства Минковского обозначают так: ее,е,, ...,е„. 0 г ю Уравнение светового конуса в этом базисе имеет вид (хо) = 2 (х'), =-1 и, следовательно, направляющей этого конуса является п-мерная сфера , 2 (х') = сопв1. «=1 Особый интерес представляет пространство Минковского при и = 3, поскольку оно является пространством событий в специальной теории относительности. В этой теории под х', хг, хз понимают координаты частицы, а под хо — с1, где с — скорость спета, а 1 — время. Каждая частица в пространстве событий движется по некоторой траектории (движется всегда, твк как меняется 1), называемой мировой линией.
Фотон движется прямолинейно со скоростью с: х' = и"1, где (и ) + (и ) + (из) = с, т.е. по образующей светового конуса. Отсюда и название «световой конус»вЂ” по нему движется свет. 2. Преобразования Лоренца. Оп ре де лен не. Переход от одного галилеева базиса к другому галилееву базису называется преобразованная«Лоренца. Уточним вид преобразования Лоренца в пространстве Минковского. Прежде всего, заметим, что переход от галилеева базиса ео,ег, ...,еп к галилееву базису ее, еы ..., е„— это обычное ортогональное преобразование в пространстве Ь(еы ..., е„), т. е.
преобразование с ортогональной матрицей г«. В самом деле, е, = а",'е„е. = г»"е„, причем (е«,еу) — 1 при = о,'ог(е„е„) = 2 о,'о' (-1), откуда о'"о = Е, т. е. с« ~ = г»«". Ясно, что переход от базиса ее, ег, ..., е„к базису — ее, ег, ..., ев — это также У вЂ” 10...0') 0 1...0 ортогональное преобразование, поскольку его матрица с« = 0 0...1 ортогональна. Рассмотрим теперь общий случай. Пусгь ее, ег, ..., е„и ео, еы ..., е„— два галилеевых базиса.
Будем считать, что (ео,ее) > О (в противном случае перейдем от базиса ее, ем ..., е„к базису — ео, еы ..., е„ортогональным преобразованием). Поступим следующим образом. 1'. Выберем в пространстве Ь (ее, ео) вектор е', для которого (е'„ео) = = О, т.е. е' Е Ь (еы ..., е„), и перейдем от базиса ео,ег, ...,е„ортогональным преобразованием к базису ео, е', ..., е'„. В нем е' Е Ь (ео, ее).
2'. Преобразованием в пространстве Г (ее, ео) перейдем от базиса ео, ег к базису ео,е", в котором (е"гео) = О, (е", е") = — 1 и (е'„ е"г) > О. 3'. Наконец, перейдем от базиса ео,е~', ...,е'„ ортогональным преобразованием к базису ео, ем ..., еп.
Группы и полл Выясним, как осуществляется переход 2'. Имеем: о 1 ео = ггоео+ аоег ' и О 1 г ) ег = сггео + агег гДе гго ~— — (ео, ео) 3 О и аг = (ег, еиг) > О. Далее, посколькУ (ео, ео) = 1, (ео, еиг) = О и (е",, е",) = — 1, то (оо) ('го) сг'гг' — сг'о' — О О 1 О (-')' — (-")' = Полагая оог — — зЬ 1г, сгог = зЬ В, из первого и третьего уравнения находим; ао о— — сЬ р, гг" = сЬВ.
Подставляя эти значения во второе уравнение, получаем: сЬугзЬ — зЬусЬВ = зЬ(1г — В) = О, откуда уг = В. Итак, переход 2' осуществляется с помощью матрицы (гЬ<р сЬх) ' Это преобразование называется гиперболическим поворотом. В специальной теории относительности его обычно записывают несколько иначе, полагая 1Ь ~р = а; 1 — а г 1 — а г 1 — аг 1 — аг Итак, любое преобразование Лоренца в простраисгпве Минковского предсгпав лет собой суперпозицию (т. е.
последовательное выполнение) ортогоиольиых преобразований и гиперболического поворотпа. В 3. Группы и поля 1. Группа. Сделанные нами обобщения до сих пор касались только евклидова пространства. В этом параграфе мы рассмотрим некоторые обобщения понятия линейного пространства. Определение 1. Множество С иазываетсл группой, если для любой упорядочеюшй пары его эле еитов а и Ь определегш опероцил, ставли1ал ей в соответствие элемент аЬ Е С.
При этом; 1' длл лгобых а, Ь, с имеет место равенство а(Ьс) = (аЬ)с; 2' существует такой элемент е Е С, что длл любого а Е С имеет место равенство ае = а; 3' среди всех элементов е, обладающих свойством 2', существует такой элемент ео, что для любого а Е С существует элемеигп а 1 Е С, удовлетворяющий равенству аа ' = ео. Некоторые обобщения Гл 5.
Если, сверх того, для любых а, Ь имеет место равенство аЬ = Ьа, то группа называется коммутагаивнвй нли абелевой. Замечание. Если операцию обозначать знаком « ' », то вместо е естественно писать о, а вместо а ' — ( — а), хотя, конечно, это только естественная форма записи, поскольку операция в группе абстрактна, она не имеет отношения к обычному умножению или сложению. рассмотрим несколько свойств группы.
Свойство 1. Элеметл е, обладающий свойством 2', от«ределлется единственным образом и, следовательно, совпадает с еэ. В самом деле, «умножая» обе части равенства ее» = ео слепа на е, получаем: еее — 1 = еев или ее = е, откуда ев = е. Это свойство позволяет в дальнейшем вместо ев писать просто е. Замечание. В большинстве учебников свойство 3' формулируют кратко: для любого а й С существует элемент а г й С, удволетво- ряющий равенству аа ' = е.
Такая формулировка, однако, не вполне корректна, поскольку она допускает неоднозначную трактовку. В самом деле, наряду с нашей трактовкой (она, по-видимому, наиболее естественна с точки зрения норм русского языка) возможна и, например, такая: для любого а й С существует такой элемент а е С, что элемент е = = аа ~ обладает свойством 2'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
