С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра (1113054), страница 25
Текст из файла (страница 25)
5. О билинейной форме. Теорема 1. Ранг магарицы билинейной формы нс зависит вт выбора базиса. Доказательство. Поскольку 6, = а,'а;"Ь„., т.е. В = а'"Ва, то гапя В < газ«я В. С другой стороны, В = 6'"Вб, откуда ганя В < ганя В. Следовательно, ганя В = ганя В. Теорема доказана. Определение 1. Рангом билинейной формы называется ранг ес матрицы. Теорема 2. В линейном пространстве над полем К знак определителя матрицы билинейной формы нс зависит вт выбора базиса. Доказательство. Поскольку В = а"Ва, то «1е1 В = «1ег аз «1еб В, причем «1еб ез ~ О. Теорема доказана.
Определение 2. Билинейная форма В (х,у) называепзся симлзстричной, если при всех х,у имеет место равенство В(у,х) = В(х, у). Теорема 3. Билинейиаяфврма симметрична тогда и только тогда, когда ее магарица симметрична„т.е. Ьц = б,.
Доказательство. Если билинейная форма В(х, у) симметрична, то Ь,. = В(ем е ) = В(е, е,) = 6 з. Обратно, если Ь,. = Ь ц то В(у, х) = = бцу'хз = Ьцхз у' = 6 «х'уз = Ьцх'уз = В(х, у). Теорема доказана. Квадратичные формы 121 Следствие. Если матрица тснворл типа (2, 0) (билинейной формы) с мстрична в одном базисе (т.е. эта билинейная форма симметрична), то ояа симметрична и в любом другом базисе. Такой тензор называется симметричным тснвором типа (2, 0). Отметим, что матрица липсйпого оператора аналогичным свойством не обладает: если она и окажется в каком-то базисе симметричной, то в другом базисе она, вообще говоря, уже не будет симметричной.
й 4. Квадратичные формы 1. Матрица квадратичной формы. Определение 1. Квадратичной формой называется выражение В(х, х), где В(х, у) — билинейная форма. Теорема. Каэкдал квадратичтшя форма моэтсст быть получена из симмстричиой билинейной формы., причем такая билипейная форма определяется единствснн м абра,том.
Д о к аз а тел ь с т во. Допустим, что данная квадратичная форма В(х, х) получена из билинейной формы В(х, у). Тогда зта же квадратичная форма может быть получена и из симметричной билинейной формы А(х, у) = — (В(х, у) + В(у, х)). С другой стороны, есзи одна и те же квадратичная форма получена из двух симметричных билинейных форм, т.е. А(х,х) = В(х,х), то А(х,у) = В(х,у). В самом деле, из равенства А(е, + е,,е, + ел) = В(е, + е,, е, + еу) следует, что А(е„е,) + 2А(е„е,) + А(е„е,) = = В(е„ел) + 2В(е, е,) + В(е, е1), откУда А(ее е,) = В(е„е,), т.е. а, = Ь, . Теорема доказана.
Определение 2. Матрицсй кеадратпичной формы называетсл матлрица той симметричной билинейной формы, из которой она получена. Замечание. Так как матрица квадратичной формы в любом базисе совпадает с матрицей соответствующей ей симметричной билинейной формы, то квадратичная форма — этв симметричный тензор типа (2, 0). 2. Метод Лагранжа. Определение.
Базис линейного пространства над полем 1ч (С), в котором квадратичная форма имеет вллд А(х,х) = Л,(л*), где Л,— одно из чисел 1, — 1, 0 (1, 0), называстпся каноническим. Теорема. Для любой квадратичной формы сутцсствуст капонический базис. Доказательство. Запишем выражение А(х, х) = а; х'х1 в каком- нибудь базисе и воспользуемся методом математической индукции. Если в выражении а; л'ху решльно не фигурирует ни одной переменной л*, т.
е. А(х,х) = О, то данный базис (как, впрочем, и любой другой) является каноническим. Допустим, что теорема доказана для случая, кол да в выражении алтл'хл реально фигурируют (и — 1) переменных, и докажем, что тогда она верна !'л 3. Преобразование базисов и координат 122 и для и реально фигурирующих переменных х', ..., х". Возможны два случая.
1'. Коэффициент при (х~)з, т.е. аы, отличен от нуля. Сгруппируем все слагаемые, в которые входит х~, и дополним их до полного квадрата. В результате получим 2 А (х, х) = а„(х + "х' +... + ' х") +В (х, х) = аы (у) +В (х, х), аы атт где В(к, х) — квадратичная форма, не содержащая хд и, следовательно, по предположению индукции, имеющая канонический базис.
Для завершения доказательства. тем самым., осталось положить ( эттаы ыУ пРи аы ) О, (или просто х = этажу). ~ зтт — ам у при аы (0 2'. аы = О. В этом случае при некотором т аы ф 0 (иначе переменная хз не входила бы в выражение а; х'хз). Полагая хз = у' + у', х' = ут — у', мы сведем стоящую перед нами задачу к случаю 1', поскольку слагаемое 2аых'т' превратится в разность 2аг,(ут)з —.
2ам(у')з. Теорема доказана. Замечание 1. Идею доказательства этой теоремы можно использовать на практике. В самом деле, указанным способом можно сперва привести данную квадратичную форму к виду А (х, х) = 1« (хг) +В (х, х), где В(х, х) квадратичная форма, не содержащая х, затем применить ту же идею к квадратичной форме В(к, х) и т. д. Такой метод нахождения канонического базиса квадратичной формы называется методом Лагранжа Замечание 2.
Название «канонический базис» может ввести взаблуждение — может показаться, что такой базис только один. На самом деле это не так. Например, если искать канонический базис методом Лагранжа, начиная с х, а не с х~, то результат окажется, вообще говоря, другим. 3. Закон инерции. Начиная с этого места и до конца параграфа мы будем рассмагривать только линейные пространства над полем В. Определение 1. Квадратичная или билинейная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если для любого х ф о А(х,х) ) 0 (( 0).
Определение 2. Полоэюительным (отрицатель»«ым, пулевым) индексом инерции квадратичной формы в каком-либо ее каноническом базисе н зывается количество положительных (отрицатпельных, нулевых) диагональных элементов (т.е. элементов ан) ее матрицы в этом базисе. Замечание.
Нулевой индекс инерции квадратичтюй формы не зависит от выбора канонического базиса (поскольку он равен п — гапк А). Те о р е м а. Положительный индекс инерции квадратичной формы равен макс малиной размерности надпространства, в котпором она является положительно определенной.
Квадратичные формы 123 Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что в некотором каноническом базисе квадратичная форма имеет вид А(х,х)=(х') +...+(хч) — (х'-+ ) —...— (х+э ) (в противном случае базисные векторы можно перенумеровать). Ясно, что в подпространстве Т (е!, ...., еь ) эта квадратичная форма является положительно определенной. Допустим, что существует надпространство 1 ь ', в котором она также положительно определена.
!'азложим каждый базисный вектор йй этого надпространства по базису (е,) и представим его в виде д, = д,' + д"„ где д,'. Е Ь (е„...,еь ), дв Е Т (еь эг, ...,е„). Векторы д,' линейно зависимы их (й г + 1) в й.г-мерном пространстве. Поэтому существует их нетривиальная линейная комбинация, равная о. Следовательно, линейная комбинация векторов я, с теми же коэффициентами дает ненулевой вектор (поскольку векторы я, линейно независимы)х пространства Ь (еь, эг, ..., е„), а значит, А(х, х) < О.
Тем самым, мы пришли к противоречию — нашли ненулевой вектор х Е Т.е ' чз, для которого А(х, х) ( О. Теорема доказана. Следствие 1. Положительный индекс инерции не зависит вт выбора канонического базиса. Следствие 2. Отрицательный индекс инерции пе зависит вт выбора канонического базисщ так как от него не зависит величина йэ + й = ганя А. Итак, все три индекса инерции не зависят от выбора канонического базиаь Это свойство, называемое законом инерции квадратичных форм, дает основание для следующего определения. Определение 3. Вид, кшпврый прип маета квадратичная форма в совем каноническом базисе, называется ее каноническим видом.
4. Критерий Сильвестра. Условимся называть угловым минором матрицы ее минор, расположенный в левом верхнем углу. Теорема (кригперий Сильвестра). Квадратичная форма является пвложигаельнв определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры ее матрицы положительны. Доказательство. Допустим сначала, что квадратичная форма является положительно определенной, и докажем, что все угловые миноры ее матрицы положительны.
Воспользуемся методом математической индукции. В одномерном пространстве справедливость утверждения очевидна. Предположим, что оно справедливо в и-мерном пространстве, и докажем его справедливость в (и + 1)-мерном пространстве. Поскольку квадратичная форма положительно определена, в частности для векторов подь пространства В(е! ....., е„) ( 2 а, х'х! > О), то все угловые миноры г,г=1 ее матрицы, вплоть до и-го порядка, положительны по предположению индукции.